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摘要：如今老年神经痛疾病在中老年人群中越来越常见，且严重影响着中老年人的身体健康。本文采用某研究人员记录的相关数据，通过极大似然估计法建立logisitic回归模型，对比两个试验治疗和安慰剂治疗，并区别性别和年龄，对其疗效进行比较分析。结果表明该模型对神经痛的各种治疗方法的评价及适用条件的认识有重要意义。
关键词：神经痛疗法 治疗情况 logisitic回归
1 引言
神经痛为神经科一种常见病，临床上分为原发性和继发性，后者指明确病因的三叉神经痛，在三叉神经通路上，任何病变的刺激均可引起，如桥脑小脑角或半月状神经节部位肿瘤、血管畸形、动脉瘤、颅底蛛网膜炎等。原发性三叉神经痛至今病因尚无统一认识。
原发性三叉神经痛大多发生在老年人身上，可能与中老年人多有脑萎缩，蛛网膜下腔及脑池增大，而致脑组织下移，并且中老年人多有动脉硬化及骨质增生等有关。
治疗神经痛的方法通常有三种：神经周围支撕脱术、封闭治疗和药物疗法。从三种治疗方法分析，以三叉神经周围支撕脱术效果最佳，此手术损伤小，方法简单，并发症少，术后维持时间长，我们观察年龄愈大，复发率越低，故此手术特别适合于50岁以上患者。药物治疗需长期服药，且很多患者不能耐受卡马西平的副作用。封闭治疗易复发。故在药物及封闭治疗无效或效果差时，或因药物副作用患者难以忍受时，神经周围支撕脱术确实为一种行之有效的治疗方法。
2 理论综述
2.1 模型的提出
2.1.1 “LPM”模型的局限性
“LPM”模型，即Liner Probility Model，具体为： 。在没有引进logistic模型时，大家普遍使用的一种线性模型。但它具有一定的局限性：
第一，误差性非正态性。对一个二分的被解释变量，其误差项 只有两个值，当Yi=1时， ，当Yi=0时， 。显然，不满足 服从正态分布的假定；
第二，存在异方差性。当被解释变量为虚拟变量时，关于误差项的另外一个问题就是误差项的方差不相等，它随着X水平的变化而变化，因此最小二乘法不再适用。
第三，回归函数的取值范围不符合。Y等于1或0的概率应该在[0，1]之间，而一个线性函数的响应变量的取值可能超出这个范围。
2.1.2Logistic 模型优势
上述LPM模型的局限性中的非正态性可以通过增加样本量的方法来克服，而异方差性可以通过加权的方法来解决，但函数的取值范围则是一个比较麻烦的问题。Logistics模型正是在这样的需求下提出来的，它克服取值范围这个问题，且具有很好的解释意义，因此被广泛应用。
2.2 logisitic模型理论说明
本文所使用的案例只涉及到二分变量的logistic回归模型，因此下面只对二分类logistic模型做一定的说明。
被解释变量为二分类变量，取Y等于0或1，当Y=1时表示事件发生，其概率为 ，Y=0表示事件不发生，其概率为1- 。Y的概率分布如下：
表1：Y概率分别
Yi Probability
1
0
因此，
=1*+0*（1-）== （1）
Logist function，得出。
为了克服问题三（回归函数的取值范围不符合），假设：
事件发生的概率：
= （2）
事件不发生的概率：
（3）
事件发生与不发生的概率比为 ：
（4）
对（4）式两边同时取对数，得到：
（5）
（4）式这个值被称为事件的发生比（也即英文中的the odds of experiencing an event，简称odds）。（5）式称为对数发生比。
当X增加一个单位时，即X从Xi变为Xi+1，分别用Xi（0）和Xi（1）表示，则
odds（0）= （6）
odds（1）=（7）
由（6）式和（7）式可以得出二者之比： （8）
（8）式即为常用的机会比（odds ratio，简写为OR）。
对logistic模型中的参数 和 的估计通常采用极大似然估计法假设有N个样本构成的总体，Y1，Y2.…，YN，从中随机抽取n各案例作为样本，观测值标注为y1，y2，…，yn，由前面所述不难得到一个观测值出现的概率为：
（9）
因为yi独立，得到它们的联合概率函数为：
（10）
（11）
为了估计使 最大的参数 和 ，分别对 和 求偏导数，使偏导数分别等于0，即可计算出参数 和 的估计值。
3 实例分析
3.1 被解释变量的选取及说明
为了研究对神经痛老年患者的止痛作用的治疗，两个试验治疗和安慰剂治疗进行了比较，被解释变量的取值是是病人报告疼痛或没有疼痛。研究人员记录的病人的年龄、性别，以及在接受治疗前疼痛持续的时间。
本次研究选取了五个变量：分别是治疗待遇（Treatment）、性别（Sex）、年龄（Age）、患病期限（Duration）和疼痛（Pain）。最后一个变量“疼痛”是响应变量。响应变量=Yes表明有疼痛，响应变量=No表明没有疼痛。
能否治愈疾病，最直接的关系就是治疗的方法。此例中治疗方式变量是一个分为三个层次的分类变量，A和B两个代表进行的试验治疗，分别是封闭治疗和神经周围支撕脱术，P代表安慰剂治疗。（具体见表）
治疗的效果也跟性别有一定的关系，因为不同性别的人群对某种治疗方法的接受程度有关。病人的性别由分类变量“sex”给出。（具体见表）
表2：分类变量的编码信息
Class Value Design Variables
Treatment A 1 0
B 0 1
P -1 -1
Sex F 1
M -1
随着年龄的增加，老年人的身体素质也逐步减弱，对药物的吸收和治疗的接受程度也有一定的差别。因此，年龄也是影响治疗效果的一个因素之一。这里的年龄是从患者开始治疗时年龄。
按常理，患病的时间越长，治愈的难度越大，治愈的可能性越小。因此，将患者在接受治疗前患病的期限也作为一个解释变量，用变量Duration表示。
3.2 模型设定
根据上面选取的响应变量和各解释变量，并考虑到Treatment与Sex、Treatment与Age、Treatment与Duration的交互作用，初步设定Logistic模型如下：
3.3 模型估计与检验
3.3.1 检验单个
根据Wald test，SAS软件输出结果，分析如下：
表3：各变量的Wald test检验结果
Effect DF Wald Chi-Square Pr > ChiSq
Treatment 2 11.9886 0.0025
Sex 1 5.3104 0.0212
Age 1 7.2744 0.007
Duration 1 0.0247 0.8752
Treatment*Sex 2 0.1412 0.9318
Age*Treatment 2 4.3996 0.11
Duration*Treatment 2 1.2336 0.5397
从上表可以看出，交互项Treatment*Sex、Age*Treatment、Duration*Treatment和疾病持续时间（Duration）在统计学意义上不显著（它们的P 分别为 0.9318、0.11、0.53697、0.8752）。这表明，没有证据说明治疗疼痛的影响在男性和女性，同时也不能证据治疗结果（疼痛与否）与神经痛持续时间有关。
3.3.2 选择变量
采用forward selection 方法选择变量，变量Treatment首先被选入模型，然后是Age，接下来是Sex。表3中，交互项Treatment*Sex 和变量Duration不显著，这个结果与表3的结果一致。这三个变量，Treatment, Age, 和 Sex，在0.05的显著性水平上对被解释变量都有显著性影响(各个p=0.0011, p=0.0011, and p=0.0143) 。
3.3.3 拟定最优模型
综上所述，拟定最优模型为：
4 结论
4.1 封闭治疗对安慰剂疗法治愈的机会比的估计值为24.022，表明，针对性别、年龄相同的神经痛患者，当对患者的治疗方法从安慰剂疗法改为封闭治疗时，治疗成功的概率约增加为原来的24倍。神经周围支撕脱术对安慰剂疗法治愈的机会比的估计值为41.528，表明，针对性别、年龄相同的神经痛患者，当对神经痛患者的治疗方法从安慰剂疗法改为神经周围支撕脱术时，治疗成功的概率超过原来的41倍。
由此可见，在减少神经痛方面，封闭治疗和神经周围支撕脱术疗法比安慰剂治疗效果更明显，且神经周围支撕脱术效果最佳。
4.2 女性对男性治愈的机会比的估计值为6.194，表明对年龄相同，且采用同样的治疗方法时，女性治疗成功的概率大约是男性的6倍。
因此，在治疗神经痛疾病时，女性趋的治愈机会向与比男性高。
4.3 老年神经痛患者的年龄每增加1岁，其治疗后不再疼痛的概率减小了23.3%，即比较年轻的患者更容易治愈。
参考文献
[1] Michael H.kutner .Applied Linear Regression Models[M].Higher Education Press，2003
[2] 姚宏刚，曹勇. 累计Logistic回归模型在住房抵押贷款风险等级评估的应用
[3] 王济川，郭志刚.Logistic回归模型 方法与应用[M].北京：高等教育出版社
关键词：神经痛疗法 治疗情况 logisitic回归
1 引言
神经痛为神经科一种常见病，临床上分为原发性和继发性，后者指明确病因的三叉神经痛，在三叉神经通路上，任何病变的刺激均可引起，如桥脑小脑角或半月状神经节部位肿瘤、血管畸形、动脉瘤、颅底蛛网膜炎等。原发性三叉神经痛至今病因尚无统一认识。
原发性三叉神经痛大多发生在老年人身上，可能与中老年人多有脑萎缩，蛛网膜下腔及脑池增大，而致脑组织下移，并且中老年人多有动脉硬化及骨质增生等有关。
治疗神经痛的方法通常有三种：神经周围支撕脱术、封闭治疗和药物疗法。从三种治疗方法分析，以三叉神经周围支撕脱术效果最佳，此手术损伤小，方法简单，并发症少，术后维持时间长，我们观察年龄愈大，复发率越低，故此手术特别适合于50岁以上患者。药物治疗需长期服药，且很多患者不能耐受卡马西平的副作用。封闭治疗易复发。故在药物及封闭治疗无效或效果差时，或因药物副作用患者难以忍受时，神经周围支撕脱术确实为一种行之有效的治疗方法。
2 理论综述
2.1 模型的提出
2.1.1 “LPM”模型的局限性
“LPM”模型，即Liner Probility Model，具体为： 。在没有引进logistic模型时，大家普遍使用的一种线性模型。但它具有一定的局限性：
第一，误差性非正态性。对一个二分的被解释变量，其误差项 只有两个值，当Yi=1时， ，当Yi=0时， 。显然，不满足 服从正态分布的假定；
第二，存在异方差性。当被解释变量为虚拟变量时，关于误差项的另外一个问题就是误差项的方差不相等，它随着X水平的变化而变化，因此最小二乘法不再适用。
第三，回归函数的取值范围不符合。Y等于1或0的概率应该在[0，1]之间，而一个线性函数的响应变量的取值可能超出这个范围。
2.1.2Logistic 模型优势
上述LPM模型的局限性中的非正态性可以通过增加样本量的方法来克服，而异方差性可以通过加权的方法来解决，但函数的取值范围则是一个比较麻烦的问题。Logistics模型正是在这样的需求下提出来的，它克服取值范围这个问题，且具有很好的解释意义，因此被广泛应用。
2.2 logisitic模型理论说明
本文所使用的案例只涉及到二分变量的logistic回归模型，因此下面只对二分类logistic模型做一定的说明。
被解释变量为二分类变量，取Y等于0或1，当Y=1时表示事件发生，其概率为 ，Y=0表示事件不发生，其概率为1- 。Y的概率分布如下：
表1：Y概率分别
Yi Probability
1
0
因此，
=1*+0*（1-）== （1）
Logist function，得出。
为了克服问题三（回归函数的取值范围不符合），假设：
事件发生的概率：
= （2）
事件不发生的概率：
（3）
事件发生与不发生的概率比为 ：
（4）
对（4）式两边同时取对数，得到：
（5）
（4）式这个值被称为事件的发生比（也即英文中的the odds of experiencing an event，简称odds）。（5）式称为对数发生比。
当X增加一个单位时，即X从Xi变为Xi+1，分别用Xi（0）和Xi（1）表示，则
odds（0）= （6）
odds（1）=（7）
由（6）式和（7）式可以得出二者之比： （8）
（8）式即为常用的机会比（odds ratio，简写为OR）。
对logistic模型中的参数 和 的估计通常采用极大似然估计法假设有N个样本构成的总体，Y1，Y2.…，YN，从中随机抽取n各案例作为样本，观测值标注为y1，y2，…，yn，由前面所述不难得到一个观测值出现的概率为：
（9）
因为yi独立，得到它们的联合概率函数为：
（10）
（11）
为了估计使 最大的参数 和 ，分别对 和 求偏导数，使偏导数分别等于0，即可计算出参数 和 的估计值。
3 实例分析
3.1 被解释变量的选取及说明
为了研究对神经痛老年患者的止痛作用的治疗，两个试验治疗和安慰剂治疗进行了比较，被解释变量的取值是是病人报告疼痛或没有疼痛。研究人员记录的病人的年龄、性别，以及在接受治疗前疼痛持续的时间。
本次研究选取了五个变量：分别是治疗待遇（Treatment）、性别（Sex）、年龄（Age）、患病期限（Duration）和疼痛（Pain）。最后一个变量“疼痛”是响应变量。响应变量=Yes表明有疼痛，响应变量=No表明没有疼痛。
能否治愈疾病，最直接的关系就是治疗的方法。此例中治疗方式变量是一个分为三个层次的分类变量，A和B两个代表进行的试验治疗，分别是封闭治疗和神经周围支撕脱术，P代表安慰剂治疗。（具体见表）
治疗的效果也跟性别有一定的关系，因为不同性别的人群对某种治疗方法的接受程度有关。病人的性别由分类变量“sex”给出。（具体见表）
表2：分类变量的编码信息
Class Value Design Variables
Treatment A 1 0
B 0 1
P -1 -1
Sex F 1
M -1
随着年龄的增加，老年人的身体素质也逐步减弱，对药物的吸收和治疗的接受程度也有一定的差别。因此，年龄也是影响治疗效果的一个因素之一。这里的年龄是从患者开始治疗时年龄。
按常理，患病的时间越长，治愈的难度越大，治愈的可能性越小。因此，将患者在接受治疗前患病的期限也作为一个解释变量，用变量Duration表示。
3.2 模型设定
根据上面选取的响应变量和各解释变量，并考虑到Treatment与Sex、Treatment与Age、Treatment与Duration的交互作用，初步设定Logistic模型如下：
3.3 模型估计与检验
3.3.1 检验单个
根据Wald test，SAS软件输出结果，分析如下：
表3：各变量的Wald test检验结果
Effect DF Wald Chi-Square Pr > ChiSq
Treatment 2 11.9886 0.0025
Sex 1 5.3104 0.0212
Age 1 7.2744 0.007
Duration 1 0.0247 0.8752
Treatment*Sex 2 0.1412 0.9318
Age*Treatment 2 4.3996 0.11
Duration*Treatment 2 1.2336 0.5397
从上表可以看出，交互项Treatment*Sex、Age*Treatment、Duration*Treatment和疾病持续时间（Duration）在统计学意义上不显著（它们的P 分别为 0.9318、0.11、0.53697、0.8752）。这表明，没有证据说明治疗疼痛的影响在男性和女性，同时也不能证据治疗结果（疼痛与否）与神经痛持续时间有关。
3.3.2 选择变量
采用forward selection 方法选择变量，变量Treatment首先被选入模型，然后是Age，接下来是Sex。表3中，交互项Treatment*Sex 和变量Duration不显著，这个结果与表3的结果一致。这三个变量，Treatment, Age, 和 Sex，在0.05的显著性水平上对被解释变量都有显著性影响(各个p=0.0011, p=0.0011, and p=0.0143) 。
3.3.3 拟定最优模型
综上所述，拟定最优模型为：
4 结论
4.1 封闭治疗对安慰剂疗法治愈的机会比的估计值为24.022，表明，针对性别、年龄相同的神经痛患者，当对患者的治疗方法从安慰剂疗法改为封闭治疗时，治疗成功的概率约增加为原来的24倍。神经周围支撕脱术对安慰剂疗法治愈的机会比的估计值为41.528，表明，针对性别、年龄相同的神经痛患者，当对神经痛患者的治疗方法从安慰剂疗法改为神经周围支撕脱术时，治疗成功的概率超过原来的41倍。
由此可见，在减少神经痛方面，封闭治疗和神经周围支撕脱术疗法比安慰剂治疗效果更明显，且神经周围支撕脱术效果最佳。
4.2 女性对男性治愈的机会比的估计值为6.194，表明对年龄相同，且采用同样的治疗方法时，女性治疗成功的概率大约是男性的6倍。
因此，在治疗神经痛疾病时，女性趋的治愈机会向与比男性高。
4.3 老年神经痛患者的年龄每增加1岁，其治疗后不再疼痛的概率减小了23.3%，即比较年轻的患者更容易治愈。
参考文献
[1] Michael H.kutner .Applied Linear Regression Models[M].Higher Education Press，2003
[2] 姚宏刚，曹勇. 累计Logistic回归模型在住房抵押贷款风险等级评估的应用
[3] 王济川，郭志刚.Logistic回归模型 方法与应用[M].北京：高等教育出版社