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摘要：本文通过探讨应用不等式方程解决实际教学中如涉及静摩擦力、平抛运动、竖直平面内的圆周运动、带电粒子在磁场中的运动等的不等式应用解决物理问题实例，常常可以产生意想不到的效果。
关键词：不等式不等式方程物理问题
应用不等式方程求解物理问题，常常可以产生意想不到的效果。在高中阶段，有许多物理现象可以用不等式来描述各物理量之间的关系。下面结合四道例题来欣赏不等式的妙用。
一、涉及静摩擦力问题。由于静摩擦力是被动力，其大小和方向都可以变化。一般情况下认为静摩擦力可以达到的最大值等于滑动摩擦力。所以静摩擦力的变化范围为-μFN＜f＜μFN，负号表示方向。
例1.倾角为37°的斜面，动摩擦因数为μ=0.5，为了使质量为m=4kg的重物F能够静止在斜面上，水平推力多大？
解析：当物体静止在斜面上的时候有：
垂直于斜面方向：FN-F·sin37°-mg·cos37°=0；
沿着斜面方向：F·cos37°-mg·sin37°-f=0；
静摩擦力的范围：-μFN≤f≤μFN。
联解得：
即■N≤F≤80N.
赏析：物体将要开始运动的临界状态有两个，物体将要向下滑动的水平推力大小分别为F1，物体将要向上滑动的水平推力大小为F2；从而得到物体保持静止的条件是：水平推力F介于F1和F2之间。用不等式的方法可以直接得到水平推力的取值范围。
二、平抛运动问题。平抛运动可以从两个方向来研究其运动，两个方向的运动时间相等；所以解决平抛运动的问题，先根据一个方向的位移得到时间表达式，然后用这个时间来表示另一个方向的位移。
例题2.楼梯的每个台阶宽为a=0.3m，高为b=0.2m，小球以4m/s从楼梯顶部水平飞出，通过计算判断小球将落在第几个台阶上？
解析：假设小球落在第N个台阶上，则下落(N-1)b过程所用的时间。从过程示意图上可以看出：小球在时间t1内的水平位移x＞(N-1)a；即v0t1＞(N-1)a。
小球下落Nb过程所用的时间 。从过程示意图上可以看出：小球在时间t2内的水平位移x＜Na；即v0t2＜Na。
联解两个不等式得到： ■＜N＜■+1。即7.1＜N＜8.1。所以整数N=8；即小球落在第8个台阶上。
赏析：通常的做法是，把台阶视为一个斜面，求出小球在斜面上的射程，然后确定小球落在第几个台阶上。这里利用不等式列方程的思路很清晰，容易理解；跟汽车飞越黄河、打排球的问题具有相似之处。根据竖直方向的位移，求出时间t；根据题目给定的条件判断在这段时间内水平方向的位移取值范围；列出不等式，求解相关物理量的取值范围。
三、竖直平面内的圆周运动问题。物体在竖直平面内做圆周运动时，根据物体通过最高点时的受力情况可以分为三类物理模型：车辆通过拱桥顶部；线拴着小球在竖直平面做圆周运动；与杆连接的物体在竖直平面内做圆周运动。根据这三种情况下，运动物体受到的弹力方向，可以列出相应的不等式方程；求解出相关的物理量取值范围。
例题3.一根绳子长为L=0.9 m，能承受的最大拉力为60N。拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动。则小球的质量不能超过多少？
解析：设小球的质量为m；小球在最高点时绳子的拉力F1≥0。根据牛顿第二定律有F+mg=m■。解得v1≥=3m/s。
从最高点到最低点的过程根据动能定理有mg×2L=■mv22-■mv12；解得v2≥。
小球在最低点时绳的张力F2满足：F2-mg=m■；解得F2≥6mg。要保证绳子不断裂，需要使F2≤60N；联解两个不等式，得到m≤1kg。
赏析：在明确绳子对小球的作用力方向之后，就可以确定小球所受合力的取值范围；再根据牛顿第二定律及向心力公式得到不等式方程，求解得到速度的取值范围。
四、带电粒子在磁场中的运动。带电粒子在磁场中的做匀速圆周运动，解题的一般思路是：先作出粒子运动过程的示意图，然后找到圆周运动半径与题中已知长度的关系；几何知识很重要。有些题要根据已知条件求带电粒子的速度范围，需用不等式求解。
以上四个例题都应用了不等式的关系。不等式的关系有：力的变化范围；位移的取值范围；速度的取值范围。解出不等式之后，结合物理模型可以对物理现象做出正确的解释或预测。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词：不等式不等式方程物理问题
应用不等式方程求解物理问题，常常可以产生意想不到的效果。在高中阶段，有许多物理现象可以用不等式来描述各物理量之间的关系。下面结合四道例题来欣赏不等式的妙用。
一、涉及静摩擦力问题。由于静摩擦力是被动力，其大小和方向都可以变化。一般情况下认为静摩擦力可以达到的最大值等于滑动摩擦力。所以静摩擦力的变化范围为-μFN＜f＜μFN，负号表示方向。
例1.倾角为37°的斜面，动摩擦因数为μ=0.5，为了使质量为m=4kg的重物F能够静止在斜面上，水平推力多大？
解析：当物体静止在斜面上的时候有：
垂直于斜面方向：FN-F·sin37°-mg·cos37°=0；
沿着斜面方向：F·cos37°-mg·sin37°-f=0；
静摩擦力的范围：-μFN≤f≤μFN。
联解得：
即■N≤F≤80N.
赏析：物体将要开始运动的临界状态有两个，物体将要向下滑动的水平推力大小分别为F1，物体将要向上滑动的水平推力大小为F2；从而得到物体保持静止的条件是：水平推力F介于F1和F2之间。用不等式的方法可以直接得到水平推力的取值范围。
二、平抛运动问题。平抛运动可以从两个方向来研究其运动，两个方向的运动时间相等；所以解决平抛运动的问题，先根据一个方向的位移得到时间表达式，然后用这个时间来表示另一个方向的位移。
例题2.楼梯的每个台阶宽为a=0.3m，高为b=0.2m，小球以4m/s从楼梯顶部水平飞出，通过计算判断小球将落在第几个台阶上？
解析：假设小球落在第N个台阶上，则下落(N-1)b过程所用的时间。从过程示意图上可以看出：小球在时间t1内的水平位移x＞(N-1)a；即v0t1＞(N-1)a。
小球下落Nb过程所用的时间 。从过程示意图上可以看出：小球在时间t2内的水平位移x＜Na；即v0t2＜Na。
联解两个不等式得到： ■＜N＜■+1。即7.1＜N＜8.1。所以整数N=8；即小球落在第8个台阶上。
赏析：通常的做法是，把台阶视为一个斜面，求出小球在斜面上的射程，然后确定小球落在第几个台阶上。这里利用不等式列方程的思路很清晰，容易理解；跟汽车飞越黄河、打排球的问题具有相似之处。根据竖直方向的位移，求出时间t；根据题目给定的条件判断在这段时间内水平方向的位移取值范围；列出不等式，求解相关物理量的取值范围。
三、竖直平面内的圆周运动问题。物体在竖直平面内做圆周运动时，根据物体通过最高点时的受力情况可以分为三类物理模型：车辆通过拱桥顶部；线拴着小球在竖直平面做圆周运动；与杆连接的物体在竖直平面内做圆周运动。根据这三种情况下，运动物体受到的弹力方向，可以列出相应的不等式方程；求解出相关的物理量取值范围。
例题3.一根绳子长为L=0.9 m，能承受的最大拉力为60N。拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动。则小球的质量不能超过多少？
解析：设小球的质量为m；小球在最高点时绳子的拉力F1≥0。根据牛顿第二定律有F+mg=m■。解得v1≥=3m/s。
从最高点到最低点的过程根据动能定理有mg×2L=■mv22-■mv12；解得v2≥。
小球在最低点时绳的张力F2满足：F2-mg=m■；解得F2≥6mg。要保证绳子不断裂，需要使F2≤60N；联解两个不等式，得到m≤1kg。
赏析：在明确绳子对小球的作用力方向之后，就可以确定小球所受合力的取值范围；再根据牛顿第二定律及向心力公式得到不等式方程，求解得到速度的取值范围。
四、带电粒子在磁场中的运动。带电粒子在磁场中的做匀速圆周运动，解题的一般思路是：先作出粒子运动过程的示意图，然后找到圆周运动半径与题中已知长度的关系；几何知识很重要。有些题要根据已知条件求带电粒子的速度范围，需用不等式求解。
以上四个例题都应用了不等式的关系。不等式的关系有：力的变化范围；位移的取值范围；速度的取值范围。解出不等式之后，结合物理模型可以对物理现象做出正确的解释或预测。
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