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[摘 要] 从学生的角度来看数学概念的构建过程，可以弥补教师视角所带来的一些不足. 关注数学概念构建过程中的先前经验、思维方式与思维水平三个关键因素，可以有效地把握学生的概念构建情况，从而能够促进数学概念的有效教学.
[关键词] 数学概念；概念构建；思维
概念是数学的基础，数学概念的形成过程是什么样的？对于这个问题的回答关系到学生能否有效地获得准确的概念认知.传统教学视野中，数学概念的教学过程常常是浓缩的，因为需要从中挤出时间用以习题训练；而由于浓缩了学习时间，因此概念的学习过程基本上是由教师主导的，因而学生的自主参与就显得有些不足，这客观上会影响学生对概念的内化. 基于这样的现状，笔者以为需要从学生视角研究概念的构建过程，尤其是从学生思维的角度，去分析学生是如何认识、理解一个数学概念的. 函数是高中阶段极为重要的概念之一，笔者在教学中以函数概念为研究对象，仔细分析学生在函数概念习得过程中的思维情况，形成了丰富的认识与思考.
[?] 不可忽视的先前经验
将学生的学习视作学生自己的事，是建立学生视角的重要理念，而这跟建构主义学习理论是高度一致的. 建构主义学习理论的一个重要观点，就是学生的先前经验是学生建构知识的基础，而先前经验与传统学习心理学中的前概念有类似的地方，其都以学生原有的知识基础、生活经验等为研究对象，都以其对新知识学习的作用为研究重心. 在高中函数概念建构的过程中，先前经验是不可忽视的，尤其是其发挥作用的机制是需要研究的.
首先需要说明的是，高中阶段函数概念的构建并不是某一课时的事，从开始接触函数概念到其后一系列函数的构建，都是对函数概念的认识不断深化的过程，也可以视作函数概念不断丰富、立体化的过程.在这个过程中，学生的原有知识与经验等，会不断地发挥先前经验的作用. 具体可以从如下几点来阐述：
第一，一般意义上的概念学习，需要从概念自身的本质属性的多少来形成对概念的认识. 其中，本质属性越多，则概念掌握相对要容易一些. 就高中阶段的函数概念学习而言，由于学生在此前已经接触过从解析式、图像等角度认识函数概念，因此从字面理解的角度来看，函数并不陌生. 但是需要注意的是，高中阶段的函数概念是从集合、变量以及对应法则的角度来定义的，这个属性对于学生来说并不是非常熟悉——尽管此前已经学过集合概念，尽管对应法则在函数概念建立的过程中会被教师多次强调，但学生的认知困难主要发生在定义方式上，从经验性的解析式认知，到集合与对应法则的角度转换，对于学生来说是一个挑战. 实际上也就是说从先前经验的角度来看，就是学生原有的关于函数的认知，难以成为支撑此时函数概念构建的基础. 但是如果这个难点被突破，那后面的其他具体的函数概念，如指数、对数函数等，学起来反而相对要容易得多，因为到那个时候，此前已经熟悉的从解析式、图像、定义域、值域、单调性等角度描述函数，对学生而言已经成为一个相对熟悉的模式，即已经成为相对熟悉的先前经验，是可以发挥其对新概念的支撑作用的. （这里亦可以从上位概念与下位概念的关系来理解，限于篇幅，兹不赘述.）
第二，从学生具体构建函数概念的过程来看，学生的先前经验仍然发挥着重要的支撑作用. 经验表明，即使从变量与对应法则等角度明确了高中阶段函数概念的理解之后，学生对函数的認识更多的依然停留在经验阶段，当问学生什么是函数的时候，更多的学生仍然愿意从具体的事例角度来给出答案，而不是从高中阶段函数定义的角度给出解释. 记得有一次高三复习阶段，笔者口头向学生提问关于函数概念的理解时，仍然有三分之一左右的学生，通过列举所学过的不同函数来说明他们对函数概念的理解，而对于最基本的定义则似乎忘到了九霄云外. 这至少说明一个问题，那就是高中阶段的数学概念教学，不能奢望学生一接触定义就能实现思维的转变，一定要给学生以较长的时间，让他们慢慢实现这个转变，所谓概念建立的艰难，正在于此（当然，这里也有另一个原因，那就是在函数概念的运用过程中，实际上确实是以具体的函数来作为研究对象的，直接从定义角度考查学生的理解的情形较少，导致学生对函数概念的理解必然建立在具体函数的基础之上，而不是从定义角度形成深刻理解）.
第三，从默会知识的角度看函数概念建立过程中先前经验的作用. 先前经验在支撑某一个具体的数学概念的时候，常常是以默会知识的形式发挥作用的，也就是学生还没有意识到，但事实上已经发生了. 比如说在从“函数是数集到数集的映射”这一表述上理解函数概念的时候，学生嘴里说的是这么一句话，但思维中可能就是一个具体的函数实例，在经由思维完成对应概念的加工过程中，所表述出来的这句话，更多的是默会知识作用的结果，而不是真正的对函数定义的理解，这常常容易让教师认为是死记硬背，其实对于学生来说这其实是先前经验通过默会知识支撑起的对概念的浅层次理解，不宜与机械记忆画等号.
[?] 值得重视的思维方式
思维方式对概念建立有着极为重要的影响，纵观数学史可以发现，对于同样的一种数学关系，不同思维方式下描述往往是不同的. 举一个简单的例子，对于勾股定理，西方人往往会从一般性规律的角度去寻求描述，而中国人则从具体事例的角度给出“勾三股四弦五”的表述. 在学生学习数学概念的过程中，也需要重视思维方式所发挥的作用.
研究表明，高中学生在建立概念的过程中，常常有这样的两种表现：一种表现是部分学生喜欢从文字定义的角度学习概念，而另一种学生则喜欢借助于具体实例或构建新的图形（包括思维导图）来理解概念. 这实际上就是思维方式的不同，前者说明学生喜欢以抽象思维的形式建立概念，而后者则显然是形象思维的产物. 教育心理学研究表明，擅长抽象思维的学生所依靠的思维对象就是文字之类的对象，而形象思维者则需要结合具体的表象（如果没有现成的表象，他们就会创造表象）来辅助理解概念. 实际教学中，教师如果能够关注到不同学生的思维方式，那对数学概念的教学将会起到十分明显的促进作用. 高中阶段的函数概念实际上兼具这两种思维方式，因为从函数概念的外延角度来看，其有着明显的数形结合的特征：解析式是对数的关系的描述，定义域、值域也是从数的角度来约束函数的；而函数的图像则显然是比较形象的思维对象，通过图像来描述函数及其性质，其显然可以帮学生形成形象认知. 但这对学生的学习就提出了挑战，因为函数的这种特征，决定了学生最好是形象思维与抽象思维都比较发达，才能顺利地形成准确的函数概念认知. 但形象思维能力与抽象思维能力都很强的学生毕竟是少数，如何在教学中化解这一矛盾呢？
笔者采用的方式是“引导式”教学（用抽象思维引导形象思维，用形象思维引导抽象思维，概括地说就是用擅长的思维方式引导不擅长的思维方式），即在函数概念的教学中，从两种思维方式入手，分别通过具体的实例来帮学生构建基础性认识：对于抽象思维能力强的学生，重点帮他们构建文字认识，并引导他们学会将抽象的表达转换成形象的图像，这个相对不难，因为抽象思维能力强的学生，形象思维能力通常不会弱到哪里去；而对于形象思维能力强的学生，则在对图像及其描述重点讲授的基础上，让他们致力做一件事：用自己的语言基于函数图像去描述函数. 由于此过程中他们的观察对象是图像，而描述的工具却是语言，因此实际上是努力帮他们由形象思维向抽象思维过渡，这是培养学生抽象思维能力的较好方式，也是构建函数概念的重要途径. 事实证明，只要从高一年级的函数基本概念学习开始，到其后的对数函数、指数函数、幂函数等，都坚持这种思路，就能够让学生形成较强的同时运用两种思维方式加工函数概念的学习过程，从而促进学生对函数概念的深入理解.
[?] 需要研究的思维水平
强调概念学习过程中学生的思维水平似乎没有必要，因为这是显而易见的事情，但是事实上真正能够从思维水平角度去把握概念教学的情形并不是很多，教学中“一届不如一届”的抱怨，实际上就是忽视学生思维水平的表现之一.
事实证明，高中學生在函数概念学习的过程中，所表现出来的思维水平有时并不如教师期待的那样高. 因此从最基础处入手，通过层次性的事例列举或语言阐述，去帮学生建立对函数概念的立体理解，是函数概念最终形成的不二法门. 在这里，教学的层次性实际上就是对不同思维水平学生的尊重，也是对同一学生在不同阶段思维水平的尊重.这里需要特别强调的是，对思维水平的研究，要与思维方式的研究结合起来，因为不同思维方式往往就对应着思维水平. 通常来说，抽象思维能力强的学生思维水平要高一些，但这些学生遇到较难问题时，往往无法回到形象思维的角度去构建形象认知，这反而制约了他们思维水平的提升. 利用引导式教学让学生在两种思维方式上相互促进，这倒是提高思维水平的重要途径.
[关键词] 数学概念；概念构建；思维
概念是数学的基础，数学概念的形成过程是什么样的？对于这个问题的回答关系到学生能否有效地获得准确的概念认知.传统教学视野中，数学概念的教学过程常常是浓缩的，因为需要从中挤出时间用以习题训练；而由于浓缩了学习时间，因此概念的学习过程基本上是由教师主导的，因而学生的自主参与就显得有些不足，这客观上会影响学生对概念的内化. 基于这样的现状，笔者以为需要从学生视角研究概念的构建过程，尤其是从学生思维的角度，去分析学生是如何认识、理解一个数学概念的. 函数是高中阶段极为重要的概念之一，笔者在教学中以函数概念为研究对象，仔细分析学生在函数概念习得过程中的思维情况，形成了丰富的认识与思考.
[?] 不可忽视的先前经验
将学生的学习视作学生自己的事，是建立学生视角的重要理念，而这跟建构主义学习理论是高度一致的. 建构主义学习理论的一个重要观点，就是学生的先前经验是学生建构知识的基础，而先前经验与传统学习心理学中的前概念有类似的地方，其都以学生原有的知识基础、生活经验等为研究对象，都以其对新知识学习的作用为研究重心. 在高中函数概念建构的过程中，先前经验是不可忽视的，尤其是其发挥作用的机制是需要研究的.
首先需要说明的是，高中阶段函数概念的构建并不是某一课时的事，从开始接触函数概念到其后一系列函数的构建，都是对函数概念的认识不断深化的过程，也可以视作函数概念不断丰富、立体化的过程.在这个过程中，学生的原有知识与经验等，会不断地发挥先前经验的作用. 具体可以从如下几点来阐述：
第一，一般意义上的概念学习，需要从概念自身的本质属性的多少来形成对概念的认识. 其中，本质属性越多，则概念掌握相对要容易一些. 就高中阶段的函数概念学习而言，由于学生在此前已经接触过从解析式、图像等角度认识函数概念，因此从字面理解的角度来看，函数并不陌生. 但是需要注意的是，高中阶段的函数概念是从集合、变量以及对应法则的角度来定义的，这个属性对于学生来说并不是非常熟悉——尽管此前已经学过集合概念，尽管对应法则在函数概念建立的过程中会被教师多次强调，但学生的认知困难主要发生在定义方式上，从经验性的解析式认知，到集合与对应法则的角度转换，对于学生来说是一个挑战. 实际上也就是说从先前经验的角度来看，就是学生原有的关于函数的认知，难以成为支撑此时函数概念构建的基础. 但是如果这个难点被突破，那后面的其他具体的函数概念，如指数、对数函数等，学起来反而相对要容易得多，因为到那个时候，此前已经熟悉的从解析式、图像、定义域、值域、单调性等角度描述函数，对学生而言已经成为一个相对熟悉的模式，即已经成为相对熟悉的先前经验，是可以发挥其对新概念的支撑作用的. （这里亦可以从上位概念与下位概念的关系来理解，限于篇幅，兹不赘述.）
第二，从学生具体构建函数概念的过程来看，学生的先前经验仍然发挥着重要的支撑作用. 经验表明，即使从变量与对应法则等角度明确了高中阶段函数概念的理解之后，学生对函数的認识更多的依然停留在经验阶段，当问学生什么是函数的时候，更多的学生仍然愿意从具体的事例角度来给出答案，而不是从高中阶段函数定义的角度给出解释. 记得有一次高三复习阶段，笔者口头向学生提问关于函数概念的理解时，仍然有三分之一左右的学生，通过列举所学过的不同函数来说明他们对函数概念的理解，而对于最基本的定义则似乎忘到了九霄云外. 这至少说明一个问题，那就是高中阶段的数学概念教学，不能奢望学生一接触定义就能实现思维的转变，一定要给学生以较长的时间，让他们慢慢实现这个转变，所谓概念建立的艰难，正在于此（当然，这里也有另一个原因，那就是在函数概念的运用过程中，实际上确实是以具体的函数来作为研究对象的，直接从定义角度考查学生的理解的情形较少，导致学生对函数概念的理解必然建立在具体函数的基础之上，而不是从定义角度形成深刻理解）.
第三，从默会知识的角度看函数概念建立过程中先前经验的作用. 先前经验在支撑某一个具体的数学概念的时候，常常是以默会知识的形式发挥作用的，也就是学生还没有意识到，但事实上已经发生了. 比如说在从“函数是数集到数集的映射”这一表述上理解函数概念的时候，学生嘴里说的是这么一句话，但思维中可能就是一个具体的函数实例，在经由思维完成对应概念的加工过程中，所表述出来的这句话，更多的是默会知识作用的结果，而不是真正的对函数定义的理解，这常常容易让教师认为是死记硬背，其实对于学生来说这其实是先前经验通过默会知识支撑起的对概念的浅层次理解，不宜与机械记忆画等号.
[?] 值得重视的思维方式
思维方式对概念建立有着极为重要的影响，纵观数学史可以发现，对于同样的一种数学关系，不同思维方式下描述往往是不同的. 举一个简单的例子，对于勾股定理，西方人往往会从一般性规律的角度去寻求描述，而中国人则从具体事例的角度给出“勾三股四弦五”的表述. 在学生学习数学概念的过程中，也需要重视思维方式所发挥的作用.
研究表明，高中学生在建立概念的过程中，常常有这样的两种表现：一种表现是部分学生喜欢从文字定义的角度学习概念，而另一种学生则喜欢借助于具体实例或构建新的图形（包括思维导图）来理解概念. 这实际上就是思维方式的不同，前者说明学生喜欢以抽象思维的形式建立概念，而后者则显然是形象思维的产物. 教育心理学研究表明，擅长抽象思维的学生所依靠的思维对象就是文字之类的对象，而形象思维者则需要结合具体的表象（如果没有现成的表象，他们就会创造表象）来辅助理解概念. 实际教学中，教师如果能够关注到不同学生的思维方式，那对数学概念的教学将会起到十分明显的促进作用. 高中阶段的函数概念实际上兼具这两种思维方式，因为从函数概念的外延角度来看，其有着明显的数形结合的特征：解析式是对数的关系的描述，定义域、值域也是从数的角度来约束函数的；而函数的图像则显然是比较形象的思维对象，通过图像来描述函数及其性质，其显然可以帮学生形成形象认知. 但这对学生的学习就提出了挑战，因为函数的这种特征，决定了学生最好是形象思维与抽象思维都比较发达，才能顺利地形成准确的函数概念认知. 但形象思维能力与抽象思维能力都很强的学生毕竟是少数，如何在教学中化解这一矛盾呢？
笔者采用的方式是“引导式”教学（用抽象思维引导形象思维，用形象思维引导抽象思维，概括地说就是用擅长的思维方式引导不擅长的思维方式），即在函数概念的教学中，从两种思维方式入手，分别通过具体的实例来帮学生构建基础性认识：对于抽象思维能力强的学生，重点帮他们构建文字认识，并引导他们学会将抽象的表达转换成形象的图像，这个相对不难，因为抽象思维能力强的学生，形象思维能力通常不会弱到哪里去；而对于形象思维能力强的学生，则在对图像及其描述重点讲授的基础上，让他们致力做一件事：用自己的语言基于函数图像去描述函数. 由于此过程中他们的观察对象是图像，而描述的工具却是语言，因此实际上是努力帮他们由形象思维向抽象思维过渡，这是培养学生抽象思维能力的较好方式，也是构建函数概念的重要途径. 事实证明，只要从高一年级的函数基本概念学习开始，到其后的对数函数、指数函数、幂函数等，都坚持这种思路，就能够让学生形成较强的同时运用两种思维方式加工函数概念的学习过程，从而促进学生对函数概念的深入理解.
[?] 需要研究的思维水平
强调概念学习过程中学生的思维水平似乎没有必要，因为这是显而易见的事情，但是事实上真正能够从思维水平角度去把握概念教学的情形并不是很多，教学中“一届不如一届”的抱怨，实际上就是忽视学生思维水平的表现之一.
事实证明，高中學生在函数概念学习的过程中，所表现出来的思维水平有时并不如教师期待的那样高. 因此从最基础处入手，通过层次性的事例列举或语言阐述，去帮学生建立对函数概念的立体理解，是函数概念最终形成的不二法门. 在这里，教学的层次性实际上就是对不同思维水平学生的尊重，也是对同一学生在不同阶段思维水平的尊重.这里需要特别强调的是，对思维水平的研究，要与思维方式的研究结合起来，因为不同思维方式往往就对应着思维水平. 通常来说，抽象思维能力强的学生思维水平要高一些，但这些学生遇到较难问题时，往往无法回到形象思维的角度去构建形象认知，这反而制约了他们思维水平的提升. 利用引导式教学让学生在两种思维方式上相互促进，这倒是提高思维水平的重要途径.