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初中数学培养学生探究性思维和发散性思维，提倡一题多变的形式.要求学生做数学题时，能及时联想知识之间的关联性，灵活解决不同的问题，实现多解归一.一题多变，就是对同一道问题多次改变条件或者结论，再进行思考并解答.初中数学教学要应用一题多变模式，培养学生举一反三和触类旁通的能力，提升数学思维的深刻性和灵活性.笔者结合实际教学经验，提出横向联想、纵向变式和综合转化三种模式，以达到训练学生数学思维的目的.
一、横向联想，改变外延
横向联想，要求学生在学习过程中打破思维局限，以知识之间的横向相似为出发点，提出新的想法和观点.横向联想要求学生不仅掌握书本知识，还懂得了基本的计算规则和方法，在知识外延的拓展训练中，深刻理解了相关理论的用法.学生从知识的横向联系中获得启发，从而发现知识或者方法的开放性，同时也理解了解决问题的灵活性.
例如，“菱形”的教学中，菱形的性质有两个：（1）四条边长度相等;（2）对角线互相垂直且平分.事实上，基于这两个性质，会发现菱形的判定方法有两个：（1）4条边长度相等的四边形为菱形;（2）对角线相互垂直且平分的四边形为菱形.因此，菱形的性质与判定方法互为横向关系.为了让学生更好地理解这种关系，笔者设计了一道例题，如下图1所示：已知四边形ABCD为菱形，其对角线AC和BD相交于O点，在OA和OC上分别取一点E和F，使AE=CF，试分别基于菱形两个性质和判定方法证明：四边形EBFD为菱形.针对此题，学生首先可以用需要用正向思路利用菱形四边相等性质及三角形全等定理证明EB=BF=CF=FD.其次，可以利用对角线垂直平分性质证明OE=OF，进而再基于菱形对角线垂直平分判定方法证明四边形EBFD为菱形.由此，同一道题通过证明方法的横向变迁，学生就会菱形性质及判定方法的横向互换，通过对比还会发现两种证明方法哪个更快，提升迁移能力.
所以，横向联想能够活跃学生的思维，让学生在解题过程中不再生搬硬套，而做到灵活创新.但横向数学思维模式的培养，需要有一定的“似曾相识”度，要求学生有一定的解题经验，才能在面对相似问题的时候，采取构造、转化或者迁移的方法解决问题.在横向一题多解的过程中，重组了学生零散的知识，也充分调动了他们思维能力，磨练了意志.
二、纵向变式，深处漫溯
横向主要是通过一题多变或者一题多解让学生的思维更加开阔，而纵向变式则主要提升学生对复杂情况或未知问题，积极思考联系已有知识并加以应用，提升对已有知识的深度应用，进而实现深度思维的提升.初中数学的知识点相对较多，联系也错综复杂，因而，非常适用于采用纵向变式提升学生的深度思维能力.
学生根据二次方程根的形式继续解题，获得最终答案.数学算式解答，需要学生摒弃思维定势，具备一定的深度转换思想，已知未知转换、有理无理转换、数和式统一、函数和形结合，才能利用已知的公式进行创新突破学习，拓展思维，获得知识的外延.
纵向变式是一种有效提升学生探索意识的方法，在实际教学中，教师需要适时地开展纵向变式的引导教学，让学生不再局限于基础知识，而是基于基础进行深度探索求知，让思维活跃的同时，提升纵向探究能力.
三、综合转化，发现规律
创新既需要横向拓展，也需要纵向探究.初中数学中一题多变的目的是为了提升学生数学综合思维能力，进而培养综合素养.让学生从多角度、多方位和多层次对数学问题进行思考，其目的是樹立学生面对问题有突破思维局限的意识，更深刻地理解自身所学的数学知识，将“不变”的知识通过横、纵向搭配，探究“变”的问题和规律.
例如，图2所示的图形，求证：∠A+∠B=∠C+∠D.这个题目很简单，学生既可以用三角形内角和为180°与对角相等搭结合来证明，也可以直接用三角形的外角性质（任意一个外角等于与它不相邻的任意两个内角之和）与对角相等结合来证明.但如果遇到图3所示的情况，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.其仅仅横向迁移就很难解题了.解决这个问题，需要学生将三角形内角和为180°向多边形的内角和为（n-2）×180°纵向拓展，才能再基于三角形内角和进行求解.首先，需要学生对图形进行观察，思考怎样搭建这五个角的等量关系.其次，学生首先会尝试利用小三角形，如△AFJ，基于此扩展范围至大三角形，如三角形ACI，可以建立∠A+∠C+∠AIC=180°.以此类推，发现内部五边形每个角都用了一次三角形内角和等式，而∠A、∠B、∠C、∠D和∠E重复运用了两次，因此，（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）×2+（∠AIC+∠EFC+∠AGD+∠BHE+∠BJD）=5×180°=900°.再结合五边形内角和，进而进行计算就可以得出：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.由此，学生就会树立起三角形性质和多边形内角和之间的横纵向联系，提升几何解题思维.
综合转化对于初中教学是一大难点，在实际教学中，不能完全以试题答案为主线引导学生思考，而应该基于客观，进行必要的试错反思，树立正确的解题规律意识，才能培养学生正确的综合转化思维.
综上所述，一题多变的数学学习方法，可以让学生快速识别并抓住问题核心，找到问题本质和规律，快速计算出结果.这种学习方式，使得学生思维得到了拓展和迁移，培养了学生的逻辑思维.当然，一题多变的方式不仅限于上述三种，不管什么样的变化方式，终究脱离不开书本的相关定义、定理、公式等，所以在培养学生变化思维的过程中，应当注意以不变应万变的思考方式，不能为了追求“变”而忽略“不变”.
参考文献：
[1]陈新华，周忠标.一题多变，培养学生思维的深刻性和创造性[J].中学数学，2009（13）：7-8.
[2]黄辉.从“一题多变”中培养学生思维的深刻性[J].数理化解题研究，2019（3）：65-66.
[3]高秀然.一题多变 培养学生发散性思维[J].河北教育，2000（1）：39.
[责任编辑：李 璟]
一、横向联想，改变外延
横向联想，要求学生在学习过程中打破思维局限，以知识之间的横向相似为出发点，提出新的想法和观点.横向联想要求学生不仅掌握书本知识，还懂得了基本的计算规则和方法，在知识外延的拓展训练中，深刻理解了相关理论的用法.学生从知识的横向联系中获得启发，从而发现知识或者方法的开放性，同时也理解了解决问题的灵活性.
例如，“菱形”的教学中，菱形的性质有两个：（1）四条边长度相等;（2）对角线互相垂直且平分.事实上，基于这两个性质，会发现菱形的判定方法有两个：（1）4条边长度相等的四边形为菱形;（2）对角线相互垂直且平分的四边形为菱形.因此，菱形的性质与判定方法互为横向关系.为了让学生更好地理解这种关系，笔者设计了一道例题，如下图1所示：已知四边形ABCD为菱形，其对角线AC和BD相交于O点，在OA和OC上分别取一点E和F，使AE=CF，试分别基于菱形两个性质和判定方法证明：四边形EBFD为菱形.针对此题，学生首先可以用需要用正向思路利用菱形四边相等性质及三角形全等定理证明EB=BF=CF=FD.其次，可以利用对角线垂直平分性质证明OE=OF，进而再基于菱形对角线垂直平分判定方法证明四边形EBFD为菱形.由此，同一道题通过证明方法的横向变迁，学生就会菱形性质及判定方法的横向互换，通过对比还会发现两种证明方法哪个更快，提升迁移能力.
所以，横向联想能够活跃学生的思维，让学生在解题过程中不再生搬硬套，而做到灵活创新.但横向数学思维模式的培养，需要有一定的“似曾相识”度，要求学生有一定的解题经验，才能在面对相似问题的时候，采取构造、转化或者迁移的方法解决问题.在横向一题多解的过程中，重组了学生零散的知识，也充分调动了他们思维能力，磨练了意志.
二、纵向变式，深处漫溯
横向主要是通过一题多变或者一题多解让学生的思维更加开阔，而纵向变式则主要提升学生对复杂情况或未知问题，积极思考联系已有知识并加以应用，提升对已有知识的深度应用，进而实现深度思维的提升.初中数学的知识点相对较多，联系也错综复杂，因而，非常适用于采用纵向变式提升学生的深度思维能力.
学生根据二次方程根的形式继续解题，获得最终答案.数学算式解答，需要学生摒弃思维定势，具备一定的深度转换思想，已知未知转换、有理无理转换、数和式统一、函数和形结合，才能利用已知的公式进行创新突破学习，拓展思维，获得知识的外延.
纵向变式是一种有效提升学生探索意识的方法，在实际教学中，教师需要适时地开展纵向变式的引导教学，让学生不再局限于基础知识，而是基于基础进行深度探索求知，让思维活跃的同时，提升纵向探究能力.
三、综合转化，发现规律
创新既需要横向拓展，也需要纵向探究.初中数学中一题多变的目的是为了提升学生数学综合思维能力，进而培养综合素养.让学生从多角度、多方位和多层次对数学问题进行思考，其目的是樹立学生面对问题有突破思维局限的意识，更深刻地理解自身所学的数学知识，将“不变”的知识通过横、纵向搭配，探究“变”的问题和规律.
例如，图2所示的图形，求证：∠A+∠B=∠C+∠D.这个题目很简单，学生既可以用三角形内角和为180°与对角相等搭结合来证明，也可以直接用三角形的外角性质（任意一个外角等于与它不相邻的任意两个内角之和）与对角相等结合来证明.但如果遇到图3所示的情况，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.其仅仅横向迁移就很难解题了.解决这个问题，需要学生将三角形内角和为180°向多边形的内角和为（n-2）×180°纵向拓展，才能再基于三角形内角和进行求解.首先，需要学生对图形进行观察，思考怎样搭建这五个角的等量关系.其次，学生首先会尝试利用小三角形，如△AFJ，基于此扩展范围至大三角形，如三角形ACI，可以建立∠A+∠C+∠AIC=180°.以此类推，发现内部五边形每个角都用了一次三角形内角和等式，而∠A、∠B、∠C、∠D和∠E重复运用了两次，因此，（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）×2+（∠AIC+∠EFC+∠AGD+∠BHE+∠BJD）=5×180°=900°.再结合五边形内角和，进而进行计算就可以得出：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.由此，学生就会树立起三角形性质和多边形内角和之间的横纵向联系，提升几何解题思维.
综合转化对于初中教学是一大难点，在实际教学中，不能完全以试题答案为主线引导学生思考，而应该基于客观，进行必要的试错反思，树立正确的解题规律意识，才能培养学生正确的综合转化思维.
综上所述，一题多变的数学学习方法，可以让学生快速识别并抓住问题核心，找到问题本质和规律，快速计算出结果.这种学习方式，使得学生思维得到了拓展和迁移，培养了学生的逻辑思维.当然，一题多变的方式不仅限于上述三种，不管什么样的变化方式，终究脱离不开书本的相关定义、定理、公式等，所以在培养学生变化思维的过程中，应当注意以不变应万变的思考方式，不能为了追求“变”而忽略“不变”.
参考文献：
[1]陈新华，周忠标.一题多变，培养学生思维的深刻性和创造性[J].中学数学，2009（13）：7-8.
[2]黄辉.从“一题多变”中培养学生思维的深刻性[J].数理化解题研究，2019（3）：65-66.
[3]高秀然.一题多变 培养学生发散性思维[J].河北教育，2000（1）：39.
[责任编辑：李 璟]