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一、背景
数学课堂上有意义的学习,应该是遵循以学生为主体,以思维为主线,以数学活动为载体,发展学生数学能力为核心的教学规律展开,激发学生思维的多样性,实现知识与能力共同发展.因此,在教学过程中,我们要善于把握时机引导学生思考,使之经历真实的探索过程,从问题的不同角度进行研究,增强思维的有效性和灵活性,使学生在合适的思维空间里,通过自己的体悟,整合加工外部信息,将思维拓展到更深的学习领域中,并逐步向“理性认识”过渡. 在实际的教学中,课堂活动往往并不会按照教师的预设路线展开,甚至完全不同,这时,教师就需在预设与生成中作出抉择和调整,以适应学生的内在需求和对知识的自然、主动的探究.
下面以苏科版七年级《数学》下册第11章第3节“探索三角形全等的条件(第一课时)”的教学为例,谈谈个人的一些思考.
本节课的教学目标:学生在实际的动手操作中,探索并掌握三角形全等的“边角边”判定条件,进一步发展说理和简单推理的能力;主动参与合作交流,形成有效的学习策略,体验分类、特殊到一般等数学思想.
活动预案:猜想三角形全等的条件,做一做三角形模型,测量、验证,归纳三角形全等的“边角边”判定条件.
二、案例描述
片断一:直觉的火花,引领探究的方向.
师:通过前面的学习我们知道,如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形全等,现在要画一个三角形与已知的△ABC全等,该怎么画呢?试试看.
教师的本意是希望学生从三角形的构成元素,即边、角的数量组合上开始思考,进而再深入到边、角位置组合上的讨论,逐步展开数学活动.
生1:可以用平移.
众生:也是这么想的.
回答出乎意料,但下面很多学生表示认同. 这时若生硬地让学生的思维回到教师预设的轨道上来,而又不能给出令人信服的理由,学生的积极性必然会受到影响,既然大多数学生对用平移的方法解决问题很感兴趣,不妨让其充分展示一下.
生1:如图1,沿AC方向平移,画出DE与AB平行且相等,再画出DF等于AC.
生2:如图2,沿AB方向平移,画出DF与AC平行且相等,再画出DE等于AB.
生3:如图3,沿AM方向平移,画出DE与AB平行且相等,DF与AC平行且相等.
……
此时,学生的思维很活跃,但同时也反映出,更多的是依赖于直观上的经验,模糊而稚嫩.
师:其实,我们画平行线,主要的作用是什么呢?
热闹的课堂渐渐平静了下来,同学们陷入了沉思.
生4:可以根据平行线的性质得到角相等.
师:用这样的画法,一共产生了哪几组等量?这样得到的两个三角形一定全等吗?验证一下.
片断二:简洁的展示,激发探究的热情.
正当教师想带领学生回到常规的总结运用环节时,半路却又杀出了个程咬金.
生5:如图4,老师,我觉得用平移的画法太繁了,我有更简单的方法. 延长AC至D,使CD=AC,再延长BC至E,使CE=BC.
许多同学向该生投来佩服的目光.
师:这种画法简洁在何处?
生6:由对顶角得到相等的两个角,的确比画平行线来的简单.
师:还有什么想法?
教室里,有的静静深思,有的小声交流……
生7:如图5,我想直接用三角形中的一个已知角∠C,然后再画CE=CA,CF=CB,这样得到的△EFC与△ABC不也是全等的吗?
生8:如图6,前面大家用到了平移的方法来画全等三角形,我想用翻折的方法. 先画AE⊥BC,再画出ED=AE,最后再连结BD,CD.
虽然学生还不能清楚地认识到,图5的方法实际上就是一种翻折,图4是一种旋转,但又有什么关系呢?重要的是,学生在自己的发现和创造中体验到了成功和自身的价值.
师:同学们回答得非常好!下面老师也来展示一种画法,如图7,用三角板中的角度,先画∠BCE=30°,∠ACD=30°,然后画CE=CB,CD=CA,这实际上也是一种旋转的方法.
教师的即兴创作,一方面是想拓展学生的认识,另一方面,也是对学生积极思考的一种鼓励和回应.
同学们在欣赏,在模仿,在思考,思维的激情在教室里流淌.
片断三:理性的眼光,让探究回归本质.
师:总体上来看,这些看似不同的全等三角形的画法,最根本的不同,是在于对角的画法的选择.刚才我们已经研究了用平移、翻折、旋转等方法画出一个角与已知三角形的一个角相等,进而再截取角的两边对应相等,从而得到一对全等的三角形. 那么,有没有更一般的相等角的画法呢?
学生短暂思考之后,很快就都反应过来了.可以使用量角器画角. 可以用量角器画一个角等于∠A,再截取角的两边分别和AB,AC对应相等;可以用量角器画了一个角等于∠B,再截取角的两边分别和BA,BC对应相等;可以用量角器画了一个角等于∠C,再截取角的两边分别和CA,CB对应相等.
教室里一片忙碌. 这种最本质的“边角边”画法,由于角的位置不再受到原有图形的束缚,而显得更加自由.
三、一些思考
联系学生实际的开放性问题是激发思维火花的关键. 在这一节课中,学生的思维很开放,也很自由. 其内在探究的动力根源,主要来自两个方面. 一是源于学生对全等三角形最朴素的画法——直接拿已知三角形进行描摹的想法. 但由于已知三角形不再是一个可以直接移动的模型,于是转化为运用已有的有关图形变换的画法,来实现三角形模型的间接、整体上的移动,从而完成描摹的工作. 而另一个方面,却是来自于教师的问题——“现在要画一个三角形与已知的△ABC全等,该怎么画呢?”这个问题本身就带有很强的开放性,可供选择的思维路径较多,可以从整体上进行研究,如本案例中学生的思考;也可以如教材所提供的探究路径“两个三角形需要具备什么条件,即它们有多少组边或角相等时就全等呢?”意图是从局部的边、角等量的数量上的组合讨论,再到边、角位置上的组合讨论,最后走向整体感知. 新课程理念提倡关注个性思维的多样性,因而设计一些具有启发性的问题来调动学生思维的积极性,才有可能超越呆板的知识传授的层面,才有可能收获更多的“意外“和精彩.
教学的本质在于引导和组织. 学生的思考是多样的,但也常常是无序和稚嫩的. 如本节课中学生提出用平移的方法来研究全等三角形的画法,与教师预设完全不同. 这时教者若过早地否定学生的直觉,思维的萌芽必不能开出绚烂之花. 纵然学生心甘情愿地放弃自己的见解,完成老师设定的探究任务,完成整节课的既定目标,实现的只不过是知识数量上的又一次简单的积累. 但从教育本真的“人”的大目标上来看,两者之差又何止天壤之别. 因为一个是“他”的任务,老师是设计者,学生是操作者,在活动的过程中,学生的思维体验是琐碎和零散的,很难超越操作的层面. 而另一个是“我”的创造,从提出设想,到亲身尝试,到调整思维的方向,从朴素的原理中不断地生成. 在教师的引导和组织下,不断地从整体走向局部,再从局部回归整体. 从感性操作到学习用理性的眼光审视与反思问题,让学生对“边角边”这一数学知识的理解在这一自发、自主的体验中,从模糊走向精致. 其实,无论是从整体走向局部,还是从局部走向整体,这两种探究的路径并无高下优劣之分. 重要的是我们的学生在现实中到底需要什么,适合什么,教师基于客观需要做好相应的引导和组织,以帮助学生实现思维活动从无序到有序,从感性向理性的提升和飞跃.
很多的数学课堂教学,说到底,仍然是数学知识的简单传授,或是有关解题技巧的表演和堆砌. 如本节课的一个常见的环节——拓展应用,有可能成为许多课堂中的主要构成部分. 由教师给出各种不同的图形组合的变式,让学生不断地进行识别与记忆,却往往忽视了本节课的最重要的目标不在于复杂的应用,而是让学生在自主的思考中再发现出“边角边”的三角形判定条件. 实现能动的理解和接受,这样,不仅收获了知识的积累,而且经历了从特殊到一般的探究历程,真实地发现 “边角边”这一全等三角形的判定条件. 在课堂教学中,需要我们用心体察,用心理解学生的感受和需求,从而实现师生心灵上的沟通与融合.
数学课堂上有意义的学习,应该是遵循以学生为主体,以思维为主线,以数学活动为载体,发展学生数学能力为核心的教学规律展开,激发学生思维的多样性,实现知识与能力共同发展.因此,在教学过程中,我们要善于把握时机引导学生思考,使之经历真实的探索过程,从问题的不同角度进行研究,增强思维的有效性和灵活性,使学生在合适的思维空间里,通过自己的体悟,整合加工外部信息,将思维拓展到更深的学习领域中,并逐步向“理性认识”过渡. 在实际的教学中,课堂活动往往并不会按照教师的预设路线展开,甚至完全不同,这时,教师就需在预设与生成中作出抉择和调整,以适应学生的内在需求和对知识的自然、主动的探究.
下面以苏科版七年级《数学》下册第11章第3节“探索三角形全等的条件(第一课时)”的教学为例,谈谈个人的一些思考.
本节课的教学目标:学生在实际的动手操作中,探索并掌握三角形全等的“边角边”判定条件,进一步发展说理和简单推理的能力;主动参与合作交流,形成有效的学习策略,体验分类、特殊到一般等数学思想.
活动预案:猜想三角形全等的条件,做一做三角形模型,测量、验证,归纳三角形全等的“边角边”判定条件.
二、案例描述
片断一:直觉的火花,引领探究的方向.
师:通过前面的学习我们知道,如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形全等,现在要画一个三角形与已知的△ABC全等,该怎么画呢?试试看.
教师的本意是希望学生从三角形的构成元素,即边、角的数量组合上开始思考,进而再深入到边、角位置组合上的讨论,逐步展开数学活动.
生1:可以用平移.
众生:也是这么想的.
回答出乎意料,但下面很多学生表示认同. 这时若生硬地让学生的思维回到教师预设的轨道上来,而又不能给出令人信服的理由,学生的积极性必然会受到影响,既然大多数学生对用平移的方法解决问题很感兴趣,不妨让其充分展示一下.
生1:如图1,沿AC方向平移,画出DE与AB平行且相等,再画出DF等于AC.
生2:如图2,沿AB方向平移,画出DF与AC平行且相等,再画出DE等于AB.
生3:如图3,沿AM方向平移,画出DE与AB平行且相等,DF与AC平行且相等.
……
此时,学生的思维很活跃,但同时也反映出,更多的是依赖于直观上的经验,模糊而稚嫩.
师:其实,我们画平行线,主要的作用是什么呢?
热闹的课堂渐渐平静了下来,同学们陷入了沉思.
生4:可以根据平行线的性质得到角相等.
师:用这样的画法,一共产生了哪几组等量?这样得到的两个三角形一定全等吗?验证一下.
片断二:简洁的展示,激发探究的热情.
正当教师想带领学生回到常规的总结运用环节时,半路却又杀出了个程咬金.
生5:如图4,老师,我觉得用平移的画法太繁了,我有更简单的方法. 延长AC至D,使CD=AC,再延长BC至E,使CE=BC.
许多同学向该生投来佩服的目光.
师:这种画法简洁在何处?
生6:由对顶角得到相等的两个角,的确比画平行线来的简单.
师:还有什么想法?
教室里,有的静静深思,有的小声交流……
生7:如图5,我想直接用三角形中的一个已知角∠C,然后再画CE=CA,CF=CB,这样得到的△EFC与△ABC不也是全等的吗?
生8:如图6,前面大家用到了平移的方法来画全等三角形,我想用翻折的方法. 先画AE⊥BC,再画出ED=AE,最后再连结BD,CD.
虽然学生还不能清楚地认识到,图5的方法实际上就是一种翻折,图4是一种旋转,但又有什么关系呢?重要的是,学生在自己的发现和创造中体验到了成功和自身的价值.
师:同学们回答得非常好!下面老师也来展示一种画法,如图7,用三角板中的角度,先画∠BCE=30°,∠ACD=30°,然后画CE=CB,CD=CA,这实际上也是一种旋转的方法.
教师的即兴创作,一方面是想拓展学生的认识,另一方面,也是对学生积极思考的一种鼓励和回应.
同学们在欣赏,在模仿,在思考,思维的激情在教室里流淌.
片断三:理性的眼光,让探究回归本质.
师:总体上来看,这些看似不同的全等三角形的画法,最根本的不同,是在于对角的画法的选择.刚才我们已经研究了用平移、翻折、旋转等方法画出一个角与已知三角形的一个角相等,进而再截取角的两边对应相等,从而得到一对全等的三角形. 那么,有没有更一般的相等角的画法呢?
学生短暂思考之后,很快就都反应过来了.可以使用量角器画角. 可以用量角器画一个角等于∠A,再截取角的两边分别和AB,AC对应相等;可以用量角器画了一个角等于∠B,再截取角的两边分别和BA,BC对应相等;可以用量角器画了一个角等于∠C,再截取角的两边分别和CA,CB对应相等.
教室里一片忙碌. 这种最本质的“边角边”画法,由于角的位置不再受到原有图形的束缚,而显得更加自由.
三、一些思考
联系学生实际的开放性问题是激发思维火花的关键. 在这一节课中,学生的思维很开放,也很自由. 其内在探究的动力根源,主要来自两个方面. 一是源于学生对全等三角形最朴素的画法——直接拿已知三角形进行描摹的想法. 但由于已知三角形不再是一个可以直接移动的模型,于是转化为运用已有的有关图形变换的画法,来实现三角形模型的间接、整体上的移动,从而完成描摹的工作. 而另一个方面,却是来自于教师的问题——“现在要画一个三角形与已知的△ABC全等,该怎么画呢?”这个问题本身就带有很强的开放性,可供选择的思维路径较多,可以从整体上进行研究,如本案例中学生的思考;也可以如教材所提供的探究路径“两个三角形需要具备什么条件,即它们有多少组边或角相等时就全等呢?”意图是从局部的边、角等量的数量上的组合讨论,再到边、角位置上的组合讨论,最后走向整体感知. 新课程理念提倡关注个性思维的多样性,因而设计一些具有启发性的问题来调动学生思维的积极性,才有可能超越呆板的知识传授的层面,才有可能收获更多的“意外“和精彩.
教学的本质在于引导和组织. 学生的思考是多样的,但也常常是无序和稚嫩的. 如本节课中学生提出用平移的方法来研究全等三角形的画法,与教师预设完全不同. 这时教者若过早地否定学生的直觉,思维的萌芽必不能开出绚烂之花. 纵然学生心甘情愿地放弃自己的见解,完成老师设定的探究任务,完成整节课的既定目标,实现的只不过是知识数量上的又一次简单的积累. 但从教育本真的“人”的大目标上来看,两者之差又何止天壤之别. 因为一个是“他”的任务,老师是设计者,学生是操作者,在活动的过程中,学生的思维体验是琐碎和零散的,很难超越操作的层面. 而另一个是“我”的创造,从提出设想,到亲身尝试,到调整思维的方向,从朴素的原理中不断地生成. 在教师的引导和组织下,不断地从整体走向局部,再从局部回归整体. 从感性操作到学习用理性的眼光审视与反思问题,让学生对“边角边”这一数学知识的理解在这一自发、自主的体验中,从模糊走向精致. 其实,无论是从整体走向局部,还是从局部走向整体,这两种探究的路径并无高下优劣之分. 重要的是我们的学生在现实中到底需要什么,适合什么,教师基于客观需要做好相应的引导和组织,以帮助学生实现思维活动从无序到有序,从感性向理性的提升和飞跃.
很多的数学课堂教学,说到底,仍然是数学知识的简单传授,或是有关解题技巧的表演和堆砌. 如本节课的一个常见的环节——拓展应用,有可能成为许多课堂中的主要构成部分. 由教师给出各种不同的图形组合的变式,让学生不断地进行识别与记忆,却往往忽视了本节课的最重要的目标不在于复杂的应用,而是让学生在自主的思考中再发现出“边角边”的三角形判定条件. 实现能动的理解和接受,这样,不仅收获了知识的积累,而且经历了从特殊到一般的探究历程,真实地发现 “边角边”这一全等三角形的判定条件. 在课堂教学中,需要我们用心体察,用心理解学生的感受和需求,从而实现师生心灵上的沟通与融合.