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【摘 要】一位哲人说过：“数学使人周密。”数学是一门十分讲究“逻辑严密性”的自然科学，离开了严密的逻辑，数学就成了沙滩上的“大厦”，失去了其根本。但是，我们知道：“必然性存在于偶然性之中。运用这一哲学原理来解决一系列特殊的数学问题是合理的，合适的，也是符合数学”逻辑严密性“的——特例法就是这一原理指导下产生的一种数学方法。
【关键词】特例法 解题 数学问题
所谓特例法就是指在研究数学问题时，运用具体的特殊的数值代替字母研究代数式，用特殊位置、特殊图形代替一般位置、一般图形来研究代数式或几何中有关问题的思想方法。
下面，我们通过几个例子来看一看如何用特例法解决问题以及特例法在特殊情况下与一般解决相比所具有的优越性。
问题1：已知a+b+c=0求代数式a3+b3+c2-3abc的值————
分析：（1） 从题目的条件和结论的关系上，我们可以看出，代数式a3+b3+c3-3abc-12的值与a，b，c的取值大小无关，只与a，b，c之间满足的关系a+b+c=0这个条件有关，也就是说，能让a+b+c=0成立的任何一组a，b，c的值都可求出代数式a3+b3-3abc-12的值，如可取a=-1，b=-1，c=2
本例的常规解法主要是通过对条件a+b+c=0进行变形，把其中一个字母用含有另外两个字母的代数式a3+b3+c3-3abc-12来表示，然后代入代数式中进行化简，即可求出结果。或者，将代数式a3+b3+c3-3abc-12进行变形，使之转化为（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）-12的形式，再将a+b+c=0代入即可。
常规解法1：由a+b+c=0得c=-（a+b），将它代入所求值的代数式得：
常规解法2：（略）
特例法：∵a+b+c=0 ∴令a=-1，b=-1，c=2代入得：
问题2：若则下列结论中，正确的是（）
不等式1a1b和1|a|1|b|均不能成立。
不等式1a-b1a和1|a|1|b|均不能成立
不等式1a-b1a和（a+1b）2（b+1a）2均不能成立
不等式1|a|1|b|和（a+1b）2（b+1a）2均不能成立
（1999年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题）
分析：本题如果从条件出发进行推导，会很麻烦，而作为选择题，我们并不需要看解题过程，只需知道结果就可以了。显然，从条件和结论的关系上，可以看出，a，b的取值只要满足条件ab0，不论取何值，对结论判断都不会产生影响。因此，我们可用特殊数值进行检验，从而可将结果简单地判断出来。
解：（特例法）取a=-2，b=-1進行检验，则（A）中1a1b成立，而（C），（D）中a+1bb+1a成立，故选（B）
问题3：如图1：凸四边形ABCD的两对边中点连线EF，GH相交于O，那么，图中阴影部分的两个四边形的面积的和是四边形ABCD的面积的几分之几？请证明你的结论。
（江苏省第十届初二竞赛试题）
分析：由题意知：四边形ABCD的形状与阴影部分占全面积的比没有关系，因此，我们可以利用特例猜想。如果四边形ABCD是一个正方形。那么图（2）中四个四边形全等，这时阴影部分的面积是全面积的一半，再由条件中E、F、G、H为各边中点，结合三角形的面积的知识即可产生本题的解题思路，
证明：连接OA、OB、OC、OD这样将四边形分成八个小三角形分别标示①、②、③、④、③、⑥、⑦、⑧ 如图（3），由于等底同高的三角形面积相等，所以S①=S②，S③=S④，S⑤=S⑥，S⑦=S⑧于是阴影的面积=S①+S⑧+S④+S⑤=12（S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8）=12S四边形ABCD
问题4 如图4 在四边形ABCD中AB=AD，且∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积SABCD-----
分析：从题目条件看，暗含着：四边形ABCD的面积与C点的位置无关，因此，取C为过A点圆的直径的另一端点，从而将图形特殊化。
如图5：由已知，此时有∠BAC=∠DAC=30° ∴AB=AD=ACcon30°=32a
BC=CD=ACsin30°=12a
∴S四边形ABCD=SΔABC+34a2
而对本例一般性思考却很麻烦，解题过程如下：如图6，连接BD则ΔABD是等边三角形
定值问题是数学中一类很重要的问题，定值问题和一般证明题不同。一般证明题证明的对象基本是确定的，而定值问题的证明对象是不确定的。对于这类问题，往往是先探求出定值，然后再加以证明。而探求定值时通常的方法总是将变动的元素变到特殊位置或特殊图形代替一般图形，求出定值大小，将定值证题转化为一般证题。
问题5：设M是ΔABC内任一点，MD⊥AB，ME⊥BC，MF⊥CA又BD=BE，CE=CF.
求证：ADAF为定值（1979科大少年班招生复试题）
分析：考察特例——M为锐角三角形ABC的外心。根据题设可推知AD=AF，即ADAF=1本题即需证AD=AF.题设中有三组垂线段，两组等线段。于是想到勾股定理和等式性质。得到下面证法
证明：如图 连接MA，MB，MC根据题设及勾股定理得：
由①+②+③并注意到④可得：AD2=AF2 则AD=AF即ADAF=1
以上，我们通过几个例子，说明了特例法在解题中的应用。
现在，我们把运用特例法的几个问题，作如下说明：（1）把一个数学问题特殊化，对于解某些填空题（或选择题）。由于只考虑特殊情况。在“较小的范围内”考虑问题，使解题过程变得十分简捷。（2）由于用本法时，只考虑特殊情形，因此，问题的本身因果之间蕴含无关性，即是否取特殊情形，结果不产生影响。其解题的结果可使用。而其解题过程不能作为正式的解题过程，（3）鉴于上述两条原因，利用特例法时，最好只用来解选择题，和填空题等题型，以及用来举反例的题型。
【参考文献】
[1] 安徽教育出版社《新编平面几何证题法》
[2] 《特殊代一般，难题变平凡》郑小卫《中学数学教学参考》
[3] 中学数学研究》郭跃红、戴普庆
（作者单位：安徽省怀远县岭集中学）
【关键词】特例法 解题 数学问题
所谓特例法就是指在研究数学问题时，运用具体的特殊的数值代替字母研究代数式，用特殊位置、特殊图形代替一般位置、一般图形来研究代数式或几何中有关问题的思想方法。
下面，我们通过几个例子来看一看如何用特例法解决问题以及特例法在特殊情况下与一般解决相比所具有的优越性。
问题1：已知a+b+c=0求代数式a3+b3+c2-3abc的值————
分析：（1） 从题目的条件和结论的关系上，我们可以看出，代数式a3+b3+c3-3abc-12的值与a，b，c的取值大小无关，只与a，b，c之间满足的关系a+b+c=0这个条件有关，也就是说，能让a+b+c=0成立的任何一组a，b，c的值都可求出代数式a3+b3-3abc-12的值，如可取a=-1，b=-1，c=2
本例的常规解法主要是通过对条件a+b+c=0进行变形，把其中一个字母用含有另外两个字母的代数式a3+b3+c3-3abc-12来表示，然后代入代数式中进行化简，即可求出结果。或者，将代数式a3+b3+c3-3abc-12进行变形，使之转化为（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）-12的形式，再将a+b+c=0代入即可。
常规解法1：由a+b+c=0得c=-（a+b），将它代入所求值的代数式得：
常规解法2：（略）
特例法：∵a+b+c=0 ∴令a=-1，b=-1，c=2代入得：
问题2：若则下列结论中，正确的是（）
不等式1a1b和1|a|1|b|均不能成立。
不等式1a-b1a和1|a|1|b|均不能成立
不等式1a-b1a和（a+1b）2（b+1a）2均不能成立
不等式1|a|1|b|和（a+1b）2（b+1a）2均不能成立
（1999年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题）
分析：本题如果从条件出发进行推导，会很麻烦，而作为选择题，我们并不需要看解题过程，只需知道结果就可以了。显然，从条件和结论的关系上，可以看出，a，b的取值只要满足条件ab0，不论取何值，对结论判断都不会产生影响。因此，我们可用特殊数值进行检验，从而可将结果简单地判断出来。
解：（特例法）取a=-2，b=-1進行检验，则（A）中1a1b成立，而（C），（D）中a+1bb+1a成立，故选（B）
问题3：如图1：凸四边形ABCD的两对边中点连线EF，GH相交于O，那么，图中阴影部分的两个四边形的面积的和是四边形ABCD的面积的几分之几？请证明你的结论。
（江苏省第十届初二竞赛试题）
分析：由题意知：四边形ABCD的形状与阴影部分占全面积的比没有关系，因此，我们可以利用特例猜想。如果四边形ABCD是一个正方形。那么图（2）中四个四边形全等，这时阴影部分的面积是全面积的一半，再由条件中E、F、G、H为各边中点，结合三角形的面积的知识即可产生本题的解题思路，
证明：连接OA、OB、OC、OD这样将四边形分成八个小三角形分别标示①、②、③、④、③、⑥、⑦、⑧ 如图（3），由于等底同高的三角形面积相等，所以S①=S②，S③=S④，S⑤=S⑥，S⑦=S⑧于是阴影的面积=S①+S⑧+S④+S⑤=12（S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8）=12S四边形ABCD
问题4 如图4 在四边形ABCD中AB=AD，且∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积SABCD-----
分析：从题目条件看，暗含着：四边形ABCD的面积与C点的位置无关，因此，取C为过A点圆的直径的另一端点，从而将图形特殊化。
如图5：由已知，此时有∠BAC=∠DAC=30° ∴AB=AD=ACcon30°=32a
BC=CD=ACsin30°=12a
∴S四边形ABCD=SΔABC+34a2
而对本例一般性思考却很麻烦，解题过程如下：如图6，连接BD则ΔABD是等边三角形
定值问题是数学中一类很重要的问题，定值问题和一般证明题不同。一般证明题证明的对象基本是确定的，而定值问题的证明对象是不确定的。对于这类问题，往往是先探求出定值，然后再加以证明。而探求定值时通常的方法总是将变动的元素变到特殊位置或特殊图形代替一般图形，求出定值大小，将定值证题转化为一般证题。
问题5：设M是ΔABC内任一点，MD⊥AB，ME⊥BC，MF⊥CA又BD=BE，CE=CF.
求证：ADAF为定值（1979科大少年班招生复试题）
分析：考察特例——M为锐角三角形ABC的外心。根据题设可推知AD=AF，即ADAF=1本题即需证AD=AF.题设中有三组垂线段，两组等线段。于是想到勾股定理和等式性质。得到下面证法
证明：如图 连接MA，MB，MC根据题设及勾股定理得：
由①+②+③并注意到④可得：AD2=AF2 则AD=AF即ADAF=1
以上，我们通过几个例子，说明了特例法在解题中的应用。
现在，我们把运用特例法的几个问题，作如下说明：（1）把一个数学问题特殊化，对于解某些填空题（或选择题）。由于只考虑特殊情况。在“较小的范围内”考虑问题，使解题过程变得十分简捷。（2）由于用本法时，只考虑特殊情形，因此，问题的本身因果之间蕴含无关性，即是否取特殊情形，结果不产生影响。其解题的结果可使用。而其解题过程不能作为正式的解题过程，（3）鉴于上述两条原因，利用特例法时，最好只用来解选择题，和填空题等题型，以及用来举反例的题型。
【参考文献】
[1] 安徽教育出版社《新编平面几何证题法》
[2] 《特殊代一般，难题变平凡》郑小卫《中学数学教学参考》
[3] 中学数学研究》郭跃红、戴普庆
（作者单位：安徽省怀远县岭集中学）