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数学课堂教学是否有效，有赖于教学重、难点是否有效落实，它对教学起着提纲挈领的作用。所谓教学重点，是在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容，也就是说，这个知识点在今后的学习中有着广泛的应用，是解决问题的基础，如概念、法则、性质等；所谓教学难点，是指根据本班学生的基础知识与认知水平，大部分学生理解起来有一定难度的知识点。那么，究竟应如何突破教学重、难点，使学生的学习活动更有效呢？笔者以人教版小学数学第八册教材中“三角形的特性”一课为例，就教学中如何突出重点、突破难点谈一些自己的想法。
“三角形的特性”是《三角形》单元的起始课，在此之前，学生对三角形已经有了初步的感知，能够从一些平面图形中分辨出三角形，但对三角形的特征缺乏清晰的认识。让学生理解三角形的定义，了解三角形的特性并能画出三角形的一条高是本节课的教学重点，其中画高则是本课教学的难点所在。
一、在静心“感悟”中揭示定义
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流是数学学习的重要方式，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。这就需要教师在课堂中适当放慢教学节奏，为学生提供充分的探究时间、铺设充实的探究内容，静心等待，让学生在看一看、画一画、说一说等活动中，“感悟”三角形的特征，抽象出概念。
【教学片段】教学三角形的定义
课始，从学习工具三角板的形状引出本节课的课题。（分别沿两块三角板的边画出两个三角形）
师：有没有想过为什么这样的图形都叫三角形？
生1：因为它有三个角，所以叫三角形。（师指一指三个角）
生2：因为它有三条边。（师指一指三条边）
生2：三角形还有三个顶点。（师再指一指三个顶点）
师：下面的图形也有三个角、三条边，是三角形吗？为什么？
生1：因为这个图形的三个角碰在一起了。
生2：三角形的三条边应该是线段，不是射线。
生3：三条线段应该是端点和端点碰在一起的。
生4：三角形应该是一个封闭图形，而这三条线段没有围成封闭的图形。
师：大家都发表了自己的想法，那么三条线段怎样才算是围起来呢？想不想亲自感受一下三条线段围起来的过程？
师：请你先静静地想一想，然后在纸上画一个三角形。
（待学生都画得差不多了，教师拿两张画得并不规范的作品放在实物投影仪上）
师：你觉得画得怎么样？有什么建议？
（在全班同学的帮助下，画得不规范的学生作第二次修改）
师：同学们，你们在画三角形的时候，第几条边最难画？画时要注意什么？ （引导学生总结出画时要注意笔直、封闭、首尾相连）
师：同桌之间指一指三角形的角、边、顶点。
师：三角形咱们看也看过了，画也画过了，谁能用自己的话来说说怎样的图形才叫三角形？
……
三角形的特征包括有三个角、三条边、三个顶点，这些都是显性的特征。学生在学习本课之前，已经对三角形有了初步的认识，加之生活中的三角形也有很多应用，学生对其基本特征并不陌生。笔者曾在三年级的学生中做过课前调查，让学生判断下面图形是不是三角形，几乎全班都能正确判断，并能说明判断的理由。但根据以往的教学经验，学生往往对三角形的定义很难表达清楚，而理解三角形的定义正是本节课的重点。
基于这一重点在本节课的教学伊始，笔者用学生最熟悉的三角板在黑板上沿边画三角形，让学生感知从生活中的三角形到数学的三角形的过程，这是初次从感性认识到理性概念进化。接着通过对“为什么这样的图形都叫三角形”的思考，简明扼要地抓住关键问题，凸显数学概念“名副其实”的价值内涵。接下来对两个图形进行辨析，让学生明白“封闭”和“开口”的区别，使学生经历一个去粗存精、去伪存真的过程。“想不想亲自感受一下三条线段围起来的过程？”“在画三角形的时候，第几条边最难画？”更是让学生感受“围成”的真正意义——首尾相连。三角形特征的本质至此已经基本体现。虽然在接下来的定义概括“谁能用自己的话来说说怎样的图形才叫三角形”中，还是有一小部分学生在说“有三个角、三条边、三个顶点的图形是三角形”，笔者以为这已经无伤大雅了，因为学生对“由三条线段围成的图形是怎样围起来的”已经深深地烙在心里。
数学概念的形成是一个数学化的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辩证的分析，借助多种思维活动体验概念数学化的过程，才能更好地把握概念的本质和非本质的特征，才能构建良好的知识结构。所以在概念教学中，教师切不可操之过急，不妨静下心来，给学生架一座桥梁，建一个平台，等学生积累了丰富的感性认知以后，揭示概念也就水到渠成。
二、在直观“操作”中彰显数学本质
数学学习需要操作，在直观操作和形象感知的背后应该有一种更高水平的“理性”存在，这种理性，就是数学的本质。教师要引导学生通过直观的操作，从数学的角度去进行理性思考，并抽象出数学结论，彰显数学本质。
【教学片段】教学三角形的稳定性
（课件出示：生活中的三角形）
师：为什么这些物体的这些部位要做成三角形？仅仅是为了美观吗？还有其他原因吗？ （许多学生都认为三角形比较牢固，比较稳定）
师：真的吗？我们来做实验验证一下好吗？
师：每位同学都有一个信封，里面装有小棒，请你用小棒围成三角形或四边形，然后同桌轮流用手拉一拉四边形框架和三角形框架，仔细观察你发现了什么？
师：谁来汇报一下，你发现了什么？（三角形拉不动）
师：三角形为什么会拉不动呢？请围三角形的同学把三角形框架举起来（教师随机拿了10个三角形框架，摆在投影仪上）你又发现了什么？ 师：同学们，当三角形的三条边长度确定以后，三角形的形状和大小就完全确定了，所以在拉的时候，三角形才不会变形，这种不变的性质就是三角形的稳定性。
师：我们再看用同样的2蓝2黄四根小棒围成的图形，有的是平行四边形，有的是一般的四边形。虽然四边形的四条边长短固定，但形状不能固定，容易变形。
师：怎样使容易变形的四边形固定住？
……
了解三角形的稳定性是本节课的另一个重点，如何突出这个重点，笔者认为，应该还原到三角形的本质特性，从直观操作中追寻数学本质。三角形很牢固，拉不动，这是大部分学生的认知，但三角形的稳定性不是简单的“拉得动，拉不动”的问题，其实质应该是“三角形各边长度确定，其形状和大小就确定了”，即三角形的“唯一性”。如果只是让学生了解三角形“拉不动，很牢固”，利用学具围四边形和三角形框架，通过拉两个框架后就可以轻易证实这一点，但这样的操作结果对学生会有多少提升呢？笔者认为，应该让学生深入地去思考“为什么三角形会拉不动呢？”通过众多三角形的比较，去发现三角形框架拉不动的真正原因，从而突破本节课的一个重点。
三、在自主“辨析”中矫正画法
在学生的学习过程中，正确是一种模仿，而错误却是一种经历。它能折射出学生学习的难点所在，也能发现教师预设中存在的问题，在辨错的过程中更是展现了学生的思维历程，对错误根源的探究使理解和记忆更加深刻。
【教学片段】教学三角形的高及一条高的画法
（课件出示）
师：李爷爷家与公路之间有一块三角形的草坪，村里准备在李爷爷家到公路间的三角形草坪上修一条小路，想一想有几种不同的修法，最短的是哪一条？指一指。为什么这条是最短的？
师：同学们，像这样，从三角形的一个顶点到它的对边所作的垂直线段就是三角形的一条高，这条对边就是这条高所对应的底。
师：你觉得在这句话中哪些词比较重要？
师：你能在三角形内画高么？请以BC边为底，试着在你刚画好的三角形ABC内画一条高，并标出对应的底。
（师投影学生的作品，全班集体交流）
出示作品1：
师：你有什么话想说？
生1：这个高画错了，他画的高没有跟底互相垂直。
师：你怎么证明他画的高没有和底垂直？
生1：用三角板的直角去比一下好了。
（其他学生也开始迫不及待地用各自的方法验证。）
出示作品2：
生2：这张图的高也不对，没有经过A点。
生3：如果是以BC边为底，它的高一定要经过A点。
出示作品3：（教师故意把学生画的三角形转了个方向。）
生4：这次画对了。
师追问：这样的方向也是高吗？
生4：对的，因为它和BC垂直了，还是经过A点的。
师：同学们，通过刚才的交流，关于画三角形的高，你有什么想说的？
……
本节课的教学难点是在三角形内画出一条底边上的高。在此之前，学生已经有了“过直线外一点画已知直线的垂线，画平行四边形、梯形的高”这些基础，但是三角形的高跟平行四边形、梯形中的高又有不一样的地方，平行四边形、梯形中同一条底上的高有无数条，但三角形因为底边相对的顶点只有一个，只能画一条，所以画三角形的高比画平行四边形、梯形的高更有难度。在学生轻易解决了“李爷爷家的问题”后直接出示高的定义，这时候学生对高的理解其实是一知半解的。接着马上让学生试着在刚画好的三角形ABC内画出以BC为底的高，大部分学生还是可以正确画出来的，但也不排除像作品1和作品2的错误画法，以及只是模仿画水平底边上的高。放开让学生自己去辨析，在辨析的过程中让学生再自主感知三角形的高必须符合两个要求：既要与底边互相垂直，又要经过相对的顶点。这既是对高的定义的再次理解，同时又提高了定义的可操作性，因为高的定义是从一个顶点到对边所画的垂直线段，而在画高时往往画已知底边上的高，也就是从一条底边到对面顶点的垂直线段，这种微小的方向变化在一定程度上会影响一部分学生的操作。笔者就利用生生互评这样的形式，把课堂还给学生，让每个学生在辨析中发现问题、解决问题，从而突破教学的难点。
总之，在数学课堂中如何突出重点，突破难点，并没有不变的模式，但不管怎么变，数学教学不仅是要让学生“知之”，更是要让学生“思之”，只有紧紧围绕这一点，精心设计教学环节，就一定能巧妙地突破教学重点、难点，从而实现教学效果的最优化。
（浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中心小学 312000）
“三角形的特性”是《三角形》单元的起始课，在此之前，学生对三角形已经有了初步的感知，能够从一些平面图形中分辨出三角形，但对三角形的特征缺乏清晰的认识。让学生理解三角形的定义，了解三角形的特性并能画出三角形的一条高是本节课的教学重点，其中画高则是本课教学的难点所在。
一、在静心“感悟”中揭示定义
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流是数学学习的重要方式，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。这就需要教师在课堂中适当放慢教学节奏，为学生提供充分的探究时间、铺设充实的探究内容，静心等待，让学生在看一看、画一画、说一说等活动中，“感悟”三角形的特征，抽象出概念。
【教学片段】教学三角形的定义
课始，从学习工具三角板的形状引出本节课的课题。（分别沿两块三角板的边画出两个三角形）
师：有没有想过为什么这样的图形都叫三角形？
生1：因为它有三个角，所以叫三角形。（师指一指三个角）
生2：因为它有三条边。（师指一指三条边）
生2：三角形还有三个顶点。（师再指一指三个顶点）
师：下面的图形也有三个角、三条边，是三角形吗？为什么？
生1：因为这个图形的三个角碰在一起了。
生2：三角形的三条边应该是线段，不是射线。
生3：三条线段应该是端点和端点碰在一起的。
生4：三角形应该是一个封闭图形，而这三条线段没有围成封闭的图形。
师：大家都发表了自己的想法，那么三条线段怎样才算是围起来呢？想不想亲自感受一下三条线段围起来的过程？
师：请你先静静地想一想，然后在纸上画一个三角形。
（待学生都画得差不多了，教师拿两张画得并不规范的作品放在实物投影仪上）
师：你觉得画得怎么样？有什么建议？
（在全班同学的帮助下，画得不规范的学生作第二次修改）
师：同学们，你们在画三角形的时候，第几条边最难画？画时要注意什么？ （引导学生总结出画时要注意笔直、封闭、首尾相连）
师：同桌之间指一指三角形的角、边、顶点。
师：三角形咱们看也看过了，画也画过了，谁能用自己的话来说说怎样的图形才叫三角形？
……
三角形的特征包括有三个角、三条边、三个顶点，这些都是显性的特征。学生在学习本课之前，已经对三角形有了初步的认识，加之生活中的三角形也有很多应用，学生对其基本特征并不陌生。笔者曾在三年级的学生中做过课前调查，让学生判断下面图形是不是三角形，几乎全班都能正确判断，并能说明判断的理由。但根据以往的教学经验，学生往往对三角形的定义很难表达清楚，而理解三角形的定义正是本节课的重点。
基于这一重点在本节课的教学伊始，笔者用学生最熟悉的三角板在黑板上沿边画三角形，让学生感知从生活中的三角形到数学的三角形的过程，这是初次从感性认识到理性概念进化。接着通过对“为什么这样的图形都叫三角形”的思考，简明扼要地抓住关键问题，凸显数学概念“名副其实”的价值内涵。接下来对两个图形进行辨析，让学生明白“封闭”和“开口”的区别，使学生经历一个去粗存精、去伪存真的过程。“想不想亲自感受一下三条线段围起来的过程？”“在画三角形的时候，第几条边最难画？”更是让学生感受“围成”的真正意义——首尾相连。三角形特征的本质至此已经基本体现。虽然在接下来的定义概括“谁能用自己的话来说说怎样的图形才叫三角形”中，还是有一小部分学生在说“有三个角、三条边、三个顶点的图形是三角形”，笔者以为这已经无伤大雅了，因为学生对“由三条线段围成的图形是怎样围起来的”已经深深地烙在心里。
数学概念的形成是一个数学化的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辩证的分析，借助多种思维活动体验概念数学化的过程，才能更好地把握概念的本质和非本质的特征，才能构建良好的知识结构。所以在概念教学中，教师切不可操之过急，不妨静下心来，给学生架一座桥梁，建一个平台，等学生积累了丰富的感性认知以后，揭示概念也就水到渠成。
二、在直观“操作”中彰显数学本质
数学学习需要操作，在直观操作和形象感知的背后应该有一种更高水平的“理性”存在，这种理性，就是数学的本质。教师要引导学生通过直观的操作，从数学的角度去进行理性思考，并抽象出数学结论，彰显数学本质。
【教学片段】教学三角形的稳定性
（课件出示：生活中的三角形）
师：为什么这些物体的这些部位要做成三角形？仅仅是为了美观吗？还有其他原因吗？ （许多学生都认为三角形比较牢固，比较稳定）
师：真的吗？我们来做实验验证一下好吗？
师：每位同学都有一个信封，里面装有小棒，请你用小棒围成三角形或四边形，然后同桌轮流用手拉一拉四边形框架和三角形框架，仔细观察你发现了什么？
师：谁来汇报一下，你发现了什么？（三角形拉不动）
师：三角形为什么会拉不动呢？请围三角形的同学把三角形框架举起来（教师随机拿了10个三角形框架，摆在投影仪上）你又发现了什么？ 师：同学们，当三角形的三条边长度确定以后，三角形的形状和大小就完全确定了，所以在拉的时候，三角形才不会变形，这种不变的性质就是三角形的稳定性。
师：我们再看用同样的2蓝2黄四根小棒围成的图形，有的是平行四边形，有的是一般的四边形。虽然四边形的四条边长短固定，但形状不能固定，容易变形。
师：怎样使容易变形的四边形固定住？
……
了解三角形的稳定性是本节课的另一个重点，如何突出这个重点，笔者认为，应该还原到三角形的本质特性，从直观操作中追寻数学本质。三角形很牢固，拉不动，这是大部分学生的认知，但三角形的稳定性不是简单的“拉得动，拉不动”的问题，其实质应该是“三角形各边长度确定，其形状和大小就确定了”，即三角形的“唯一性”。如果只是让学生了解三角形“拉不动，很牢固”，利用学具围四边形和三角形框架，通过拉两个框架后就可以轻易证实这一点，但这样的操作结果对学生会有多少提升呢？笔者认为，应该让学生深入地去思考“为什么三角形会拉不动呢？”通过众多三角形的比较，去发现三角形框架拉不动的真正原因，从而突破本节课的一个重点。
三、在自主“辨析”中矫正画法
在学生的学习过程中，正确是一种模仿，而错误却是一种经历。它能折射出学生学习的难点所在，也能发现教师预设中存在的问题，在辨错的过程中更是展现了学生的思维历程，对错误根源的探究使理解和记忆更加深刻。
【教学片段】教学三角形的高及一条高的画法
（课件出示）
师：李爷爷家与公路之间有一块三角形的草坪，村里准备在李爷爷家到公路间的三角形草坪上修一条小路，想一想有几种不同的修法，最短的是哪一条？指一指。为什么这条是最短的？
师：同学们，像这样，从三角形的一个顶点到它的对边所作的垂直线段就是三角形的一条高，这条对边就是这条高所对应的底。
师：你觉得在这句话中哪些词比较重要？
师：你能在三角形内画高么？请以BC边为底，试着在你刚画好的三角形ABC内画一条高，并标出对应的底。
（师投影学生的作品，全班集体交流）
出示作品1：
师：你有什么话想说？
生1：这个高画错了，他画的高没有跟底互相垂直。
师：你怎么证明他画的高没有和底垂直？
生1：用三角板的直角去比一下好了。
（其他学生也开始迫不及待地用各自的方法验证。）
出示作品2：
生2：这张图的高也不对，没有经过A点。
生3：如果是以BC边为底，它的高一定要经过A点。
出示作品3：（教师故意把学生画的三角形转了个方向。）
生4：这次画对了。
师追问：这样的方向也是高吗？
生4：对的，因为它和BC垂直了，还是经过A点的。
师：同学们，通过刚才的交流，关于画三角形的高，你有什么想说的？
……
本节课的教学难点是在三角形内画出一条底边上的高。在此之前，学生已经有了“过直线外一点画已知直线的垂线，画平行四边形、梯形的高”这些基础，但是三角形的高跟平行四边形、梯形中的高又有不一样的地方，平行四边形、梯形中同一条底上的高有无数条，但三角形因为底边相对的顶点只有一个，只能画一条，所以画三角形的高比画平行四边形、梯形的高更有难度。在学生轻易解决了“李爷爷家的问题”后直接出示高的定义，这时候学生对高的理解其实是一知半解的。接着马上让学生试着在刚画好的三角形ABC内画出以BC为底的高，大部分学生还是可以正确画出来的，但也不排除像作品1和作品2的错误画法，以及只是模仿画水平底边上的高。放开让学生自己去辨析，在辨析的过程中让学生再自主感知三角形的高必须符合两个要求：既要与底边互相垂直，又要经过相对的顶点。这既是对高的定义的再次理解，同时又提高了定义的可操作性，因为高的定义是从一个顶点到对边所画的垂直线段，而在画高时往往画已知底边上的高，也就是从一条底边到对面顶点的垂直线段，这种微小的方向变化在一定程度上会影响一部分学生的操作。笔者就利用生生互评这样的形式，把课堂还给学生，让每个学生在辨析中发现问题、解决问题，从而突破教学的难点。
总之，在数学课堂中如何突出重点，突破难点，并没有不变的模式，但不管怎么变，数学教学不仅是要让学生“知之”，更是要让学生“思之”，只有紧紧围绕这一点，精心设计教学环节，就一定能巧妙地突破教学重点、难点，从而实现教学效果的最优化。
（浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中心小学 312000）