关于抽象函数有关问题的解法

• 作 者: 许 丽
• 出 处: 金色年华·教学参考
• 发表日期: 2010年10期
• 关键词: 抽象函数 有关问题 学生 函数问题 解析式 思维素质 解题能力 函数概念 灵活性 知识 优化 性质 数学 培养

　　对于给出具体解析式的函数问题,学生们比较熟悉,也比较得心应手。但是对于没有给出具体解析式的抽象函数问题,对学生来讲是一个难点。学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
　　一、求表达式
　　(一)换元法:即用中间变量u表示原自变量 的代数式,从而求出 f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
　　例1:已知,求 f(x)。
　　解:设 ,则 x=(u-1)2,u≥1,
　　∴f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1
　　∴ f(x)=x2-1(x≥1)。
　　(二)配凑法:在已知f(g(x))=h(x)的条件下,把h(x)拼凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求 f(x),此解法简洁,还能进一步复习代换法。
　　例2:已知,求f(x)。
　　解:∵
　　又∵
　　∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x ,(| |≥1)
　　(三)待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,求出关系式中的未知系数。
　　例3:已知f(x)是二次实函数,且f(x+1)+f(x-1)=x2 +2 +4,求f(x) 。
　　解:设f(x)=ax2+bx+c ,则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4
　　比较系数得
　　∴
　　(四)利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式。
　　例4:已知y=f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=lg(x+1),求f(x) 。
　　解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求 x<0时的表达式。
　　∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),
　　∵ f(x)为奇函数,∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x)
　　∴当x<0时f(x)=-lg(1-x)
　　∴
　　例5:已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)= ,求f(x),g(x)。
　　解:∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
　　∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
　　不妨用-x代换f(x)+g(x)= ………①中的x,
　　∴f(-x)+g(-x)=即f(-x)-g(-x) = - ……②
　　显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)=再代入①求出
　　g(x)=
　　(五)赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式。
　　例6:设f(x)的定义域为自然数集,且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x)。
　　解:∵f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1
　　∵f(1)=1, ∴f(2)=f(1)+2, f(3)=f(2)+3
　　……f(n)=f(n-1)+n
　　以上各式相加,有f(n)=1+2+3+……+n=n(n+1)/2
　　∴f(x)=1/2x(x+1),x∈N
　　二、利用函数性质,解f(x)的有关问题
　　(一)判断函数的奇偶性
　　例7: 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立,且 ,求证: 为偶函数。
　　证明:令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)……①
　　在①中令y=0则2f(0) =2f(0)
　　∵f(0)≠0∴f(0)=1
　　∴f(y)+f(-y)=2f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴f(x)为偶函数。
　　(二)确定参数的取值范围
　　例8:奇函数f(x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数 的取值范围。
　　解:由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2),
　　∵f(x)为函数,
　　∴f(1-m)　　又∵f(x)在(-1,1)内递减,
　　(三)解不定式的有关题目
　　例9:如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小。
　　解:对任意t有f(2+t)=f(2-t)
　　∴x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴,
　　又∵其开口向上
　　∴f(2)最小,f(1)=f(3),
　　∵在[2,+∞)上,f(x)为增函数,
　　∴f(3)　　∴f(2)