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【摘要】在日常生活及高年级几何题中，常遇到如何节省包装纸即立体图形的组拼问题：要使拼成的长方体的长、宽、高的长度尽量接近。 [结论一]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数时，把合数个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。[结论二]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数（其中必有一个是2）时，把若干个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。
【关键词】分解 素数 组合 接近
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0130-02
假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他们会作出同样的发现。 ——高 斯
分解——组合——最小
[研究背景]在日常生活及高年级几何题中，经常会遇到如何节省包装纸的问题，也就是立体图形的组拼问题：把若干个相同的小长方体拼成一个大长方体，要使拼成的长方体的表面积最小，就要使长方体尽量接近正方体，即要使长方体的长、宽、高的长度尽量接近。我们所看到的资料也就研究到这个深度。
但实际解题时受小长方体长、宽、高长度的影响，需考虑各种排列方法，还得具体问题具体解决。那有没有一种更普遍、通用、快速地解决这类问题方法呢？
[猜测]将小长方体的总体积分解质因数，用质因数的积组成三个最接近的自然数即是大长方体的长、宽、高的长度。
由于拼成的大长方体体积是永远不变的，因而思考并引发此“猜测”。验证猜测的正确与否，只要看能否画出相对应的图。举例说明。
例1： 长 宽 高 个数 长 宽 高
5 × 4 × 3 × 12 =5×2×2×3×2×2×3= 10 × 8 × 9
只要新组成的三个自然数分别是原长、宽、高长度的整数倍，且三个倍数相乘的积应等于小长方体的个数（2×2×3=12），则一定能画出重新组合后的图形。
例2： 长 宽 高 个数 长 宽 高
5 × 4 × 3 × 14=5×2×2×3×2×7= 10 × 12 × 7
新组成的三个自然数中有（至少有）两个是对应的倍数，另一个不是（如例2中，10是5的2倍，12是4的3倍，7不会是3的整数倍），也符合猜测（如图一）。
（图一）
黎明前的黑暗
[拓展研究]笔者继续从不同的角度去尝试、寻找符合上述猜测的长、宽、高的特征。小长方体的长、宽、高可以是三个合数、三个素数、两个合数一个素数、两个素数一个合数，小长方体的个数偶数、奇数、合数、素数都有可能。
例3： 长 宽 高 个数 长 宽 高
三个合数：8 × 6 × 4 × 5= 12 × 10 × 8两合一素：8 × 5 × 4 ×15= 16 × 10 × 15两素一合：5 × 4 × 3 × 20= 10 × 12 × 10三个素数：11× 5× 3 × 7= 11 × 15 × 7■
我们对“猜测”的验证涵盖了所有类型，都能举出反例。难道最初的猜测真的没有任何价值？偶然思起哥特巴赫猜想，笔者于是从素数的角度作再深入的分析、探索。
拨开云雾见天日
经过数次的猜想、验证，笔者得到了“结论一”，有如拨开云雾见天日。
[结论一]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数时，把合数个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。
例4：
长 宽 高 个数 长 宽 高 图例
7 ×3× 2× 10= 7× 6×10
7 ×3× 2× 12= 7× 9×8
7 ×3× 2× 14= 7× 6×14
7 ×3× 2× 15= 7× 9×10
7 ×3× 2× 16= 7× 12×8
7 ×3× 2× 18= 7× 9×12
7 ×3× 2× 20= 7× 12×10 （图二） （图三）
7 ×3× 2× 21= 7× 9×14
7 ×3× 2× 22= 7× 12×11（图二）
7 ×3× 2× 24= 7× 12×12
7 ×3× 2× 25= 7× 15×10
7 ×3× 2× 26= 7× 12×13（图三）
7 ×3× 2× 27= 14× 9×9 （图四）
7 ×3× 2× 28= 7×1 2×14
7 ×3× 2× 30= 14× 9×10 （图四）
例4没有下划虚线的算式中，大长方体的长、宽、高分别是对应的小长方体长、宽、高的整数倍，且三个倍数相乘的积正好等于小长方体的个数，因此无须画图证明，一定能拼成相应的大长方体；而有下划虚线的算式中，大长方体有一个数据不是对应的小长方体长、宽、高的整数倍，须画图验证（图二——图四）。通过大量数据验证，“结论一”是正确的，且每组中的拼法又有一定的规律，真令人兴奋！
百尺竿头，更进一步
如果符合“结论一”的小长方体的个数是任意（合数或素数）个，那么小长方体的长、宽、高能有相应的特征吗？笔者努力思索、寻找这隐藏的规律。
[结论二]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数（其中必有一个是2）时，把若干个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。
例5：
长 宽 高 个数 长 宽 高 图例
7× 5×2× 7=7×10×7（图五）
7× 5×2× 8=7×10×8
7× 5×2× 9=7×10×9（图六） （图五） （图六）
7× 5×2× 10=7×10×10
7× 5×2× 11=7×10×11（图七）
7× 5×2× 12=7×10×12
7× 5×2× 13=7×10×13（图八） （图七） （图八）
7× 5×2× 14=7×10×14
7× 5×2× 15=7×15×10
7× 5×2× 16=14×10×8
7× 5×2× 17=7×10×17（图九）
7× 5×2× 18=14×10×9（图十） （图九）
7× 5×2× 19=7×10×19 （图十一）
7× 5×2× 20=14×10×10
（图十） （图十一）
这也许就是数形结合的和谐、魅力和美妙之处吧！看着这一组组美丽的算式和图形，笔者心情久久不能平静！此刻正应天堂的成老之言：数学是美的！
数学是美丽的
一路走来，付出了汗水，也收获了成果。这些结论对于适用题目的条件很苛刻，可这已不重要了，因为在探索的过程中，我们懂得了创新和坚持不懈，也更善于思考、善于发现，体验了研究数学问题的乐趣。正如谈祥柏先生所言：在数学上，发现是主要的，证明是第二位的。
【关键词】分解 素数 组合 接近
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0130-02
假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他们会作出同样的发现。 ——高 斯
分解——组合——最小
[研究背景]在日常生活及高年级几何题中，经常会遇到如何节省包装纸的问题，也就是立体图形的组拼问题：把若干个相同的小长方体拼成一个大长方体，要使拼成的长方体的表面积最小，就要使长方体尽量接近正方体，即要使长方体的长、宽、高的长度尽量接近。我们所看到的资料也就研究到这个深度。
但实际解题时受小长方体长、宽、高长度的影响，需考虑各种排列方法，还得具体问题具体解决。那有没有一种更普遍、通用、快速地解决这类问题方法呢？
[猜测]将小长方体的总体积分解质因数，用质因数的积组成三个最接近的自然数即是大长方体的长、宽、高的长度。
由于拼成的大长方体体积是永远不变的，因而思考并引发此“猜测”。验证猜测的正确与否，只要看能否画出相对应的图。举例说明。
例1： 长 宽 高 个数 长 宽 高
5 × 4 × 3 × 12 =5×2×2×3×2×2×3= 10 × 8 × 9
只要新组成的三个自然数分别是原长、宽、高长度的整数倍，且三个倍数相乘的积应等于小长方体的个数（2×2×3=12），则一定能画出重新组合后的图形。
例2： 长 宽 高 个数 长 宽 高
5 × 4 × 3 × 14=5×2×2×3×2×7= 10 × 12 × 7
新组成的三个自然数中有（至少有）两个是对应的倍数，另一个不是（如例2中，10是5的2倍，12是4的3倍，7不会是3的整数倍），也符合猜测（如图一）。
（图一）
黎明前的黑暗
[拓展研究]笔者继续从不同的角度去尝试、寻找符合上述猜测的长、宽、高的特征。小长方体的长、宽、高可以是三个合数、三个素数、两个合数一个素数、两个素数一个合数，小长方体的个数偶数、奇数、合数、素数都有可能。
例3： 长 宽 高 个数 长 宽 高
三个合数：8 × 6 × 4 × 5= 12 × 10 × 8两合一素：8 × 5 × 4 ×15= 16 × 10 × 15两素一合：5 × 4 × 3 × 20= 10 × 12 × 10三个素数：11× 5× 3 × 7= 11 × 15 × 7■
我们对“猜测”的验证涵盖了所有类型，都能举出反例。难道最初的猜测真的没有任何价值？偶然思起哥特巴赫猜想，笔者于是从素数的角度作再深入的分析、探索。
拨开云雾见天日
经过数次的猜想、验证，笔者得到了“结论一”，有如拨开云雾见天日。
[结论一]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数时，把合数个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。
例4：
长 宽 高 个数 长 宽 高 图例
7 ×3× 2× 10= 7× 6×10
7 ×3× 2× 12= 7× 9×8
7 ×3× 2× 14= 7× 6×14
7 ×3× 2× 15= 7× 9×10
7 ×3× 2× 16= 7× 12×8
7 ×3× 2× 18= 7× 9×12
7 ×3× 2× 20= 7× 12×10 （图二） （图三）
7 ×3× 2× 21= 7× 9×14
7 ×3× 2× 22= 7× 12×11（图二）
7 ×3× 2× 24= 7× 12×12
7 ×3× 2× 25= 7× 15×10
7 ×3× 2× 26= 7× 12×13（图三）
7 ×3× 2× 27= 14× 9×9 （图四）
7 ×3× 2× 28= 7×1 2×14
7 ×3× 2× 30= 14× 9×10 （图四）
例4没有下划虚线的算式中，大长方体的长、宽、高分别是对应的小长方体长、宽、高的整数倍，且三个倍数相乘的积正好等于小长方体的个数，因此无须画图证明，一定能拼成相应的大长方体；而有下划虚线的算式中，大长方体有一个数据不是对应的小长方体长、宽、高的整数倍，须画图验证（图二——图四）。通过大量数据验证，“结论一”是正确的，且每组中的拼法又有一定的规律，真令人兴奋！
百尺竿头，更进一步
如果符合“结论一”的小长方体的个数是任意（合数或素数）个，那么小长方体的长、宽、高能有相应的特征吗？笔者努力思索、寻找这隐藏的规律。
[结论二]当小长方体长、宽、高是三个不同的素数（其中必有一个是2）时，把若干个小长方体的总体积分解质因数，组成三个最接近的数即是大长方体的长、宽、高的长度。
例5：
长 宽 高 个数 长 宽 高 图例
7× 5×2× 7=7×10×7（图五）
7× 5×2× 8=7×10×8
7× 5×2× 9=7×10×9（图六） （图五） （图六）
7× 5×2× 10=7×10×10
7× 5×2× 11=7×10×11（图七）
7× 5×2× 12=7×10×12
7× 5×2× 13=7×10×13（图八） （图七） （图八）
7× 5×2× 14=7×10×14
7× 5×2× 15=7×15×10
7× 5×2× 16=14×10×8
7× 5×2× 17=7×10×17（图九）
7× 5×2× 18=14×10×9（图十） （图九）
7× 5×2× 19=7×10×19 （图十一）
7× 5×2× 20=14×10×10
（图十） （图十一）
这也许就是数形结合的和谐、魅力和美妙之处吧！看着这一组组美丽的算式和图形，笔者心情久久不能平静！此刻正应天堂的成老之言：数学是美的！
数学是美丽的
一路走来，付出了汗水，也收获了成果。这些结论对于适用题目的条件很苛刻，可这已不重要了，因为在探索的过程中，我们懂得了创新和坚持不懈，也更善于思考、善于发现，体验了研究数学问题的乐趣。正如谈祥柏先生所言：在数学上，发现是主要的，证明是第二位的。