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【摘要】现在信息技术的高速发展，多媒体教学的大力推广，也使得我们有更好的方法来解决学生学习几何知识的时候所遇到的问题，而在这之间，几何画板这一专业的作图教学工具为我们的教学搭建了一个很好的平台。几何画板是一个通用的数学、物理、地理等的教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的课件，画出自己需要的图形，而且简便易操作。那么，几何画板对我们的几何教学上都可以有些什么帮助呢？
【关键词】几何画板 高中数学 几何教学 作用
数学，其本身是一门抽象的学科。要想将数学学得更好，必须具备较强的抽象思维的能力。而人们从来到这个世界开始，对于数学的认识，就应该是从对身边物体的形，对身边物体的数——即数量这些直观的东西开始的，然后才会在逐步接触摸索的过程中慢慢培养起抽象思维的能力，才能更好的学习数学。这也提醒了我们，对学生抽象的数学思维的培养，也应该从具体直观形象的方面入手。尤其是高中数学中的立体几何与解析几何两个部分，由于学生之前积累的几何图形的想象力不足，逻辑思维能力的欠缺等各个原因，导致很多同学在学习几何这部分知识的时候只能靠着空泛的想象和不得不加强的记忆力来记住某些结论以应付考试，这不得不说是数学教学的一个遗憾。
现如今，新课程改革正在大力推行，《基础教育课程改革纲要(试行)》指出：“大力推进多媒体信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”这为我们提出了更高的教学要求，也为我们提供了更好的教学思路。现在信息技术的高速发展，多媒体教学的大力推广，也使得我们有更好的方法来解决学生学习几何知识的时候所遇到的问题，而在这之间，几何画板这一专业的作图教学工具为我们的教学搭建了一个很好的平台。几何画板是一个通用的数学、物理、地理等的教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的课件，画出自己需要的图形，而且简便易操作，就算没有很深厚的计算机功底也是可以做出完美的图形来的，相信只要是数学老师都应该知道这个工具。下面我们就来看看几何画板对我们的几何教学上都可以有些什么帮助呢？
1.使用几何画板，可以充分引起学生的学习兴趣
传统的数学教学，经常是数字、符号的交错，叠加，繁衍，往往会让学生产生枯燥的感觉。而课堂上对数学的探究也往往是以公式化的推导和应用作为主要工作来进行的，久而久之，这样抽象的学习过程会让学生迷茫，甚至于稍微不注意，就极有可能觉得跟不上节奏，学习起来感觉吃力。这种情况下，如果我们适时地用几何画板作图来教学，其“非同一般”的教学手段本身就足以引起学生的注意。而由于是可以看见，可以感受，甚至可以亲手操作的东西，学生会觉得有意思得多，从而也原因跟随老师去探究一些新的东西，甚至自己去发现一些全新的知识。如果有可能，我们还能在让图形动起来，让几何图形拥有生命，学生是不是也会更加感兴趣了呢？
2.几何画板的使用可以使几何问题更加形象直观地呈现在学生面前
相信在教学立体几何这部分知识的时候，有许多老师都有这样的想法：学生的空间想象能力太差了！其实这也不能怪学生，谁不想自己的空间想象能力好啊？但是我们从小对学生的数学教育方面，又有多少是注重了对学生空间想象能力的培养的呢？华罗庚说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”要想学生能想象出正确的图形，能正确的感受、分析出各个点、线、面之间的关系，我们就必须直观地将图形展示在学生面前，正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”我们也应尽力地将几何图形视觉化。
〖TP2.TIF；%50%50,Z〗例如，长方体的展开图是初学立体几何的时候常设计到的问题，在讲授长方体的展开图的时候，由于学生不好想象各个面之间的关系，往往想象不到展开之后哪个面在哪个面的什么位置，这时候我们就可以用几何画板做出一个长方体的动画，期间可以得到如左图所示的连续的一些变化图形，从而直观地展示了长方体展开图的各个面之间的关系，避免了学生由于想象力不够而导致的“胡思乱想”。
〖TP3.TIF；%50%50,Y〗再比如，我们想要让学生了解正方体的截面情况的时候，可以如右图所示的画出一个正方体及一个截面截正方体的情况，再通过运动控制台，调整截面的位置，看清楚截面的变化情况，甚至将原本隐藏的坐标轴显示出来，以便学生观察究竟截面是怎么做出来的，从而让他们体会作立体图形的截面的基本方法。
〖TP4.TIF；%50%50,Z〗在解析几何中，其实也有需要学生想象的图形，比如：为什么圆，椭圆，双曲线，抛物线就叫“圆锥曲线”了呢？当然，教材上是有图形展示的，老师也可以大概讲解一下是因为什么原因，但是这些都远不如用几何画板直接得展示给学生来得清楚，直观，形象。如左图所示的，我们可以用几何画板作出两个倒立放置的圆锥以及一个可以通过控制台控制上下旋转或者绕着圆锥对称轴旋转的平面，并且恰当的作出平面与圆锥面的截面，然后转动平面，就可以让学生直观的看到平面处于不同位置的时候所截出的几种圆锥曲线了。这远比老师空洞的讲解效果要好得多。
3.使用几何画板可以更加准确地解决某些问题
除了能够弥补学生对图形的想象力不够丰富的不足以外，使用几何画板还可以较准确的解决学生的一些问题。
例如：一圆的圆心为C(-5,0) ，半径为12，D(5,0) ，E为圆上一点，DE连线的中垂线交直线CE于点G ，求G点的轨迹方程。
〖TP5.TIF；%50%50,Y〗这是一个用常规解法就可以解决的简单的题目，我们可以用作图的方式展示给学生，用几何画板画出所需的各个量，然后追踪 点，生成其图像，如图所示，很容易看出其轨迹是一个椭圆，甚至还能清晰地观察到题中所说的 就是椭圆的轨迹。
当然使用几何画板的作用不仅如此，我们通过调整线段 的长度来控制圆的半径，能够轻松地改变题目，比如当圆的半径小于 之间距离的时候（比如半径为 ）又怎么样呢？
〖JZ〗〖XC6.TIF；%38%38〗
学生会通过计算发现应该是双曲线，但是是左支还是右支，或者还是两者皆有之？这里学生往往就想象不清楚了，我们再通过几何画板展示，可以得到如图所示的结果：可以很好地让学生观察清楚G点的轨迹是一条双曲线，学生容易想到左支是正确的，为什么右支也存在呢？原来当点E运动的时候，直线CE与DE中垂线的交点可能会出现在右边位置，从而使得G点的轨迹是一条完整的双曲线。这个解释，相信比任何的分析解释都要有力得多，更容易让学生信服。
4.几何画板的展示可以引发学生更多的思考
由于使用几何画板进行演示的时候，可以让几何元素动起来，期间会经过许多不同的情形，会让学生会见识到更多的东西，甚至动画停下来了，运动的画面会继续在学生的脑海里进行下去，从而激发学生的思考，使学生想象到一些老师都不曾想到的东西。
比如上一个例子中，当探究过当圆的半径大于或小于CD之间距离的情况之后，也许有同学就会思考：当圆的半径等于CD之间的距离时又怎么样呢？（当然结果应该是一个点了）甚至于一些同学发现椭圆与双曲线的这个类似的特点之后会去想，点G能不能在某种情况下的轨迹是抛物线和椭圆呢？又能否类似地用这个特点对圆锥曲线加以定义呢？这样的结果应该比让学生简单地解决了最初的那个题目更有意义。
又比如之前展示圆锥曲线的来历的那个例子中，学生在看到平面旋转的过程中会发现，有时候在上下两个圆锥面上截出的图形似乎不对称，那这样图形会不会是双曲线呢？如果不是又是什么呢？这些就可以留给学生慢慢去思考了。
再如，有这么一个关于椭圆光学性质的题目：一椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左右两个焦点分别为F1，F2,E是椭圆外非坐标轴上的一点，过点E的切线与椭圆切于D、F两个点，求∠DEF+∠EF2F+∠EF1D的值。
〖TP7.TIF；%50%50,Y〗由于光学性质本不是教学的重点，应用也就不多，因此学生拿到这个题多数情况也只能是猜测一下，很难给出理论上严密的推证，即便是解析几何可以不顾一切的计算之，由于情况的一般性，计算的复杂程度相当高，也很难得到想要的这个答案。这时候，我们可以借助几何画板优越的作图及度量计算的功能，直观地将图像，以及度量出的各个量甚至各个量之间的计算结果呈现给学生。同时，还可能随意调整E点的位置，让学生观察各个量的变化及计算结果，细心的同学会发现，虽然点E在变化，但是所要求的结果始终是180° ，甚至还有些量始终是一样的，比如∠DEF2和∠FEF1，从而引发学生新的思考与探究：是否还能得到更多的结论呢？
〖JP5〗5.在用几何画板展示的过程中，可以更好地向学生传递数学的美感
除了这些好处之外，在学习几何的过程中，我们还可以顺便利用几何画板向学生展示一些具有数学美感的图形，让学生体会数学的美，激发学生的学习兴趣。
〖JZ〗〖XC8.TIF；%50%50〗
例如：数学上著名的莫比乌斯带，平面截轮胎形的几何体的截面
〖JZ〗〖XC9.TIF；%50%50〗
或者感受一个平面卷起向着球面变化的过程，体会球面与平面的共性。
〖JZ〗〖XC10.TIF；%50%50〗
或者直观地看看数学上著名曲面的对称美，感受其形状的复杂多变，感受数学的美妙与强大，体会数学在生活中也是无处不在的。
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。而数学的教学，不仅仅是向学生传递传统的数学知识，也不仅仅是单纯的要培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，我们完全可以从简单的直观的图形着手，在让学生体会到数学的美感的同时，潜移默化地提升他们的想象、思维的能力。而几何画板，正好给了我们这样一个优秀的教学平台！
参考文献
［1］ 《几何画板》 画板实例
【关键词】几何画板 高中数学 几何教学 作用
数学，其本身是一门抽象的学科。要想将数学学得更好，必须具备较强的抽象思维的能力。而人们从来到这个世界开始，对于数学的认识，就应该是从对身边物体的形，对身边物体的数——即数量这些直观的东西开始的，然后才会在逐步接触摸索的过程中慢慢培养起抽象思维的能力，才能更好的学习数学。这也提醒了我们，对学生抽象的数学思维的培养，也应该从具体直观形象的方面入手。尤其是高中数学中的立体几何与解析几何两个部分，由于学生之前积累的几何图形的想象力不足，逻辑思维能力的欠缺等各个原因，导致很多同学在学习几何这部分知识的时候只能靠着空泛的想象和不得不加强的记忆力来记住某些结论以应付考试，这不得不说是数学教学的一个遗憾。
现如今，新课程改革正在大力推行，《基础教育课程改革纲要(试行)》指出：“大力推进多媒体信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”这为我们提出了更高的教学要求，也为我们提供了更好的教学思路。现在信息技术的高速发展，多媒体教学的大力推广，也使得我们有更好的方法来解决学生学习几何知识的时候所遇到的问题，而在这之间，几何画板这一专业的作图教学工具为我们的教学搭建了一个很好的平台。几何画板是一个通用的数学、物理、地理等的教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的课件，画出自己需要的图形，而且简便易操作，就算没有很深厚的计算机功底也是可以做出完美的图形来的，相信只要是数学老师都应该知道这个工具。下面我们就来看看几何画板对我们的几何教学上都可以有些什么帮助呢？
1.使用几何画板，可以充分引起学生的学习兴趣
传统的数学教学，经常是数字、符号的交错，叠加，繁衍，往往会让学生产生枯燥的感觉。而课堂上对数学的探究也往往是以公式化的推导和应用作为主要工作来进行的，久而久之，这样抽象的学习过程会让学生迷茫，甚至于稍微不注意，就极有可能觉得跟不上节奏，学习起来感觉吃力。这种情况下，如果我们适时地用几何画板作图来教学，其“非同一般”的教学手段本身就足以引起学生的注意。而由于是可以看见，可以感受，甚至可以亲手操作的东西，学生会觉得有意思得多，从而也原因跟随老师去探究一些新的东西，甚至自己去发现一些全新的知识。如果有可能，我们还能在让图形动起来，让几何图形拥有生命，学生是不是也会更加感兴趣了呢？
2.几何画板的使用可以使几何问题更加形象直观地呈现在学生面前
相信在教学立体几何这部分知识的时候，有许多老师都有这样的想法：学生的空间想象能力太差了！其实这也不能怪学生，谁不想自己的空间想象能力好啊？但是我们从小对学生的数学教育方面，又有多少是注重了对学生空间想象能力的培养的呢？华罗庚说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”要想学生能想象出正确的图形，能正确的感受、分析出各个点、线、面之间的关系，我们就必须直观地将图形展示在学生面前，正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”我们也应尽力地将几何图形视觉化。
〖TP2.TIF；%50%50,Z〗例如，长方体的展开图是初学立体几何的时候常设计到的问题，在讲授长方体的展开图的时候，由于学生不好想象各个面之间的关系，往往想象不到展开之后哪个面在哪个面的什么位置，这时候我们就可以用几何画板做出一个长方体的动画，期间可以得到如左图所示的连续的一些变化图形，从而直观地展示了长方体展开图的各个面之间的关系，避免了学生由于想象力不够而导致的“胡思乱想”。
〖TP3.TIF；%50%50,Y〗再比如，我们想要让学生了解正方体的截面情况的时候，可以如右图所示的画出一个正方体及一个截面截正方体的情况，再通过运动控制台，调整截面的位置，看清楚截面的变化情况，甚至将原本隐藏的坐标轴显示出来，以便学生观察究竟截面是怎么做出来的，从而让他们体会作立体图形的截面的基本方法。
〖TP4.TIF；%50%50,Z〗在解析几何中，其实也有需要学生想象的图形，比如：为什么圆，椭圆，双曲线，抛物线就叫“圆锥曲线”了呢？当然，教材上是有图形展示的，老师也可以大概讲解一下是因为什么原因，但是这些都远不如用几何画板直接得展示给学生来得清楚，直观，形象。如左图所示的，我们可以用几何画板作出两个倒立放置的圆锥以及一个可以通过控制台控制上下旋转或者绕着圆锥对称轴旋转的平面，并且恰当的作出平面与圆锥面的截面，然后转动平面，就可以让学生直观的看到平面处于不同位置的时候所截出的几种圆锥曲线了。这远比老师空洞的讲解效果要好得多。
3.使用几何画板可以更加准确地解决某些问题
除了能够弥补学生对图形的想象力不够丰富的不足以外，使用几何画板还可以较准确的解决学生的一些问题。
例如：一圆的圆心为C(-5,0) ，半径为12，D(5,0) ，E为圆上一点，DE连线的中垂线交直线CE于点G ，求G点的轨迹方程。
〖TP5.TIF；%50%50,Y〗这是一个用常规解法就可以解决的简单的题目，我们可以用作图的方式展示给学生，用几何画板画出所需的各个量，然后追踪 点，生成其图像，如图所示，很容易看出其轨迹是一个椭圆，甚至还能清晰地观察到题中所说的 就是椭圆的轨迹。
当然使用几何画板的作用不仅如此，我们通过调整线段 的长度来控制圆的半径，能够轻松地改变题目，比如当圆的半径小于 之间距离的时候（比如半径为 ）又怎么样呢？
〖JZ〗〖XC6.TIF；%38%38〗
学生会通过计算发现应该是双曲线，但是是左支还是右支，或者还是两者皆有之？这里学生往往就想象不清楚了，我们再通过几何画板展示，可以得到如图所示的结果：可以很好地让学生观察清楚G点的轨迹是一条双曲线，学生容易想到左支是正确的，为什么右支也存在呢？原来当点E运动的时候，直线CE与DE中垂线的交点可能会出现在右边位置，从而使得G点的轨迹是一条完整的双曲线。这个解释，相信比任何的分析解释都要有力得多，更容易让学生信服。
4.几何画板的展示可以引发学生更多的思考
由于使用几何画板进行演示的时候，可以让几何元素动起来，期间会经过许多不同的情形，会让学生会见识到更多的东西，甚至动画停下来了，运动的画面会继续在学生的脑海里进行下去，从而激发学生的思考，使学生想象到一些老师都不曾想到的东西。
比如上一个例子中，当探究过当圆的半径大于或小于CD之间距离的情况之后，也许有同学就会思考：当圆的半径等于CD之间的距离时又怎么样呢？（当然结果应该是一个点了）甚至于一些同学发现椭圆与双曲线的这个类似的特点之后会去想，点G能不能在某种情况下的轨迹是抛物线和椭圆呢？又能否类似地用这个特点对圆锥曲线加以定义呢？这样的结果应该比让学生简单地解决了最初的那个题目更有意义。
又比如之前展示圆锥曲线的来历的那个例子中，学生在看到平面旋转的过程中会发现，有时候在上下两个圆锥面上截出的图形似乎不对称，那这样图形会不会是双曲线呢？如果不是又是什么呢？这些就可以留给学生慢慢去思考了。
再如，有这么一个关于椭圆光学性质的题目：一椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左右两个焦点分别为F1，F2,E是椭圆外非坐标轴上的一点，过点E的切线与椭圆切于D、F两个点，求∠DEF+∠EF2F+∠EF1D的值。
〖TP7.TIF；%50%50,Y〗由于光学性质本不是教学的重点，应用也就不多，因此学生拿到这个题多数情况也只能是猜测一下，很难给出理论上严密的推证，即便是解析几何可以不顾一切的计算之，由于情况的一般性，计算的复杂程度相当高，也很难得到想要的这个答案。这时候，我们可以借助几何画板优越的作图及度量计算的功能，直观地将图像，以及度量出的各个量甚至各个量之间的计算结果呈现给学生。同时，还可能随意调整E点的位置，让学生观察各个量的变化及计算结果，细心的同学会发现，虽然点E在变化，但是所要求的结果始终是180° ，甚至还有些量始终是一样的，比如∠DEF2和∠FEF1，从而引发学生新的思考与探究：是否还能得到更多的结论呢？
〖JP5〗5.在用几何画板展示的过程中，可以更好地向学生传递数学的美感
除了这些好处之外，在学习几何的过程中，我们还可以顺便利用几何画板向学生展示一些具有数学美感的图形，让学生体会数学的美，激发学生的学习兴趣。
〖JZ〗〖XC8.TIF；%50%50〗
例如：数学上著名的莫比乌斯带，平面截轮胎形的几何体的截面
〖JZ〗〖XC9.TIF；%50%50〗
或者感受一个平面卷起向着球面变化的过程，体会球面与平面的共性。
〖JZ〗〖XC10.TIF；%50%50〗
或者直观地看看数学上著名曲面的对称美，感受其形状的复杂多变，感受数学的美妙与强大，体会数学在生活中也是无处不在的。
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。而数学的教学，不仅仅是向学生传递传统的数学知识，也不仅仅是单纯的要培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，我们完全可以从简单的直观的图形着手，在让学生体会到数学的美感的同时，潜移默化地提升他们的想象、思维的能力。而几何画板，正好给了我们这样一个优秀的教学平台！
参考文献
［1］ 《几何画板》 画板实例