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摘要：利用更换投影面法求出各管件的实长，求出各管件之间的实际夹角及相关管节的错心差，用辅助圆法展开各管节。
关键词：展开；实长；更换；错心差；正曲；反曲
如图1，这是一个三节圆管蛇形弯构件，已知尺寸有a、b、c、d、e、f。
从立面图和平面圖中可以看出管Ⅱ的中心线不反映实长，管Ⅰ和管Ⅱ，管Ⅱ和管Ⅲ之间的夹角不是实际的角度，所以不能直接用辅助圆法作展开图，应通过更换投影面法求出各管件的实长，求出各管件之间的实际夹角及相关管节的错心差，然后再利用辅助圆法展开各管节。展开图的具体做法叙述如下：
一、利用第Ⅲ节中心线O3--O4在立面图中重影为一个点的有利条件，应用更换投影面法，通过一次变更求出第Ⅱ节中心线的实长，及其与第Ⅲ节中心线所夹实角。
做法如下：作与立面图中O2’-O3’平行的新投影轴X1--X1，过O1’、O2’、O3’、（O4’）引X1--X1的垂线，由与X1--X1的交点（未标）沿垂线方向截取c’、e’，使c’、e’分别等于平面图中的c和e，于是得到O1”、O2”、O3”、O4”，则O1”--O2”--O3”--O4”就是蛇形管中心线在一次变换图上的投影，其中O2”--O3”--O4”反映实长且反映所夹实角。作正断面M--N，则正断面M--N右方的两节弯头的展开成为可能，可以作出辅助圆半径r1、r2。r1、r2也是第Ⅲ节的辅助圆半径，故可先作出Ⅲ的展开图如下（图2）。
二、通过二次变换，把第二节实长中心线O2”--R部分投影为一个点，同时把正断面M--N投影为一个圆。作和O2”-R相垂直的新投影轴X2--X2，过O1”、O2”、R引X2--X2的垂线，由与X2-X2的交点（未标）沿垂线截取g’，使g’等立面图中的g，于是得到点O1”’、O2”’，O1”’--O2”’即第Ⅰ节的中心线投影；以O2”’为圆心，以d为直径作圆，就是正断面M--N的投影；
三、通过三次变换求第Ⅰ节中心线的实长，重现第Ⅱ节M--N左侧中心线实长及其所夹实角。作平行于O2”’--O1”’的新投影轴X3--X3，过O1”’、O”’引X3--X3的垂线，由与X3--X3的交点（未标）起沿垂线截取p’、h’，使得p’、h’等于一次变换图中的p、h，于是得到R?、O2?、O1?，而R?-O2?-O1?就是中心线的实长，所夹角也是实角。然后画出圆管的投影边线以及直线型结合线Q--Q’，由此可直接得到辅助圆半径r3、r4，于是M--N正断面左侧的展开成为可能，特别是第Ⅰ节可以毫无困难地实施展开如下（图3）；
四、求第Ⅱ节的错心差。首先在一次变换图上的M-N右侧找到对于M--N的最近点P，再在三次变换图上找到对于M’--N’（M-N）的最近点Q，然后由P、Q分别引Ⅱ的中心线的平行线切二次变换图中的圆周于P?和Q?，那么劣弧P?-Q?的长就是第Ⅱ节的错心差S；
五、有了辅助圆半径r1、r2、r3、r4，又有了错心差S以及第Ⅱ节的中心线实长l、h，就可以用辅助圆法作Ⅱ的展开图了。如图4：首先，作O2--O3与直线M--N垂直相交于M，使M--O2、M--O3分别等于一次变换图中的h、l，使M-N长为πd，以O2、O3分别为圆心，以r1、r2和r3、r4分别为半径画1/4辅助圆弧（注意彼此位置）且各二等分，等分点标号 如图所示，最近点被标号为5和5’；其次，在M--N上取M--M’和M’--N’、使M--N’等于错心差S（M’在M-N之间），使M’-N’等于πd，将M--N、M’--N’各八等分，Ⅱ的接
缝选在M-N正断面右侧不长不短的素线上，所以M、M’处的标号应写成3和3’，其他等分点标号如图；最后，由辅助圆上的诸等分点分别引M--N的平行线，与由M--N、M’--N’上等分点所引的M--N的垂线同名对应相交（交点未标），把两组交点分别用描点法连接起来，就得到展开曲线O3--3×和3××--3××；3×--N的延长线交曲线3××--3××于A点，再将上部多出来的部分A--N--N’--3××--A平移到下面而成A’--M--M’--3××--A’。于是完成Ⅱ的全部展开图A--N--3×--O3--M--A’--A。本展开图是正曲的。×
如果M--M’即错心差不是向上方取的，而是向下方取的，换言之，M’在M--N之外，那么就会得到图5所示的展开图，图中的3××--A’--N--N’--3××是由下部的O2--A--M--M’--O2向上平移而得到的。这个展开图也是正确的，与前一展开图的唯一差别只是反曲而不是正曲罢了。
关键词：展开；实长；更换；错心差；正曲；反曲
如图1，这是一个三节圆管蛇形弯构件，已知尺寸有a、b、c、d、e、f。
从立面图和平面圖中可以看出管Ⅱ的中心线不反映实长，管Ⅰ和管Ⅱ，管Ⅱ和管Ⅲ之间的夹角不是实际的角度，所以不能直接用辅助圆法作展开图，应通过更换投影面法求出各管件的实长，求出各管件之间的实际夹角及相关管节的错心差，然后再利用辅助圆法展开各管节。展开图的具体做法叙述如下：
一、利用第Ⅲ节中心线O3--O4在立面图中重影为一个点的有利条件，应用更换投影面法，通过一次变更求出第Ⅱ节中心线的实长，及其与第Ⅲ节中心线所夹实角。
做法如下：作与立面图中O2’-O3’平行的新投影轴X1--X1，过O1’、O2’、O3’、（O4’）引X1--X1的垂线，由与X1--X1的交点（未标）沿垂线方向截取c’、e’，使c’、e’分别等于平面图中的c和e，于是得到O1”、O2”、O3”、O4”，则O1”--O2”--O3”--O4”就是蛇形管中心线在一次变换图上的投影，其中O2”--O3”--O4”反映实长且反映所夹实角。作正断面M--N，则正断面M--N右方的两节弯头的展开成为可能，可以作出辅助圆半径r1、r2。r1、r2也是第Ⅲ节的辅助圆半径，故可先作出Ⅲ的展开图如下（图2）。
二、通过二次变换，把第二节实长中心线O2”--R部分投影为一个点，同时把正断面M--N投影为一个圆。作和O2”-R相垂直的新投影轴X2--X2，过O1”、O2”、R引X2--X2的垂线，由与X2-X2的交点（未标）沿垂线截取g’，使g’等立面图中的g，于是得到点O1”’、O2”’，O1”’--O2”’即第Ⅰ节的中心线投影；以O2”’为圆心，以d为直径作圆，就是正断面M--N的投影；
三、通过三次变换求第Ⅰ节中心线的实长，重现第Ⅱ节M--N左侧中心线实长及其所夹实角。作平行于O2”’--O1”’的新投影轴X3--X3，过O1”’、O”’引X3--X3的垂线，由与X3--X3的交点（未标）起沿垂线截取p’、h’，使得p’、h’等于一次变换图中的p、h，于是得到R?、O2?、O1?，而R?-O2?-O1?就是中心线的实长，所夹角也是实角。然后画出圆管的投影边线以及直线型结合线Q--Q’，由此可直接得到辅助圆半径r3、r4，于是M--N正断面左侧的展开成为可能，特别是第Ⅰ节可以毫无困难地实施展开如下（图3）；
四、求第Ⅱ节的错心差。首先在一次变换图上的M-N右侧找到对于M--N的最近点P，再在三次变换图上找到对于M’--N’（M-N）的最近点Q，然后由P、Q分别引Ⅱ的中心线的平行线切二次变换图中的圆周于P?和Q?，那么劣弧P?-Q?的长就是第Ⅱ节的错心差S；
五、有了辅助圆半径r1、r2、r3、r4，又有了错心差S以及第Ⅱ节的中心线实长l、h，就可以用辅助圆法作Ⅱ的展开图了。如图4：首先，作O2--O3与直线M--N垂直相交于M，使M--O2、M--O3分别等于一次变换图中的h、l，使M-N长为πd，以O2、O3分别为圆心，以r1、r2和r3、r4分别为半径画1/4辅助圆弧（注意彼此位置）且各二等分，等分点标号 如图所示，最近点被标号为5和5’；其次，在M--N上取M--M’和M’--N’、使M--N’等于错心差S（M’在M-N之间），使M’-N’等于πd，将M--N、M’--N’各八等分，Ⅱ的接
缝选在M-N正断面右侧不长不短的素线上，所以M、M’处的标号应写成3和3’，其他等分点标号如图；最后，由辅助圆上的诸等分点分别引M--N的平行线，与由M--N、M’--N’上等分点所引的M--N的垂线同名对应相交（交点未标），把两组交点分别用描点法连接起来，就得到展开曲线O3--3×和3××--3××；3×--N的延长线交曲线3××--3××于A点，再将上部多出来的部分A--N--N’--3××--A平移到下面而成A’--M--M’--3××--A’。于是完成Ⅱ的全部展开图A--N--3×--O3--M--A’--A。本展开图是正曲的。×
如果M--M’即错心差不是向上方取的，而是向下方取的，换言之，M’在M--N之外，那么就会得到图5所示的展开图，图中的3××--A’--N--N’--3××是由下部的O2--A--M--M’--O2向上平移而得到的。这个展开图也是正确的，与前一展开图的唯一差别只是反曲而不是正曲罢了。