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摘要：针对静态电压无功容量配置规划问题，提出了一种基于子区域的变步长粒子群算法，避免了标准粒子群算法在寻优时容易陷入局部最优的不足。变步长粒子群算法将搜索空间划分成若干个子区域，在各个子区域中均使用粒子群算法进行寻优，通过比较各个子区域的全局最优解，得出整个搜索空间的全局最优。结合IEEE30节点系统的无功配置问题，与标准粒子群算法以及自适应变异粒子群算法相比，该算法能够显著降低在寻优过程中陷入局部最优的概率，得到更好的优化结果。
关键词：粒子群优化算法；惯性因子；变步长；子区域；无功优化
0引言
交流电网无功配置是提高系统性能的重要实时电压控制管理技术。一般情况下，输电网无功补偿手段可分为两大类，即发电厂无功功率输出调节和变电站电容器电压支撑。这两者的组合对输电网中无功功率的传输及网络节点电压的数值有着显著影响，对其的优化属于多目标组合寻优问题。
在基于网损最小化的无功容量优化配置问题中，试图同时在一系列给定的条件之下，最优化地设置控制变量的值。这些控制变量包括发电机无功的输入、变压器变比、并联电容/抗器的无功输出等。近年来许多文献对其进行了建模研究，并采用演化算法对其进行求解，诸如遗传算法[1]、蚁群算法[2]和禁忌搜索法[3]等。
粒子群优化算法是智能算法中的一种。粒子群算法由于建模简易、收敛性快等优点，在无功功率容量优化配置寻优问题求解领域得到了充分的發展[4-9]。其中，文献[4]是最早提出了基于PSO的无功容量配置优化算法，取得了良好的效果。
由于粒子群优化算法具有收敛速度快、容易实现且需要参数少等优点，已有不少文献就无功容量优化问题，提出了改进的PSO算法[10-13]。然而，当PSO应用于高维复杂问题时，容易出现过早收敛且造成局部最优等问题，导致了该算法不能保证收敛到全局最优。出现这种情况的主要原因是早期收敛速度快，到了后期没有得到有效约束使得算法脱离极小点[14-15]。
针对上述问题，本文在分析输电网无功功率补偿特点及其实际需求的基础上，提出了一种基于子区域粒子群优化算法。同时，在划分的每一个子区域内，根据惯性因子在算法中的作用机理，将迭代分为了三个阶段，设计了一个根据进化代数和解收敛度的自适应惯性因子，使得计算迭代过程既能够在前期保持较快的收敛特性，又能够在后期兼顾局部收敛精度和全局寻优。本文对IEEE30节点系统进行了无功优化试验研究，与传统的标准粒子群算法和自适应变异粒子群算法进行了比较。
1面向无功容量优化配置的粒子群算法分析
PSO作为解决大规模非突问题的有效工具在电力系统优化中得到了广泛研究，具体到无功优化容量配置的寻优问题，有其本身的特点。
1、在规划态的无功优化问题，由于变电站的标准配置问题，通常情况下，对于容量配置不需要那么高的精度。然而，随着电网规模的不断扩大以及运行方式的多变性，为保证整个电网电压在合格水平范围内且有功功率为最小的目标前提下，各设备间无功容量的配置问题以及无功容量的调整优化显得更为重要。为此，高效优化算法的研究一直是研究者们关注的热点。
2、无功容量最优配置上，虽然自适应变异PSO算法能够有效地解决前期全局搜索能力强、后期全局搜索能力弱的问题，但是依然存在寻优解围绕最优解来回跳变的问题。
3、与遗传算法相比，传统的PSO方法本身不具备寻优过程中的变异能力，缺乏有效的机制使算法逃离极小点。因此，针对后期迭代局优问题，PSO在理论上存在着的一个明显的缺陷，即当PSO应用于高维复杂的优化问题时，容易过早收敛以及陷入局部最优，不能保证算法收敛到全局最优。
基于以上三个问题，本文提出了一种基于子区域的变步长粒子群算法，对电网无功容量进行最优配置。
2粒子群算法的无功容量配置优化问题分析
2.1无功优化建模问题
本文采用的子区域变步长粒子群优化算法以是全网的有功损耗最小为目标进行无功优化建模。通过最优化地设置控制变量值，包括发电机无功的输出、变压器变比的调整、电容器的无功输出，使得全网有功损耗最小化。目标函数如下所示：
（1）
式中， ， 为所有母线节点集合， ， 为与母线节点 相关联的节点集合。
为输电网络有功功率损耗； 为支路 的导纳。 分别母线节点i和j的电压幅值。 为负荷母线i和j的角度差。
等式约束为：
（2）
（3）
不等式约束为：
发电机无功功率限制：
（4）
节点电压限制：
（5）
变压器变比限制：
（6）
线路潮流限制：
（7）
2.2变步长改进粒子群算法
PSO算法快速、简单，在基于种群优化的方法中效率较高的一种方法。这种方法被Eberhart and Kennedy [6]中提出。每一个粒子基于它们自己的最佳位置、全局最佳位置来升级本身的位置，如下式所示：
（8）
（9）
此处： 为第i个粒子在第k+1代时候的速度矢量； 为粒子的惯性因子； 为第i个粒子在第k代时候的速度矢量； 为正常数，范围为[0，2.5]； 的范围为[0，1]之间随机产生的数字； 为基于粒子群迭代历史上的第i个粒子的最佳位置； 为G种群粒子全局最优位置； 为第k+1代时候的第i个粒子的位置； 为第k代时候的第i个粒子的位置； 为罚因子，用来确保收敛。
算法利用下式对惯性因子进行调节，在全局和最优解之间提供一个平衡：
（10）
此处， 位于初始迭代， 位于迭代时期的末端， 是当前迭代数， 是最大迭代次数。 2.3基于后期随机粒子群算法
本文所提算法，就是对式（8）和式（9）进行改进。依据迭代次数，将迭代分为三个阶段，全局搜索阶段，初级解稳定阶段，高精度解稳定阶段。在每个稳定阶段，设置不同的惯性因子和加速因子。设 ， 为三个阶段的迭代次数限制，则w，c1，c2取值如下所示。
（11）
（12）
（13）
以上的修正，使得在迭代初期，能够保证全局搜索能力。而在迭代的中后期，当迭代区域稳定时，既能够在一定程度上保证局部收敛性，又能够确保在较小范围内容的全局收敛性，符合运行态无功容量配置的要求。随着迭代次数的增加，计算结果的精度也将逐渐提高。
这样，就惯性因子而言，在迭代后期阶段引入随机变量，使得惯性因子在线性化减小的同时，保证其随机性。通过对公式（11）、（12）、（13）的调整，使得公式（8）的速度迭代公式中，三个分项均有随机因子存在，后两个加入随机减小因素，即逐渐地降低c1/c2的大小。这样，既考虑后期陷入局优解的变异手段，同时又能够提高优化精度。
2.3.4 算法程序框图
基于子区域的变步长粒子群算法流程图如图1所示。
3 IEEE30节点算例分析
3.1 试验环境
以IEEE30节点标准电力系统作为算例，数据详见参考文献[16]。IEEE 30节点系统有6台发电机、4台可调变压器及2个装有无功补偿的负荷节点；41条支路、21个负荷节点；节点1、2、5、8、11、13为发电机节点，在发电机节点中，节点1为平衡节点，2、5、8、11、13为PV节点，其余均为PQ节点。PV节点、PQ节点和平衡节点的电压均设置为0.90～1.10pu。4个有载调压变压器分别在4条支路：（6，9），（6，10），（4，12）以及（28，27）。分接头调节范围为0.90～1.10pu。另外，在节点10与节点24为无功补偿节点，其范围为0～100 MVA。
在本算例中，标准粒子群算法以及自适应变异粒子群算法，群体个数设置为50，最大迭代次数取100，加速因子cl和c2按下述所示取值：
（14）
另外，惯性因子最小值为0.2，最大值为1。惯性因子 在第75代后依据迭代次数减小同时采取随机取数。
3.2 三种算法试验计算结果及对比分析
算例初始网络损耗PLOSS=20MW。分别采用标准PSO算法、自适应变异PSO算法和本文提出的变步长划分子区域PSO算法进行对比分析。为不失一般性，分別运行20次。
运用标准PSO算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.729lMW，系统网损下降的过程如图2所示。
运用自适应变异PSO算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.571MW，系统网损下降的过程如图3所示。
运用本文算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.385MW，系统网损下降过程如图4所示。
运用本文算法对目标函数进行寻优时结果如下：节点1和2的电压幅值区间分别为[0.9，l]和[0.9，1]、[0.9，1]和[1，1.1]、[l，1.1]和[0.9，l]以及[1，1.1]和[1，1.1]时，分别得到子区域1、2、3、4。各个子区域的最优解分别如下：PLOSSl=16.438MW，PLOSS2=16.412MW，PLOSS3=16.390MW，PLOSS4=16.385MW。通过比较得到全局最优解PLOSS=16.385MW。
通过以上三种方法的比较，可以得出如下结论：
（1） 采用本文方法，多次试验之后，寻找到的最优解，为三种方法最中的最优解，即：16.385；
（2） 寻找到的平均最优解来说，三种方法基本相似。从图2、3、4可看出，后期迭代过程中，由于文提出的子区域变步长PSO提高了局部搜索解的精度，使得其在后期能够找到给定精度下的小环境最优解；
（3） 在迭代情况上，从图中可以看出，子区域变步长PSO在趋于稳定解的速度明显更快。从图4也可看出，尤其是在后期迭代过程中，该方法能够实现趋近于阶跃性的寻优效果。
可见，本文算法在迭代耗时上与其他两法相同，并能够在搜索精度和全局收敛性上获得较好效果。算例表明，该算法在电力系统无功优化中有良好的效果。
4 结论
本文提出了一种基于子区域的变步长粒子群优化算法，该算法是将搜索空间划分为若干子空间，在各子空间进行POS算法寻优。通过分析惯性因子作用机理的基础上，在各个子区域中设计了一个根据种群多样性和进化代数自适应调节的惯性因子计算方法，通过变换搜索步长，提高了算法的局部搜索能力。实验证明，与标准算法和自适应变异算法相比，本文提出的算法提高了优化的精度，在保证收敛速度的同时，结合无功优化的实际情况，实现了前期全局搜索能力、后其局部搜索精度的提高，最终得到全局最优解。
参考文献
[1] Kenji I.Reactive power optimization by genetic algorithm
[J].IEEE Transactions on Power Systems，1994，9（2）：685-692.
[2] 陈敬宁，何桂贤. 带杂交、变异因子的自适应蚁群算法在电
力系统无功优化中的应用[J].继电器，2003，31（11）： 36-40
[3] 谭涛亮，张尧. 基于遗传禁忌混合算法的电力系统无功优化[J].电网技术，2003，28（11）：57-61.
[4] H. Yoshida， K. Kawata， Y. Fukuyama， S. Takayama， Y. Nakanishi， A particle swarm optimization for reactive power and voltage control considering voltage security assessment， IEEE Trans. Power Syst. 15 （1997） 1232-1239. [5] Y. H. Shi， R. C. Eberhart， A modified particle swarm optimizer， In Proc. IEEE Int. Conf. Evolutionary Computation， Anchorage， AK， May 4–9， 1998， pp. 69–73.
[6] R. Eberhart， Y. Shi， Comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization， In Proc. 2000 Congr. Evol. Computation.， pp. 84–88.
[7] H. Xiaohui， S. Yuhui， and R. C. Eberhart， ―Recent advances in particle swarm， in Proc. IEEE 2004 Congr. Evolutionary Computation， Jun. 19–23， vol. 1， pp. 90–97.
[8] R. C. Eberhart， Y. Shi， Guest editorial special issue on particle swarm optimization， IEEE Transactions. Evolutionary Computation. 8 （2004） 201–203.
[9] Y. H. Shi， R. C. Eberhart， Parameter selection in particle swarm optimizer， In Proc. 1998 Annu. Conf. Evolutionary Programming， San Diego， CA， Mar. 1998， pp. 1945–1950.
[10] 刘丽军，李捷，蔡金锭.基于强引导粒子群与混沌优化的电力系统无功优化[J].电力自动化设备，2010，30（4）：71-75.
[11] 刘自发，张建华.基于自适应小生境粒子群优化算法的电力系统无功优化[J].电力自动化设备，2009，29（11）：27-30.
[12] 刘述奎，陈维榮，李奇，等.基于自适应聚焦粒子群算法的电力系统无功优化[J].电力系统保护与控制，2009，37（13）：1-6.
[13] 肖军，刘天琪，苏鹏.基于双总群粒子群算法的分时段电力系统无功优化[J].电网技术，2009，33（8）：72-77.
[14] 肖军，刘天琪，苏鹏.基于双总群粒子群算法的分时段电力系统无功优化[J].电网技术，2009，33（8）：72-77.
[15] 曾嘉俊，刘志刚，何士玉，等. 一种基于子区域粒子群的无功优化算法研究[J].电力系统保护与控制，2012，40（1）：37-42.
[16] 张伯明，陈寿松.高等电力网络分析[M].北京：清华大学出版社，1996.
关键词：粒子群优化算法；惯性因子；变步长；子区域；无功优化
0引言
交流电网无功配置是提高系统性能的重要实时电压控制管理技术。一般情况下，输电网无功补偿手段可分为两大类，即发电厂无功功率输出调节和变电站电容器电压支撑。这两者的组合对输电网中无功功率的传输及网络节点电压的数值有着显著影响，对其的优化属于多目标组合寻优问题。
在基于网损最小化的无功容量优化配置问题中，试图同时在一系列给定的条件之下，最优化地设置控制变量的值。这些控制变量包括发电机无功的输入、变压器变比、并联电容/抗器的无功输出等。近年来许多文献对其进行了建模研究，并采用演化算法对其进行求解，诸如遗传算法[1]、蚁群算法[2]和禁忌搜索法[3]等。
粒子群优化算法是智能算法中的一种。粒子群算法由于建模简易、收敛性快等优点，在无功功率容量优化配置寻优问题求解领域得到了充分的發展[4-9]。其中，文献[4]是最早提出了基于PSO的无功容量配置优化算法，取得了良好的效果。
由于粒子群优化算法具有收敛速度快、容易实现且需要参数少等优点，已有不少文献就无功容量优化问题，提出了改进的PSO算法[10-13]。然而，当PSO应用于高维复杂问题时，容易出现过早收敛且造成局部最优等问题，导致了该算法不能保证收敛到全局最优。出现这种情况的主要原因是早期收敛速度快，到了后期没有得到有效约束使得算法脱离极小点[14-15]。
针对上述问题，本文在分析输电网无功功率补偿特点及其实际需求的基础上，提出了一种基于子区域粒子群优化算法。同时，在划分的每一个子区域内，根据惯性因子在算法中的作用机理，将迭代分为了三个阶段，设计了一个根据进化代数和解收敛度的自适应惯性因子，使得计算迭代过程既能够在前期保持较快的收敛特性，又能够在后期兼顾局部收敛精度和全局寻优。本文对IEEE30节点系统进行了无功优化试验研究，与传统的标准粒子群算法和自适应变异粒子群算法进行了比较。
1面向无功容量优化配置的粒子群算法分析
PSO作为解决大规模非突问题的有效工具在电力系统优化中得到了广泛研究，具体到无功优化容量配置的寻优问题，有其本身的特点。
1、在规划态的无功优化问题，由于变电站的标准配置问题，通常情况下，对于容量配置不需要那么高的精度。然而，随着电网规模的不断扩大以及运行方式的多变性，为保证整个电网电压在合格水平范围内且有功功率为最小的目标前提下，各设备间无功容量的配置问题以及无功容量的调整优化显得更为重要。为此，高效优化算法的研究一直是研究者们关注的热点。
2、无功容量最优配置上，虽然自适应变异PSO算法能够有效地解决前期全局搜索能力强、后期全局搜索能力弱的问题，但是依然存在寻优解围绕最优解来回跳变的问题。
3、与遗传算法相比，传统的PSO方法本身不具备寻优过程中的变异能力，缺乏有效的机制使算法逃离极小点。因此，针对后期迭代局优问题，PSO在理论上存在着的一个明显的缺陷，即当PSO应用于高维复杂的优化问题时，容易过早收敛以及陷入局部最优，不能保证算法收敛到全局最优。
基于以上三个问题，本文提出了一种基于子区域的变步长粒子群算法，对电网无功容量进行最优配置。
2粒子群算法的无功容量配置优化问题分析
2.1无功优化建模问题
本文采用的子区域变步长粒子群优化算法以是全网的有功损耗最小为目标进行无功优化建模。通过最优化地设置控制变量值，包括发电机无功的输出、变压器变比的调整、电容器的无功输出，使得全网有功损耗最小化。目标函数如下所示：
（1）
式中， ， 为所有母线节点集合， ， 为与母线节点 相关联的节点集合。
为输电网络有功功率损耗； 为支路 的导纳。 分别母线节点i和j的电压幅值。 为负荷母线i和j的角度差。
等式约束为：
（2）
（3）
不等式约束为：
发电机无功功率限制：
（4）
节点电压限制：
（5）
变压器变比限制：
（6）
线路潮流限制：
（7）
2.2变步长改进粒子群算法
PSO算法快速、简单，在基于种群优化的方法中效率较高的一种方法。这种方法被Eberhart and Kennedy [6]中提出。每一个粒子基于它们自己的最佳位置、全局最佳位置来升级本身的位置，如下式所示：
（8）
（9）
此处： 为第i个粒子在第k+1代时候的速度矢量； 为粒子的惯性因子； 为第i个粒子在第k代时候的速度矢量； 为正常数，范围为[0，2.5]； 的范围为[0，1]之间随机产生的数字； 为基于粒子群迭代历史上的第i个粒子的最佳位置； 为G种群粒子全局最优位置； 为第k+1代时候的第i个粒子的位置； 为第k代时候的第i个粒子的位置； 为罚因子，用来确保收敛。
算法利用下式对惯性因子进行调节，在全局和最优解之间提供一个平衡：
（10）
此处， 位于初始迭代， 位于迭代时期的末端， 是当前迭代数， 是最大迭代次数。 2.3基于后期随机粒子群算法
本文所提算法，就是对式（8）和式（9）进行改进。依据迭代次数，将迭代分为三个阶段，全局搜索阶段，初级解稳定阶段，高精度解稳定阶段。在每个稳定阶段，设置不同的惯性因子和加速因子。设 ， 为三个阶段的迭代次数限制，则w，c1，c2取值如下所示。
（11）
（12）
（13）
以上的修正，使得在迭代初期，能够保证全局搜索能力。而在迭代的中后期，当迭代区域稳定时，既能够在一定程度上保证局部收敛性，又能够确保在较小范围内容的全局收敛性，符合运行态无功容量配置的要求。随着迭代次数的增加，计算结果的精度也将逐渐提高。
这样，就惯性因子而言，在迭代后期阶段引入随机变量，使得惯性因子在线性化减小的同时，保证其随机性。通过对公式（11）、（12）、（13）的调整，使得公式（8）的速度迭代公式中，三个分项均有随机因子存在，后两个加入随机减小因素，即逐渐地降低c1/c2的大小。这样，既考虑后期陷入局优解的变异手段，同时又能够提高优化精度。
2.3.4 算法程序框图
基于子区域的变步长粒子群算法流程图如图1所示。
3 IEEE30节点算例分析
3.1 试验环境
以IEEE30节点标准电力系统作为算例，数据详见参考文献[16]。IEEE 30节点系统有6台发电机、4台可调变压器及2个装有无功补偿的负荷节点；41条支路、21个负荷节点；节点1、2、5、8、11、13为发电机节点，在发电机节点中，节点1为平衡节点，2、5、8、11、13为PV节点，其余均为PQ节点。PV节点、PQ节点和平衡节点的电压均设置为0.90～1.10pu。4个有载调压变压器分别在4条支路：（6，9），（6，10），（4，12）以及（28，27）。分接头调节范围为0.90～1.10pu。另外，在节点10与节点24为无功补偿节点，其范围为0～100 MVA。
在本算例中，标准粒子群算法以及自适应变异粒子群算法，群体个数设置为50，最大迭代次数取100，加速因子cl和c2按下述所示取值：
（14）
另外，惯性因子最小值为0.2，最大值为1。惯性因子 在第75代后依据迭代次数减小同时采取随机取数。
3.2 三种算法试验计算结果及对比分析
算例初始网络损耗PLOSS=20MW。分别采用标准PSO算法、自适应变异PSO算法和本文提出的变步长划分子区域PSO算法进行对比分析。为不失一般性，分別运行20次。
运用标准PSO算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.729lMW，系统网损下降的过程如图2所示。
运用自适应变异PSO算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.571MW，系统网损下降的过程如图3所示。
运用本文算法对目标函数进行寻优时，得到的最优解PLOSS=16.385MW，系统网损下降过程如图4所示。
运用本文算法对目标函数进行寻优时结果如下：节点1和2的电压幅值区间分别为[0.9，l]和[0.9，1]、[0.9，1]和[1，1.1]、[l，1.1]和[0.9，l]以及[1，1.1]和[1，1.1]时，分别得到子区域1、2、3、4。各个子区域的最优解分别如下：PLOSSl=16.438MW，PLOSS2=16.412MW，PLOSS3=16.390MW，PLOSS4=16.385MW。通过比较得到全局最优解PLOSS=16.385MW。
通过以上三种方法的比较，可以得出如下结论：
（1） 采用本文方法，多次试验之后，寻找到的最优解，为三种方法最中的最优解，即：16.385；
（2） 寻找到的平均最优解来说，三种方法基本相似。从图2、3、4可看出，后期迭代过程中，由于文提出的子区域变步长PSO提高了局部搜索解的精度，使得其在后期能够找到给定精度下的小环境最优解；
（3） 在迭代情况上，从图中可以看出，子区域变步长PSO在趋于稳定解的速度明显更快。从图4也可看出，尤其是在后期迭代过程中，该方法能够实现趋近于阶跃性的寻优效果。
可见，本文算法在迭代耗时上与其他两法相同，并能够在搜索精度和全局收敛性上获得较好效果。算例表明，该算法在电力系统无功优化中有良好的效果。
4 结论
本文提出了一种基于子区域的变步长粒子群优化算法，该算法是将搜索空间划分为若干子空间，在各子空间进行POS算法寻优。通过分析惯性因子作用机理的基础上，在各个子区域中设计了一个根据种群多样性和进化代数自适应调节的惯性因子计算方法，通过变换搜索步长，提高了算法的局部搜索能力。实验证明，与标准算法和自适应变异算法相比，本文提出的算法提高了优化的精度，在保证收敛速度的同时，结合无功优化的实际情况，实现了前期全局搜索能力、后其局部搜索精度的提高，最终得到全局最优解。
参考文献
[1] Kenji I.Reactive power optimization by genetic algorithm
[J].IEEE Transactions on Power Systems，1994，9（2）：685-692.
[2] 陈敬宁，何桂贤. 带杂交、变异因子的自适应蚁群算法在电
力系统无功优化中的应用[J].继电器，2003，31（11）： 36-40
[3] 谭涛亮，张尧. 基于遗传禁忌混合算法的电力系统无功优化[J].电网技术，2003，28（11）：57-61.
[4] H. Yoshida， K. Kawata， Y. Fukuyama， S. Takayama， Y. Nakanishi， A particle swarm optimization for reactive power and voltage control considering voltage security assessment， IEEE Trans. Power Syst. 15 （1997） 1232-1239. [5] Y. H. Shi， R. C. Eberhart， A modified particle swarm optimizer， In Proc. IEEE Int. Conf. Evolutionary Computation， Anchorage， AK， May 4–9， 1998， pp. 69–73.
[6] R. Eberhart， Y. Shi， Comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization， In Proc. 2000 Congr. Evol. Computation.， pp. 84–88.
[7] H. Xiaohui， S. Yuhui， and R. C. Eberhart， ―Recent advances in particle swarm， in Proc. IEEE 2004 Congr. Evolutionary Computation， Jun. 19–23， vol. 1， pp. 90–97.
[8] R. C. Eberhart， Y. Shi， Guest editorial special issue on particle swarm optimization， IEEE Transactions. Evolutionary Computation. 8 （2004） 201–203.
[9] Y. H. Shi， R. C. Eberhart， Parameter selection in particle swarm optimizer， In Proc. 1998 Annu. Conf. Evolutionary Programming， San Diego， CA， Mar. 1998， pp. 1945–1950.
[10] 刘丽军，李捷，蔡金锭.基于强引导粒子群与混沌优化的电力系统无功优化[J].电力自动化设备，2010，30（4）：71-75.
[11] 刘自发，张建华.基于自适应小生境粒子群优化算法的电力系统无功优化[J].电力自动化设备，2009，29（11）：27-30.
[12] 刘述奎，陈维榮，李奇，等.基于自适应聚焦粒子群算法的电力系统无功优化[J].电力系统保护与控制，2009，37（13）：1-6.
[13] 肖军，刘天琪，苏鹏.基于双总群粒子群算法的分时段电力系统无功优化[J].电网技术，2009，33（8）：72-77.
[14] 肖军，刘天琪，苏鹏.基于双总群粒子群算法的分时段电力系统无功优化[J].电网技术，2009，33（8）：72-77.
[15] 曾嘉俊，刘志刚，何士玉，等. 一种基于子区域粒子群的无功优化算法研究[J].电力系统保护与控制，2012，40（1）：37-42.
[16] 张伯明，陈寿松.高等电力网络分析[M].北京：清华大学出版社，1996.