教你探索角的关系

• 出 处: 今日中学生(初二版)
• 发表日期: 2013年7期

　　样的数量关系？并说明你的结论.
　　（2）如图2-2中，当点P运动到点B与点D之间时，请问（1）中的结论是否还成立？若不成立，∠APC、∠PAB、∠PCD有怎样的关系？请说明你的结论.
　　分析：在图2-1中，∠APC、∠PAB都是△APE的内角，得∠APC+∠PAB=∠PEB. 要探索∠APC、∠PAB、∠PCD有怎样的数量关系，可考虑探索∠PEB与∠PCD之间的数量关系.容易发现，∠PEB=∠PCD. 在图2-2中，若设点E是AB、CP延长线的交点，则∠APC=∠PAB+∠E. 又∠E=∠PCD，故∠APC-∠PAB=∠PCD.
　　解：（1）∠APC+∠PAB=∠PCD.理由如下：
　　∵ ∠PEB是△APE的外角，
　　∴ ∠PEB=∠APC+∠PAB.
　　∵ AB∥CD，
　　∴ ∠PCD=∠PEB.
　　∴ ∠APC+∠PAB=∠PCD.
　　（2）不成立.∠APC-∠PAB=∠PCD.为说明这结论，延长AB、CP，设点E为其交点（如图2-2）.
　　∵ AB∥CD，∴ ∠E=∠PCD.
　　∵ ∠APC-∠PAB=∠E，
　　∴ ∠APC-∠PAB=∠PCD.
　　例3 如图3-1所示，△ABC中，AE平分∠BAC，∠C >∠B，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D.
　　（1）请探索∠EFD与∠B、∠C的数量关系；
　　（2）如图3-2中，当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中探索的结论是否还成立.如果不成立，∠EFD与∠B、∠C又有怎样的数量关系，请说明理由.
　　分析：无论是图3-1，还是图3-2，∠FDE=90°，那么∠EFD=90°-∠DEF. 要推导∠EFD与∠B、∠C的数量关系，应考虑将∠DEF转化，看看能否用∠B、∠C的代数式表示.
　　解：（1）∠EFD=■（∠C-∠B）.理由如下：
　　∵ FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.
　　∵ AE平分∠BAC，∠BAC=180°-（∠B+∠C），
　　∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.
　　∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.
　　∴ ∠EFD=90°-[90°+■（∠B-∠C）]=■（∠C-∠B）.
　　（2）成立. 理由如下：
　　∵ FD⊥BC，
　　∴ ∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.
　　∵ AE平分∠BAC，
　　∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.
　　∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.
　　∴ ∠EFD=90°-∠DEF=■（∠C-∠B）