论文部分内容阅读
数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”,在数学学习中是至关重要的。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容,有利于实现学习的迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
一、初中数学教学内容的层次
初中数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个为表层知识,另一个为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的、教材中明确给出的、具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步地学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识,这样才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使学生脱离“题海”之苦,更富有创造性。
二、初中数学蕴含的主要数学思想
初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等,突出了这些基本思想方法,就相当于抓住了初中数学知识的精髓。
1.化归的思想方法
“化归”就是转化和归结,它是解决数学问题的基本方法。在解决数学问题时,人们常常是将需要解决的问题通过某种转化手段归结为另一个相对较容易解决或者已经有解决程式的问题,以求得问题的解答。
初中数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上,化归思想有加法与减法的转化,乘法与除法的转化,乘方与开方的转化,添加辅助线,增设辅助元,等等。因此,在教学中教师首先要让学生认识到,常用的很多数学方法实质上就是转化的方法,使学生确信转化是可能的,而且是必须的。其次要结合具体教学内容进行有意识的训练,使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中教师要设出问题让学生去观察,探索转化的路子。例如在求解分式方程时,我引导学生运用化归的方法,将分式方程转化为整式方程,进而求得分式方程的解。
2.数形结合的思想方法
数形结合的思想可以使学生从不同的侧面理解问题,加深对问题的认识,提供解决问题的方法,有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
运用数形结合的思想方法思考问题,能把抽象的数量关系变为形象的直观几何,也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。教师引导学生通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等,可以大大减轻学生学习这些知识的难度。教师要将数形结合思想的教学贯穿于整个数学教学的始终。
3.分类讨论的思想方法
“分类”源于生活,分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法。
从整体布局上看,初中数学分代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现;从具体内容上看,实数的分类、式的分类、三角形的分类、方程的分类、函数的分类等等,也是分类思想的具体体现。教师对学习内容进行分类,可以降低学习难度,增强学习的针对性。在教学过程中教师应启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。如当a取任意实数时,对|a-3|的值的分类讨论:当a≥3时,|a-3|=a-3;当a≤3时,|a-3|=3-a。
4.函数的思想方法
函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。
教师要重视函数的思想方法的教学。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习,但教材中函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地对学生进行函数思想方法的培养。
例如用直角三角形边与边的比值定义的锐角三角函数;在直角坐标系中,由角的终边上一点引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角的三角函数,等等。这一系列的知识体系,自始至终贯穿了函数、映射、对应的数学思想方法。
当然,初中数学学习的思想方法还有很多,像观察与实验、分析与综合、归纳与类比、讨论的思想方法、几何变换的思想方法,等等。教师在教学实践中应立足于数学思想方法的教学,充分挖掘教材中的数学思想方法,有目的、有意识、有计划地渗透、介绍和强调数学思想方法,减少盲目性和随意性。教师要精心设计每一个单元、每一堂课的教学目标和问题提出、情景创设等教学过程的各个环节。教师只有让学生掌握了这把金钥匙,才能使学生学好数学、提高数学素养、增强创新意识、提高创新能力。
三、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,在教学中具有辩证统一性。基于上述认识,数学思想方法教学模式为应:操作—掌握—领悟。
此模式的特点为:(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的。(2)“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识的前提。(4)“领悟”是指在教师引导下,学生对掌握的有关表层知识的认识深化,即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟,有所体会。(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程,往往是几种数学思想、方法交织在一起的,在教学过程中教师如果依据具体情况在一段时间内向学生突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。
一、初中数学教学内容的层次
初中数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个为表层知识,另一个为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的、教材中明确给出的、具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步地学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识,这样才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使学生脱离“题海”之苦,更富有创造性。
二、初中数学蕴含的主要数学思想
初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等,突出了这些基本思想方法,就相当于抓住了初中数学知识的精髓。
1.化归的思想方法
“化归”就是转化和归结,它是解决数学问题的基本方法。在解决数学问题时,人们常常是将需要解决的问题通过某种转化手段归结为另一个相对较容易解决或者已经有解决程式的问题,以求得问题的解答。
初中数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上,化归思想有加法与减法的转化,乘法与除法的转化,乘方与开方的转化,添加辅助线,增设辅助元,等等。因此,在教学中教师首先要让学生认识到,常用的很多数学方法实质上就是转化的方法,使学生确信转化是可能的,而且是必须的。其次要结合具体教学内容进行有意识的训练,使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中教师要设出问题让学生去观察,探索转化的路子。例如在求解分式方程时,我引导学生运用化归的方法,将分式方程转化为整式方程,进而求得分式方程的解。
2.数形结合的思想方法
数形结合的思想可以使学生从不同的侧面理解问题,加深对问题的认识,提供解决问题的方法,有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
运用数形结合的思想方法思考问题,能把抽象的数量关系变为形象的直观几何,也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。教师引导学生通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等,可以大大减轻学生学习这些知识的难度。教师要将数形结合思想的教学贯穿于整个数学教学的始终。
3.分类讨论的思想方法
“分类”源于生活,分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法。
从整体布局上看,初中数学分代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现;从具体内容上看,实数的分类、式的分类、三角形的分类、方程的分类、函数的分类等等,也是分类思想的具体体现。教师对学习内容进行分类,可以降低学习难度,增强学习的针对性。在教学过程中教师应启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。如当a取任意实数时,对|a-3|的值的分类讨论:当a≥3时,|a-3|=a-3;当a≤3时,|a-3|=3-a。
4.函数的思想方法
函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。
教师要重视函数的思想方法的教学。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习,但教材中函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地对学生进行函数思想方法的培养。
例如用直角三角形边与边的比值定义的锐角三角函数;在直角坐标系中,由角的终边上一点引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角的三角函数,等等。这一系列的知识体系,自始至终贯穿了函数、映射、对应的数学思想方法。
当然,初中数学学习的思想方法还有很多,像观察与实验、分析与综合、归纳与类比、讨论的思想方法、几何变换的思想方法,等等。教师在教学实践中应立足于数学思想方法的教学,充分挖掘教材中的数学思想方法,有目的、有意识、有计划地渗透、介绍和强调数学思想方法,减少盲目性和随意性。教师要精心设计每一个单元、每一堂课的教学目标和问题提出、情景创设等教学过程的各个环节。教师只有让学生掌握了这把金钥匙,才能使学生学好数学、提高数学素养、增强创新意识、提高创新能力。
三、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,在教学中具有辩证统一性。基于上述认识,数学思想方法教学模式为应:操作—掌握—领悟。
此模式的特点为:(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的。(2)“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识的前提。(4)“领悟”是指在教师引导下,学生对掌握的有关表层知识的认识深化,即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟,有所体会。(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程,往往是几种数学思想、方法交织在一起的,在教学过程中教师如果依据具体情况在一段时间内向学生突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。