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摘要：为进一步扩大库尔曼图解法的应用范围，在王奎华直线型土坡简化和李大鹏折线型土坡转化的基础上，以库伦土压力为基础，考虑了在超载、有地下水、和成层土三种情况下，运用库尔曼图解法时对土坡的转化方式，使得有超载、有地下水和成层土的填土均转化为均质直线坡面的填土，从而利用折线型土坡的作图方式对挡土墙土压力问题进行求解。
关键词：库尔曼图解法；折线；超载；地下水；成层土
中图分类号：U294文献标识码： A
0 引言
挡土墙作为挡墙、护墙、建筑物的边墙、连接墙和翼墙、桥梁的桥台、抽水站和水电站前池的边墙等，广泛运用于土建、桥梁、铁路、水利、交通等工程中。土压力是进行挡土结构物断面设计和稳定验算的重要荷载。有关土压力计算方法研究一直是土力学的重点研究，土压力的理论计算始于1773年，库伦（）发表了以滑裂土体整体极限平衡为条件的库伦土压理论； 1857年朗肯（）又发表了以微分土体极限平衡为条件的朗肯土压力理论。其后很多学者对土压力理论及计算方法进行了研究[1]-[4]，扩展了库伦和朗肯土压力理论的应用范围。其中，基于库伦土压力理论的库尔曼图解法，将库伦土压力理论中的平面填土表面推广到折现或者曲线状，使得土压力计算转化为几何问题，操作方便，得到广泛应用。
近年来，不少学者对库尔曼图解法进行了改进和创新。文献[5]-[7]利用三角形相似减少了求土体自重这一繁琐的步骤，使其在平面填土的情况下得到简化。文献[8]将这种简化运用到二折线和三折线填土的情况，同样避免了求土体自重。但这些改进的库尔曼图解法都只是在水平填土无超载、无地下水且土体均质的条件下才严格适用的，本文考虑到有超载、地下水和成层土中的情况，将库尔曼图解法的应用范围进一步推广。
1 二折线、三折线作图方法简介[8]
一般的支挡结构属于平面问题，故可沿挡土墙长度方向取单位长度（）进行分析。被动土压力与主动土压力类似，区别仅在于土压力偏角和未滑动土体对滑动土体反力偏角方向不一样。本文以主动土压力为例介绍土坡为二折线、三折线时的做图步骤。
对于二折线土坡，如图1所示，当墙后填土为二折线土坡时， 库尔曼图解法的作图步骤如下：（1）过墙脚作线与水平线成角；（2）过墙脚作基线与成（为与竖直线夹角）；（3）作的延长线，交的延长线于，设，，将线段平分为多个等分（转折点必须为等分点），设等分点为……；（4）作垂直于的延长线，交于；（5）在上按比例取若干段，设分点为……对于转折点左下侧段，设每段长度为，则对于转折点右上侧段，每段长度为（由几何关系换算得到[4]）；（6）过交于，过作交于（……）；（7）用光滑曲线连接，作该曲线与平行的切线，得到切点，过点作平行于基线，交于，的长度就表示总的主动土压力；（8）连接并延长至，交于，即为破坏面。
图1二折线土坡的作图方法
对于三折线土坡，如图2所示，当墙后填土为二折线土坡时，库尔曼图解法的作图步骤同上，区别在于，点在的延长线上取；对于段，每段长度为（其中为图2中的长度）。最终同样找到破坏面。
图2三折线土坡的作图方法
2 有超载时的应用
对于填土表面有均布荷载，此时先将均布荷载按下式转化为填土厚度[9]，即：
在原来的填土上面加上高度，即将原来的填土表面移至，在原来填土表面加了一层“等效”的填土。由于均布荷载的起点不一定在点，故分两种情况讨论：（1）当均布荷载的起点在点时，原来的直线坡面被转化为二折线坡面，如图3所示；（2）当均布荷载的起点不在点时，原来的直线坡面被转化为三折线坡面，如图4所示。转化后即可分别对应二折线、三折线作图法，用上述方法作图，找出破坏面。
图3有超载土坡（起点在A点）的转化方法
图4有超载土坡（起点不在A点）的转化方法
3 有地下水时的应用
对于有地下水的情况，可以认为地下水面以下的土的重度为，而地下水面以上土体的重度不变，仍为。此时，为了使库尔曼图解法得到应用，需要将两种不同重度的土体转化为同重度的一种土体。
如图5所示，地下水面到地基的距离为，液面与墙面交于点。过点往上作竖直线，过点往上作竖直线交于。以重度为基准（将其他重度转化为此重度的土体），此种情况下，各区域的重度应分三个不同的区域讨论：
图5有地下水的转化方法
（1）对于区域，其重度不变，仍为；
（2）对于竖直线右侧的区域，由于每处的水体深度相同，故每处等效后的土坡面较原来的土坡面降低得高度是一个定值，其值可通过以下推导得到：
式中为竖直线右侧任意处液面到土坡面的距离，为被地下水等效的填土厚度，分别为填土的饱和重度和水的重度。化简后，得到：
式中为填土的有效重度。上式中，被地下水等效的填土厚度与竖直线右侧任意处液面到土坡面的距离无关，这意味着，该区域任一点处被地下水等效的填土厚度是一个常数。
（3）对于区域，其等效后的填土表面按以下方法找到：先按上式找到竖直线右侧区域的填土表面，设该表面与交于点，连接，即为该区域的填土表面。之所以能够这样做，是因为在这个区域段的水深向右逐渐增大，呈线性变化，由上式可知，当呈线性变化时，也呈线性变化，又由于两个端点已得到，故只需要连接即可得到该区域的填土表面。
通过以上的转化后，原来的直线坡面被等效成三折线坡面，转化后即可用三折线作图法，用前述步骤作图，找出破坏面（图示情况的为一负值，但这并不影响前述步骤的执行）。
4 成层土中的应用
这里主要讨论两层土的情况。如图6所示，下层土的重度为，上层土的重度为（图中）。其转化方法与有地下水的情况类似，区别仅在于被等效的土层厚度的计算表达式不同。若以重度为基准，则：
式中为竖直线右侧任意处土层分界面到土坡面的距离，为被等效的填土厚度。化简后，得到：
图6成层土的转化方法
其他区域作图的方法与有地下水的情况一致，这样就同样可以将原来的直线坡面被等效成三折线坡面，转化后即可用三折线作图法，用前述步骤作图，找到破坏面。
5 结语
以上几种转化方式，其本质都是将不同重度的土体转化为同一土体呈直线坡面的情况，运用库尔曼图解法作图求解。但仅限于填土的组成和几何形状比较简单情况，对于组成较复杂的填土，运用库尔曼图解法就失去了它原来简洁方便地特点。但适当的转化可以使作图更加合理，精度也更高。
参考文献
[1]-[4]
[5]王奎华, 阙仁波. 改进的库尔曼图解法及其在土压力中的应用[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(2): 167–169. (WANG Kui-hua, QUE Ren-bo.Ameliorated Culmann's graphical construction and its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(2): 167–169. (in Chinese))
[6]方玉树. 关于“改进的库尔曼图解法及其在土压力计算中的应用”的讨论[J].岩土工程学报, 2004,26(4): 578. (FANG Yu-shu. A discussion onthe paper of Ameliorated Culmann’s graphical constructionand its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2004,26(4): 578. (in Chinese))
[7]王奎華,阙仁波.对“改进的库尔曼图解法及其在土压力计算中的应用”讨论的答复[J].岩土工程学报, 2004,26(4): 578. (WANG Kui-hua, QUE Ren-bo. A reply to the discussion on the paper of Ameliorated Culmann’s graphical construction and its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2004,26(4): 578. (in Chinese))
[8]李大鹏，张伟锋，赵建魁，孙云厚.改进的库尔曼图解法在折线坡土压力计算中的应用[J].岩土工程学报,2012,34(1):172-175.( LI Da-peng, ZHANG Wei-feng, ZHAO Jian-kui, SUN Yun-hou. Applications of ameliorated Culmann’s graphical construction in fold line slopes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012,34(1): 172-175. (in Chinese))
[9]顾慰慈.挡土墙土压力计算[M].北京：中国建材工业出版社，2001.（GU Wei-ci. Retaining wall soil pressure calculation[M].Beijing: China building materials press,2011）
第一作者：
王冬旭（1992-），男，江苏南京，学历：本科在读，主要研究方向：港口航道与近海工程。
第二作者：
杨雨曦（1993-），女，江苏南京，学历：本科在读，主要研究方向：水利水电工程
关键词：库尔曼图解法；折线；超载；地下水；成层土
中图分类号：U294文献标识码： A
0 引言
挡土墙作为挡墙、护墙、建筑物的边墙、连接墙和翼墙、桥梁的桥台、抽水站和水电站前池的边墙等，广泛运用于土建、桥梁、铁路、水利、交通等工程中。土压力是进行挡土结构物断面设计和稳定验算的重要荷载。有关土压力计算方法研究一直是土力学的重点研究，土压力的理论计算始于1773年，库伦（）发表了以滑裂土体整体极限平衡为条件的库伦土压理论； 1857年朗肯（）又发表了以微分土体极限平衡为条件的朗肯土压力理论。其后很多学者对土压力理论及计算方法进行了研究[1]-[4]，扩展了库伦和朗肯土压力理论的应用范围。其中，基于库伦土压力理论的库尔曼图解法，将库伦土压力理论中的平面填土表面推广到折现或者曲线状，使得土压力计算转化为几何问题，操作方便，得到广泛应用。
近年来，不少学者对库尔曼图解法进行了改进和创新。文献[5]-[7]利用三角形相似减少了求土体自重这一繁琐的步骤，使其在平面填土的情况下得到简化。文献[8]将这种简化运用到二折线和三折线填土的情况，同样避免了求土体自重。但这些改进的库尔曼图解法都只是在水平填土无超载、无地下水且土体均质的条件下才严格适用的，本文考虑到有超载、地下水和成层土中的情况，将库尔曼图解法的应用范围进一步推广。
1 二折线、三折线作图方法简介[8]
一般的支挡结构属于平面问题，故可沿挡土墙长度方向取单位长度（）进行分析。被动土压力与主动土压力类似，区别仅在于土压力偏角和未滑动土体对滑动土体反力偏角方向不一样。本文以主动土压力为例介绍土坡为二折线、三折线时的做图步骤。
对于二折线土坡，如图1所示，当墙后填土为二折线土坡时， 库尔曼图解法的作图步骤如下：（1）过墙脚作线与水平线成角；（2）过墙脚作基线与成（为与竖直线夹角）；（3）作的延长线，交的延长线于，设，，将线段平分为多个等分（转折点必须为等分点），设等分点为……；（4）作垂直于的延长线，交于；（5）在上按比例取若干段，设分点为……对于转折点左下侧段，设每段长度为，则对于转折点右上侧段，每段长度为（由几何关系换算得到[4]）；（6）过交于，过作交于（……）；（7）用光滑曲线连接，作该曲线与平行的切线，得到切点，过点作平行于基线，交于，的长度就表示总的主动土压力；（8）连接并延长至，交于，即为破坏面。
图1二折线土坡的作图方法
对于三折线土坡，如图2所示，当墙后填土为二折线土坡时，库尔曼图解法的作图步骤同上，区别在于，点在的延长线上取；对于段，每段长度为（其中为图2中的长度）。最终同样找到破坏面。
图2三折线土坡的作图方法
2 有超载时的应用
对于填土表面有均布荷载，此时先将均布荷载按下式转化为填土厚度[9]，即：
在原来的填土上面加上高度，即将原来的填土表面移至，在原来填土表面加了一层“等效”的填土。由于均布荷载的起点不一定在点，故分两种情况讨论：（1）当均布荷载的起点在点时，原来的直线坡面被转化为二折线坡面，如图3所示；（2）当均布荷载的起点不在点时，原来的直线坡面被转化为三折线坡面，如图4所示。转化后即可分别对应二折线、三折线作图法，用上述方法作图，找出破坏面。
图3有超载土坡（起点在A点）的转化方法
图4有超载土坡（起点不在A点）的转化方法
3 有地下水时的应用
对于有地下水的情况，可以认为地下水面以下的土的重度为，而地下水面以上土体的重度不变，仍为。此时，为了使库尔曼图解法得到应用，需要将两种不同重度的土体转化为同重度的一种土体。
如图5所示，地下水面到地基的距离为，液面与墙面交于点。过点往上作竖直线，过点往上作竖直线交于。以重度为基准（将其他重度转化为此重度的土体），此种情况下，各区域的重度应分三个不同的区域讨论：
图5有地下水的转化方法
（1）对于区域，其重度不变，仍为；
（2）对于竖直线右侧的区域，由于每处的水体深度相同，故每处等效后的土坡面较原来的土坡面降低得高度是一个定值，其值可通过以下推导得到：
式中为竖直线右侧任意处液面到土坡面的距离，为被地下水等效的填土厚度，分别为填土的饱和重度和水的重度。化简后，得到：
式中为填土的有效重度。上式中，被地下水等效的填土厚度与竖直线右侧任意处液面到土坡面的距离无关，这意味着，该区域任一点处被地下水等效的填土厚度是一个常数。
（3）对于区域，其等效后的填土表面按以下方法找到：先按上式找到竖直线右侧区域的填土表面，设该表面与交于点，连接，即为该区域的填土表面。之所以能够这样做，是因为在这个区域段的水深向右逐渐增大，呈线性变化，由上式可知，当呈线性变化时，也呈线性变化，又由于两个端点已得到，故只需要连接即可得到该区域的填土表面。
通过以上的转化后，原来的直线坡面被等效成三折线坡面，转化后即可用三折线作图法，用前述步骤作图，找出破坏面（图示情况的为一负值，但这并不影响前述步骤的执行）。
4 成层土中的应用
这里主要讨论两层土的情况。如图6所示，下层土的重度为，上层土的重度为（图中）。其转化方法与有地下水的情况类似，区别仅在于被等效的土层厚度的计算表达式不同。若以重度为基准，则：
式中为竖直线右侧任意处土层分界面到土坡面的距离，为被等效的填土厚度。化简后，得到：
图6成层土的转化方法
其他区域作图的方法与有地下水的情况一致，这样就同样可以将原来的直线坡面被等效成三折线坡面，转化后即可用三折线作图法，用前述步骤作图，找到破坏面。
5 结语
以上几种转化方式，其本质都是将不同重度的土体转化为同一土体呈直线坡面的情况，运用库尔曼图解法作图求解。但仅限于填土的组成和几何形状比较简单情况，对于组成较复杂的填土，运用库尔曼图解法就失去了它原来简洁方便地特点。但适当的转化可以使作图更加合理，精度也更高。
参考文献
[1]-[4]
[5]王奎华, 阙仁波. 改进的库尔曼图解法及其在土压力中的应用[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(2): 167–169. (WANG Kui-hua, QUE Ren-bo.Ameliorated Culmann's graphical construction and its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(2): 167–169. (in Chinese))
[6]方玉树. 关于“改进的库尔曼图解法及其在土压力计算中的应用”的讨论[J].岩土工程学报, 2004,26(4): 578. (FANG Yu-shu. A discussion onthe paper of Ameliorated Culmann’s graphical constructionand its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2004,26(4): 578. (in Chinese))
[7]王奎華,阙仁波.对“改进的库尔曼图解法及其在土压力计算中的应用”讨论的答复[J].岩土工程学报, 2004,26(4): 578. (WANG Kui-hua, QUE Ren-bo. A reply to the discussion on the paper of Ameliorated Culmann’s graphical construction and its application in earth pressure calculation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2004,26(4): 578. (in Chinese))
[8]李大鹏，张伟锋，赵建魁，孙云厚.改进的库尔曼图解法在折线坡土压力计算中的应用[J].岩土工程学报,2012,34(1):172-175.( LI Da-peng, ZHANG Wei-feng, ZHAO Jian-kui, SUN Yun-hou. Applications of ameliorated Culmann’s graphical construction in fold line slopes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012,34(1): 172-175. (in Chinese))
[9]顾慰慈.挡土墙土压力计算[M].北京：中国建材工业出版社，2001.（GU Wei-ci. Retaining wall soil pressure calculation[M].Beijing: China building materials press,2011）
第一作者：
王冬旭（1992-），男，江苏南京，学历：本科在读，主要研究方向：港口航道与近海工程。
第二作者：
杨雨曦（1993-），女，江苏南京，学历：本科在读，主要研究方向：水利水电工程