浅谈数列求通项的常用方法

• 作 者: 王宜佳
• 出 处: 师道·教研
• 发表日期: 2013年7期
• 关键词: 数列求 通项公式 递推关系式 思维规律 考生 结构变形 发现规律 不变量 解析式 观察法 运用 考题 方法 拆分

　　近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大.为了帮助考生突破这一难点，下面就如何求数列的通项来谈谈自己一些看法。
　　一、给出数列的前几项，通过前几项观察、分析、比较等得到数列的通项公式。
　　此类型一般通过下面几种方法能得出：①运用观察法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律。通常需要经过结构变形，如加（减）某数、拆分（和、差、积）项等分离出变量和不变量，直到发现规律。②熟记一些常见数列。③数列不一定都有通项公式，即使有，也不一定惟一。
　　二、由题目已知或通过简单推理判断可知，所求数列是等差数列或等比数列，则直接用其通项公式求通项。
　　此类型一般能根据题目提供的条件求出相应的数列基本量（用已知条件转化成求关于a1、d、q的方程），便可得到通项。
　　三、已知数列的前n项和Sn，利用an=a■=S■，n=1S■-S■，n≥2求数列的通项。
　　此类型通常利用Sn和an的关系，将Sn和an的递推转化成an、an 1或an-1的递推。
　　四、题目中给出形如an 1=an f（n），a1=a（其中a为常数）的递推关系或者可化成此关系。则a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1），各式相加，得an=a1 ■f（k），即为累加法求数列通项公式。
　　五、 根据题目中给出的递推关系a■=f（n）a■，a■=a（其中a为常数），
　　由递推式得a■=f（1）a■，a■=f（2）a■，…，a■=f（n-1）a■，各式相乘，得a■=a■■f（k），即为累乘法求数列通项公式。
　　六、由递推关系a■=pa■ q，a■=a（其中p，q，a为常数且p≠1），求数列通项。
　　令a■ ？姿=pa■ ？姿，整理得a■=pa■ p-1？姿，所以p-1？姿=q，即？姿=■，从而a■ ■=pa■ ■，所以数列a■ ■是等比数列。
　　七、由递推关系a■=pa■ f（n），a■=a（其中p，a为常数且p≠1，f（n）为非常数），求数列通项。
　　由递推式a■=pa■ f（n）两边同除以pn 1，得■=■ ■，对此采用前面所述的累加法可求。
　　八、由递推关系a■=pa■ qa■（n≥2）a■=a，a■=b（其中p，q，a，b为常数），求数列通项。
　　若p q=1时，p=1-q，即a■-a■=-qa■-a■，知a■-a■为等比数列，对此采用累加法可求。
　　九、利用倒数变形，把形如a■=■的式子，两边取倒数后换元转化，求数列通项。
　　例. 数列{an}满足：a■=■，且a■=■（n≥2），求an。
　　解析：将条件变为：1-■=■1-■，因此1-■为一个等比数列，其首项为1-■=■，公比■，从而1-■=■，据此得a■=■。
　　等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，而数列的通项是高考考查的热点，考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上，以上谈到的是常见求数列通项的基本方法，需要不断的探索才能灵活的应用。
　　责任编辑徐国坚