一道课本习题的变通与发展

• 作 者: 樊继根
• 出 处: 中学生数理化·教与学
• 发表日期: 2010年12期
• 关键词: 正方形 矩形 角形 面积 如图 习题

　　教材中的习题富有典型性,那么如何充分利用习题提示其深刻性,领悟其奥妙性,这就要求我们教师对教材中的习题进行“深加工”,特别应注意对习题的挖掘、引申和改编,进行创造性的设计.一方面拓展学生的解题思路,另一方面培养学生的探究发现能力,现以一道习题的演变来激活学生思维的火花.
　　例 如图1,△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=120mm,高AD=8mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
　　点拔:本题的解答非常简单,只要利用EF//BC,得到△AEF∽△ABC,利用比例线段即可得解.
　　反思:本试题在解题难度上并不大,主要考查学生综合运用相似的知识解决实际问题的能力.
　　变形1:如图2,某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120m,高AD长80m.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图).其中矩形EFGH的一边EF在边BC上.其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,每平方米投资6元;在△BHE、△FCG上都种花,每平方米投资10元;在矩形EFGH上兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.
　　(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等?
　　(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时,△ABC空地改造总投资最小?最小值为多少?
　　点评:对于第二问,△ABC空地改造总投资最小,言下之意是四边形HEFG的面积最大,又回归到原课本题的解题中.
　　变形2:如图3,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
　　(1)求证:AHAD=EFBC .
　　(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.
　　(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为ts,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.
　　点评:本题的一二两问,是考查相似与二次函数的极值问题.第三问又将动态的问题相结合,考查学生运用三角形相似解决动态问题,这类问题有助于培养同学们的思维能力.这类问题通常运用分类讨论的数学思想,解答这类问题有一定的难度,需要经常性训练.
　　变形3:如图4,在锐角△ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与,重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点的异侧作正方形DEFG.
　　(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长.
　　(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
　　点评:本题在条件中没有告诉三角形的高,但是根据底和面积可以顺利求解.一问的求解源于课本,第二问的求解要注意分类,因为重叠部分可以在三角形的内部,也可以将正方形扩大化,到三角形的外部.
　　变形4:△ABC的面积是其内接矩形EGHF(图形参见课本图)面积的3倍,并且BC和高线AD的值是有理数,问矩形EGHF的周长的值在什么情况下是有理数?在什么情况下是无理数?
　　点评:将数与形的结合,通过找到边边的数量关系,利用实数的知识来解题.
　　变形5:原题图形中,如果立在三条边上有三个正方形,则哪条边上的正方形的面积将会最大?
　　点评:这一结论将对于生活中的应用有非常大的指导意义,因为立在最小边上的内接正方形的面积最大.