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【摘 要】梯形是一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”，对梯形进行割补、拼接，从而转化为三角形、平行四边形问题，使问题得到解决。本文对于通过采取平移、延长、作梯形的高、作中位线的方式解有关梯形问题进行了举例说明。
【关键词】辅助线；梯形；化归
在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线做法，以帮助同学们在学习更好地理解和运用。
一、平移
1. 平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
[例1]
已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=4cm，BC=9cm，AB=6cm，求另一腰CD的取值范围。
解：如图，过D点作DE//AB，交BC于E点。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形
∴DE=AB=6cm，BE=AD=4cm，
CE=BC-BE=9cm-4cm=5cm
∵在△DEC中，DE-EC DE EC
∴1cm 2. 平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
[例2]
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.AD 解：过点E作EH∥AB，EG∥CD交BC于H点和G点。
∵AD∥BC
∴四边形ABHE、CDEG是平行四边形
∴AE=BH DE=CG
∵E、F分别为AD、BC的中点
∴AE=DE BF=CF
∴FH=FG ∵EF⊥BC
∴EH=EG ∴∠EHG=∠EGH
又∵EH∥AB，EG∥CD
∴∠EHG=∠B ∠EGH=∠C
∴∠B=∠C
3.平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
[例3]
已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。
二、延长
延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
[例4]
如圖5，已知：梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：分别延长BA、CD，设它们交于E点。
∵在△EBC中，∠B=∠C，
∴EB=EC
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C
而∠B=∠C，
∴在△EAD中，∠EAD=∠EDA
∴EA=ED
∴AB=DC，即四边形ABCD是等腰梯形。
三、作梯形的高
1. 作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
[例5]
如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2CD，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
解：作DG⊥AB于点G。
∵EF//AB，又AE、BF不平行
∴四边形ABFE是梯形
易证四边形BCDG是矩形。
∴BG=CD
∵AB=2CD
∴AB=2BG 又∵DG⊥AB
∴AD=BD
∴∠EAB=∠FBA
∴四边形ABFE是等腰梯形。
2. 作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
[例6]
在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：（1）腰AB的长；（2）梯形ABCD的面积。
四、作中位线
1. 已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
[例7]
如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB CD=AD
解：作AD中点E，连结OE
∵∠AOD=90°
∴OE=AD
∵O、E是BC、AD的中点
∴OE=（AB CD）
∴AB CD=AD
2.在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
[例8]
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求证：∠AEB=2∠CBE。
解：延长AE，与BC延长线交于点F。
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵∠BAD=900，
∴BE=EF
∴∠CBE=∠F
∴∠AEB=∠F ∠CBE=2∠CBE
梯形中添加辅助线的方法还有很多种，同学们在学习的过程中要灵活运用，上面举的几个例子，希望能够给同学们起到抛砖引玉的作用，也希望通过梯形中添加辅助线的方法，使同学们对数学的化归思想有一定程度的体会，梯形中添加辅助线的方法也可以应用口诀的形式记忆下来：
梯形问题妙转化，变化成为△和□。
平移腰、作出高，移对角，延长腰。
假如出现腰中点，考虑连上中位线。
上述方法行不通，连腰中点造全等。
【关键词】辅助线；梯形；化归
在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线做法，以帮助同学们在学习更好地理解和运用。
一、平移
1. 平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
[例1]
已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=4cm，BC=9cm，AB=6cm，求另一腰CD的取值范围。
解：如图，过D点作DE//AB，交BC于E点。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形
∴DE=AB=6cm，BE=AD=4cm，
CE=BC-BE=9cm-4cm=5cm
∵在△DEC中，DE-EC
∴1cm
[例2]
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.AD
∵AD∥BC
∴四边形ABHE、CDEG是平行四边形
∴AE=BH DE=CG
∵E、F分别为AD、BC的中点
∴AE=DE BF=CF
∴FH=FG ∵EF⊥BC
∴EH=EG ∴∠EHG=∠EGH
又∵EH∥AB，EG∥CD
∴∠EHG=∠B ∠EGH=∠C
∴∠B=∠C
3.平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
[例3]
已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。
二、延长
延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
[例4]
如圖5，已知：梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：分别延长BA、CD，设它们交于E点。
∵在△EBC中，∠B=∠C，
∴EB=EC
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C
而∠B=∠C，
∴在△EAD中，∠EAD=∠EDA
∴EA=ED
∴AB=DC，即四边形ABCD是等腰梯形。
三、作梯形的高
1. 作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
[例5]
如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2CD，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
解：作DG⊥AB于点G。
∵EF//AB，又AE、BF不平行
∴四边形ABFE是梯形
易证四边形BCDG是矩形。
∴BG=CD
∵AB=2CD
∴AB=2BG 又∵DG⊥AB
∴AD=BD
∴∠EAB=∠FBA
∴四边形ABFE是等腰梯形。
2. 作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
[例6]
在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：（1）腰AB的长；（2）梯形ABCD的面积。
四、作中位线
1. 已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
[例7]
如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB CD=AD
解：作AD中点E，连结OE
∵∠AOD=90°
∴OE=AD
∵O、E是BC、AD的中点
∴OE=（AB CD）
∴AB CD=AD
2.在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
[例8]
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求证：∠AEB=2∠CBE。
解：延长AE，与BC延长线交于点F。
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵∠BAD=900，
∴BE=EF
∴∠CBE=∠F
∴∠AEB=∠F ∠CBE=2∠CBE
梯形中添加辅助线的方法还有很多种，同学们在学习的过程中要灵活运用，上面举的几个例子，希望能够给同学们起到抛砖引玉的作用，也希望通过梯形中添加辅助线的方法，使同学们对数学的化归思想有一定程度的体会，梯形中添加辅助线的方法也可以应用口诀的形式记忆下来：
梯形问题妙转化，变化成为△和□。
平移腰、作出高，移对角，延长腰。
假如出现腰中点，考虑连上中位线。
上述方法行不通，连腰中点造全等。