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摘 要：在数学教学中，教师除了要帮助学生掌握数学基础知识，还要培养学生的数感、逻辑思维，让学生可以将自己的所学所知熟练应用到日常生活中，实现综合素养的有效提升。鉴于此，文章将以三角函数和数列作为分析案例，探究如何通过在课堂中推动知识交汇，实现学生综合素养的提高，从而为数学课堂教学有效性的提升以及学生的全面发展提供帮助。
关键词：知识交汇;综合素养;三角函数;数列
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：2095-624X（2021）39-0057-02
在任何教育阶段，数学都是教育事业中非常重要的一门学科。数学知识对学生的学业和成长有直接影响，数学涉及大量的理论知识与公式计算，这使得学生在思考、分析及解决数学问题的同时还可实现思维拓展，提高学习能力。但是，学生要想掌握数学知识与公式，就需要记忆枯燥的理论知识与各类算式，这会极大地耗费学生的数学学习热情，且部分学生因缺乏数学素养，他们对所学知识了解不够透彻，常常无法做到将所学知识应用自如。鉴于此，教师需要结合教学目标，对知识加以整合交汇，以此提升学生的综合素养。
一、数学核心素养的内涵及知识交汇的意义
（一）数学核心素养的内涵
高中数学从性质上看是一门理科性质的学科，因此，培养学生数学能力就需要提升他们的理性精神。数学精神在人类历史化进程中扮演着重要的角色，可以对人们思维发展起到良好的促进作用[1]。无论什么样的学科，其成熟的必要条件都是能够熟练应用数学，可以说数学核心素养在一定程度上能夠让学生的能力得以不断内化，逐渐形成“数学化”思维和“数学化”解决问题的能力。
数学学科有六大核心素养，第一是逻辑推理，主要包括两类：一类是从一般到特殊的推理，其形式为演绎;另一类是从特殊到一般的推理，其形式为归纳、类比。逻辑推理是学生在数学活动中的基本思维品质。第二是数学抽象思维，是指舍去事物所有的物理属性，得到数学研究对象的过程，其包括将抽象出的概念及概念关系和一般规律及结构，用数学语言或数学学术表征。第三是直观想象能力，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化、利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。第四是数学建模能力，即把现实问题数学抽象化，用数学语言描述问题、用数学知识构建模型解决问题的过程。主要包括问题发现、提出、分析、构建、求解、验证解决。第五是数学运算能力，指学生在清晰运算对象的基础上，根据数学规则解决数学问题的过程。主要包括运算的理解、掌握、探究、选择、设计、求解等。第六是数据分析能力，是针对研究对象获取相应数据，采用统计的方式对其中的数据进行分析和推断，获得知识的过程。包含数据的收集、整理，信息提取，最终分析、推断、得出结论。
在数学课堂教学中，只有把握这六个方面，才能实现学生综合素养的有效提升，才能帮助学生有效发展，促进学生的全面成长。故教师需要借助知识交汇，实现学生综合素养的提高，帮助学生培养良好的逻辑推理能力、抽象思维能力、直观想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据分析能力，实现学生对所学数学知识的有效运用。
（二）知识交汇的意义
高中数学具有高度文字概括性、逻辑性强及众多的公式定义等特征，整个学习过程枯燥、单调，学生对数学知识学习兴趣不高，缺乏积极性，课堂效率低下[2]。通过将三角函数和数列两项数学知识进行交汇，可以降低知识的枯燥性，提升课堂的趣味性。学生在交叉学习和感受两项数学知识时，可以充分认识到数学所具有的价值和意义，这对于学生的综合素质发展有很大帮助。通过在完成习题的过程中系统梳理知识，学生的认识水平可以得到提升，认知方式能充分健全，综合素养也能得到有效培养。
二、实现数学知识交汇的建议
（一）定期整理高中数学教材内容
高中数学知识相较于之前的内容更加复杂且难以理解，再加上三角函数与数列知识的学习需要将学生学习和积累的数学知识进行连贯，以实现学生对所学知识的融会贯通，那么，教师就要不断整理教材内容，实现三角函数与数列知识的交融[3]。
例如，（2012年四川省理）设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为 的等差数列，f（a1）+f（a2）+…f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a2a3=（ ）
A. 0 B. C. D.
在该题目中，教师要引导学生回顾三角函数和数列的相关知识，学会利用这些知识将原式进行转化，这样才可以直观地对所学知识进行剖析、分类总结，提高学生对数学知识的掌握能力。因此，在解答这些题目时，教师要将所学习到的数学教材内容进行整理，使学生对知识框架的认知逐步加强，这在一定程度上可以提高学生对知识的全面化了解，提升学生将各种定理应用于算式中的能力。
（二）改善学习方式
为了实现三角函数和数列知识的交汇，教师要帮助高中生树立正确的学习观念，将生活中常见的事物作为教学内容呈现在课堂中，这样不但能让学生感觉到知识学习的新鲜感，还能充分激发学生数学学习的兴趣[4]。
例如，教师可将学校的生态园区作为编题素材，画出该生态园区的半圆形平面图，同时假设：“该园区平面图的半圆直径是2km，C、D两点在半圆弧上，同时AD=BC，设∠COB=θ，此时需要铺设一条由AB、BC、CD和DA组成的观光通道，用θ表示通道的长l，那么通道l的最大值是多少？如果经营该园区，△AOD内种果树，△OCD内种鲜花，扇形COB内种草，鲜花和果树利润为200万元/km2，草坪利润为100万元/km2，那么θ为何值时才能达到利润最大化？” 通过这样生活化的题目设计，实现课堂知识与实际生活的密切联系，能够将抽象、复杂的数学练习通过具体生活案例展现出来，引导学生借助生活经验分析与理解数学问题，并促使学生在实际生活中探索数学知识，并逐步对高中数学知识形成清晰的认知，明白数学知识与生活的联系，学习掌握三角函数、数列知识以及将三角函数和数列知识应用于实际生活的要点。
（三）提高对问题解法的关注
一般情况下，成绩能够直观反映学生一段时间内的学习效果，因此大部分教师会将教学的关注点放在学生数学学习阶段的结果，或者是其成绩上[5]。而在这一过程中，教师便忽略了学生对于所学知识的理解，同时也降低了对核心素养教学的重视。大多数教师都是要求学生对整个课本内容与学习过程进行死记硬背。此种方法不利于学生逻辑能力、思维能力和创新能力的培养，会导致学生的成绩和知识应用水平无法得到提高，最终限制学生的发展。在这种情况下，提高学生对课程教学中问题的关注度显得非常有效。因此，教师在教学中要提高对问题解法的关注，引导学生发现更多的解题思路，学会从多角度解答数学问题。
例如，已知{an}这一数列中，{an}满足an=sinnx+cosx，如果a10= ，那么a14则等于 、 、
和 中的哪一个值？该题目的条件涉及数列和三角函数等知识点，学生在解题时可以从数列角度切入，利用作差法建立递推关系式，并结合条件建立相应方程，从而得到a14的值;也可以从三角函数角度，利用平方转化法或者换元法，通过同角三角函数关系式中的平方关系进行代数运算与逻辑推理，同时对该三角关系式进行合理的升幂处理，转化为相应的二次方程，从而求出答案。
总之，教师在进行课程教学时需要深化学生对相关知识与公式、技巧的多样化运用，逐步找到解决问题的方法。在这一过程当中，最重要的还是要培养学生的数学素养，使其能够在看到题目的时候快速找到自己在学习过程中所接触到的类似题型与相关知识点，再逐步进行分析，以此得到正确的答案，这种解题方法对提高学生数学成绩有重要的作用。故此，在三角函數和数列知识交汇的过程中，教师要掌握多种教学方式，进而在教学活动中开展多元化教学，通过引导学生探究多种题目解答方式，学会从多个方面、多个角度分析问题，增强自己的思辨能力，实现运算能力和逻辑思维能力的提升，同时提高学生对数学知识的剖析和挖掘能力。
结 语
实现知识交汇是培养学生核心素养、促进学生综合发展的关键。教师在课堂教学中需结合数学教学的特点，将不同的知识点有机结合到一起，形成一个完善的、整体化的知识逻辑框架，让学生能够站在全局角度自由迁移不同的数学知识，将各种数学概念联系到一起，共同开展运算。这样，学生的思维能力、运算能力才能得到发展，学生的逻辑思维、抽象思维、建模思维才能得到培养，学生的综合素质才能得到良好提升，学生自身才能在掌握课本知识之余，将其应用到自己的生活中，使自己的身心得到健康发展。
[参考文献]
[1]林 如.基于高中数学核心素养的渗透教学——以《等差数列》为例[J].高考，2020（3）：25.
[2]薛春燕.旧知生长引出新知，信息技术提升效益——以“锐角三角函数”单元教学起始课为例[J].中学数学，2020（12）：26-27，76.
[3]龚有顺.基于数学核心素养的问题情境创设的案例评析——以“数列”单元教学为例[J].中国数学教育，2019（Z2）：58-62.
[4]马孟华.深挖教材例习题 提升解题效率——以一个课后习题结论的推广和应用为例[J].中学数学杂志，2020（3）：37-39.
[5]陈 平.基于发展核心素养的概念课教学设计——以“等比数列”教学为例[J].中学数学研究，2020（4）：4-8.
课题项目：本文系广州市教育研究院数学科与广州市中学数学教学研究会组织的“普通高中数学新课程实验研究课题组”课题“‘五育并举’下微课在高中数学学困生教学中的案例研究”（GZSX2021003）阶段性成果。
作者简介：陈 兴（1982— ），男，山东招远人，中学一级教师，硕士，研究方向：高中数学教学。
关键词：知识交汇;综合素养;三角函数;数列
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：2095-624X（2021）39-0057-02
在任何教育阶段，数学都是教育事业中非常重要的一门学科。数学知识对学生的学业和成长有直接影响，数学涉及大量的理论知识与公式计算，这使得学生在思考、分析及解决数学问题的同时还可实现思维拓展，提高学习能力。但是，学生要想掌握数学知识与公式，就需要记忆枯燥的理论知识与各类算式，这会极大地耗费学生的数学学习热情，且部分学生因缺乏数学素养，他们对所学知识了解不够透彻，常常无法做到将所学知识应用自如。鉴于此，教师需要结合教学目标，对知识加以整合交汇，以此提升学生的综合素养。
一、数学核心素养的内涵及知识交汇的意义
（一）数学核心素养的内涵
高中数学从性质上看是一门理科性质的学科，因此，培养学生数学能力就需要提升他们的理性精神。数学精神在人类历史化进程中扮演着重要的角色，可以对人们思维发展起到良好的促进作用[1]。无论什么样的学科，其成熟的必要条件都是能够熟练应用数学，可以说数学核心素养在一定程度上能夠让学生的能力得以不断内化，逐渐形成“数学化”思维和“数学化”解决问题的能力。
数学学科有六大核心素养，第一是逻辑推理，主要包括两类：一类是从一般到特殊的推理，其形式为演绎;另一类是从特殊到一般的推理，其形式为归纳、类比。逻辑推理是学生在数学活动中的基本思维品质。第二是数学抽象思维，是指舍去事物所有的物理属性，得到数学研究对象的过程，其包括将抽象出的概念及概念关系和一般规律及结构，用数学语言或数学学术表征。第三是直观想象能力，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化、利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。第四是数学建模能力，即把现实问题数学抽象化，用数学语言描述问题、用数学知识构建模型解决问题的过程。主要包括问题发现、提出、分析、构建、求解、验证解决。第五是数学运算能力，指学生在清晰运算对象的基础上，根据数学规则解决数学问题的过程。主要包括运算的理解、掌握、探究、选择、设计、求解等。第六是数据分析能力，是针对研究对象获取相应数据，采用统计的方式对其中的数据进行分析和推断，获得知识的过程。包含数据的收集、整理，信息提取，最终分析、推断、得出结论。
在数学课堂教学中，只有把握这六个方面，才能实现学生综合素养的有效提升，才能帮助学生有效发展，促进学生的全面成长。故教师需要借助知识交汇，实现学生综合素养的提高，帮助学生培养良好的逻辑推理能力、抽象思维能力、直观想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据分析能力，实现学生对所学数学知识的有效运用。
（二）知识交汇的意义
高中数学具有高度文字概括性、逻辑性强及众多的公式定义等特征，整个学习过程枯燥、单调，学生对数学知识学习兴趣不高，缺乏积极性，课堂效率低下[2]。通过将三角函数和数列两项数学知识进行交汇，可以降低知识的枯燥性，提升课堂的趣味性。学生在交叉学习和感受两项数学知识时，可以充分认识到数学所具有的价值和意义，这对于学生的综合素质发展有很大帮助。通过在完成习题的过程中系统梳理知识，学生的认识水平可以得到提升，认知方式能充分健全，综合素养也能得到有效培养。
二、实现数学知识交汇的建议
（一）定期整理高中数学教材内容
高中数学知识相较于之前的内容更加复杂且难以理解，再加上三角函数与数列知识的学习需要将学生学习和积累的数学知识进行连贯，以实现学生对所学知识的融会贯通，那么，教师就要不断整理教材内容，实现三角函数与数列知识的交融[3]。
例如，（2012年四川省理）设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为 的等差数列，f（a1）+f（a2）+…f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a2a3=（ ）
A. 0 B. C. D.
在该题目中，教师要引导学生回顾三角函数和数列的相关知识，学会利用这些知识将原式进行转化，这样才可以直观地对所学知识进行剖析、分类总结，提高学生对数学知识的掌握能力。因此，在解答这些题目时，教师要将所学习到的数学教材内容进行整理，使学生对知识框架的认知逐步加强，这在一定程度上可以提高学生对知识的全面化了解，提升学生将各种定理应用于算式中的能力。
（二）改善学习方式
为了实现三角函数和数列知识的交汇，教师要帮助高中生树立正确的学习观念，将生活中常见的事物作为教学内容呈现在课堂中，这样不但能让学生感觉到知识学习的新鲜感，还能充分激发学生数学学习的兴趣[4]。
例如，教师可将学校的生态园区作为编题素材，画出该生态园区的半圆形平面图，同时假设：“该园区平面图的半圆直径是2km，C、D两点在半圆弧上，同时AD=BC，设∠COB=θ，此时需要铺设一条由AB、BC、CD和DA组成的观光通道，用θ表示通道的长l，那么通道l的最大值是多少？如果经营该园区，△AOD内种果树，△OCD内种鲜花，扇形COB内种草，鲜花和果树利润为200万元/km2，草坪利润为100万元/km2，那么θ为何值时才能达到利润最大化？” 通过这样生活化的题目设计，实现课堂知识与实际生活的密切联系，能够将抽象、复杂的数学练习通过具体生活案例展现出来，引导学生借助生活经验分析与理解数学问题，并促使学生在实际生活中探索数学知识，并逐步对高中数学知识形成清晰的认知，明白数学知识与生活的联系，学习掌握三角函数、数列知识以及将三角函数和数列知识应用于实际生活的要点。
（三）提高对问题解法的关注
一般情况下，成绩能够直观反映学生一段时间内的学习效果，因此大部分教师会将教学的关注点放在学生数学学习阶段的结果，或者是其成绩上[5]。而在这一过程中，教师便忽略了学生对于所学知识的理解，同时也降低了对核心素养教学的重视。大多数教师都是要求学生对整个课本内容与学习过程进行死记硬背。此种方法不利于学生逻辑能力、思维能力和创新能力的培养，会导致学生的成绩和知识应用水平无法得到提高，最终限制学生的发展。在这种情况下，提高学生对课程教学中问题的关注度显得非常有效。因此，教师在教学中要提高对问题解法的关注，引导学生发现更多的解题思路，学会从多角度解答数学问题。
例如，已知{an}这一数列中，{an}满足an=sinnx+cosx，如果a10= ，那么a14则等于 、 、
和 中的哪一个值？该题目的条件涉及数列和三角函数等知识点，学生在解题时可以从数列角度切入，利用作差法建立递推关系式，并结合条件建立相应方程，从而得到a14的值;也可以从三角函数角度，利用平方转化法或者换元法，通过同角三角函数关系式中的平方关系进行代数运算与逻辑推理，同时对该三角关系式进行合理的升幂处理，转化为相应的二次方程，从而求出答案。
总之，教师在进行课程教学时需要深化学生对相关知识与公式、技巧的多样化运用，逐步找到解决问题的方法。在这一过程当中，最重要的还是要培养学生的数学素养，使其能够在看到题目的时候快速找到自己在学习过程中所接触到的类似题型与相关知识点，再逐步进行分析，以此得到正确的答案，这种解题方法对提高学生数学成绩有重要的作用。故此，在三角函數和数列知识交汇的过程中，教师要掌握多种教学方式，进而在教学活动中开展多元化教学，通过引导学生探究多种题目解答方式，学会从多个方面、多个角度分析问题，增强自己的思辨能力，实现运算能力和逻辑思维能力的提升，同时提高学生对数学知识的剖析和挖掘能力。
结 语
实现知识交汇是培养学生核心素养、促进学生综合发展的关键。教师在课堂教学中需结合数学教学的特点，将不同的知识点有机结合到一起，形成一个完善的、整体化的知识逻辑框架，让学生能够站在全局角度自由迁移不同的数学知识，将各种数学概念联系到一起，共同开展运算。这样，学生的思维能力、运算能力才能得到发展，学生的逻辑思维、抽象思维、建模思维才能得到培养，学生的综合素质才能得到良好提升，学生自身才能在掌握课本知识之余，将其应用到自己的生活中，使自己的身心得到健康发展。
[参考文献]
[1]林 如.基于高中数学核心素养的渗透教学——以《等差数列》为例[J].高考，2020（3）：25.
[2]薛春燕.旧知生长引出新知，信息技术提升效益——以“锐角三角函数”单元教学起始课为例[J].中学数学，2020（12）：26-27，76.
[3]龚有顺.基于数学核心素养的问题情境创设的案例评析——以“数列”单元教学为例[J].中国数学教育，2019（Z2）：58-62.
[4]马孟华.深挖教材例习题 提升解题效率——以一个课后习题结论的推广和应用为例[J].中学数学杂志，2020（3）：37-39.
[5]陈 平.基于发展核心素养的概念课教学设计——以“等比数列”教学为例[J].中学数学研究，2020（4）：4-8.
课题项目：本文系广州市教育研究院数学科与广州市中学数学教学研究会组织的“普通高中数学新课程实验研究课题组”课题“‘五育并举’下微课在高中数学学困生教学中的案例研究”（GZSX2021003）阶段性成果。
作者简介：陈 兴（1982— ），男，山东招远人，中学一级教师，硕士，研究方向：高中数学教学。