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【摘要】数形结合是指借助于图形的直观性加深对数量关系的认识，数与形的配合，揭露了问题的本质，简化了解题过程的一种数学方法。本文结合初中数学教材从数形结合中的“以形助数”的应用，数形结合中的“以数助形”的应用，“以形助数”及“以数解形”的结合应用三方面阐释了数形结合思想在解决初中数学问题中的运用。
【关键词】数形结合；以形助数；以数解形
数形结合是分析数学问题、解决数学问题的强有力工具，是一种富有数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于更好地认识数学——用数学的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在.“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力.数形结合的思想很好的把数学的优势得到很好的利用，同时它的不足之处又得到形的补充；同样的道理，数形结合思想也很好的把形的优势得到充分的利用，用数补充了形的不足.数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.本文将简单的介绍下数形结合的思想在绝对值问题、不等式问题、方程问题、函数问题、几何问题等问题中的应用.在各类题型中数形结合的思想又包含“以形助数”和“以数解形”两个方面，即或者是借助形的生动直观性来阐明数之间的关系，或者是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.
1.数形结合中的“以形助数”的应用
几何图形在现代数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈论“数形结合”思想时，就更偏向于用“以形助数”的方法，利用几何图形解决一些不易求解的代数问题.几何图形直观地运用于初中代数数学中主要体现在：利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算.
1.1 数形结合在解绝对值不等式中的应用
我们知道绝对值的几何意义是：数轴上表示数x的点离开原点的距离，记做|x|.那么|x-a|就表示数x的点和数a的点之间的距离.在解绝对值不等式时，若与数轴结合起来，采用数形结合的方法，问题就会变的简单直观.
例 ：不等式|x a| |x-3|>6的解集是
解：不等式|x a| |x-3|>6就是表示数x点和数-3之间的距离与数x的点和数3之间的距离之和大于6.如图1所示，从数轴上看，-3到3的距离是6，所以x不能在-3和3之间（包括-3和3）， x只能在-3的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是x>3或x<-3
（图1）
可以看出，通过画数轴图形，可以使复杂问题简单化，开阔解题思路，甚至直接得出绝对值不等式的答案.
1.2 数形结合在求解一元一次不等式组中未知量的取值范围的应用
例2：若不等式组{无解，求a的取值范围.
解：（1）当a 1<2a-1时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来，如图2-1所示.
则原不等式组的解集为2a-1 由题意可知，原不等式组无解，所以a 1≤2a-1，即 a≥2时，原不等式组无解.故 a的取值范围是a≥2.
近年来，在不同类型的考试中出现了已知不等式组中字母系数的取值范围的题目.在处理这类问题时，如果单纯从不等式的解集出发，将无从求解，因此，可像这例2中借用数，利用数形结合分类讨论的数学思想则可很好地解决这类问题.
1.3 数形结合在解答方程应用题中的应用
在解方程应用题的一類行程问题中，可利用“形”来清晰直观地找出相等关系，列出方程进行求解.
例3：在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人.现在另调20人去支援，使在甲处的人数为乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：根据题意，画出示意图如图4所示：
解：设应该调往甲处x人，那么调往乙处的人数就是（20-x）人，于是调人以后甲处有（27 x）人，乙处有 [19 （20-x）]人.
据题意，得27 x=2 [19 （20-x）]
解得x=17
20-x=20-17=3
答：应调往甲处17人，调往乙处3人.
通过数形结合，把学生平时感到最头疼的应用题迎刃而解，既增加了学生的数学素质，又提高了学生解决实际应用题的能力.
1.4 数形结合在求解一元二次函数中未知量的应用
函数关系与图像是同时存在的，所以在解函数题时，可借助图像灵活、快速解题.
例4：若方程4x2-2x l=0的一个根大于-3且小于1，另一个根大于1且小于3，求l的取值范围.
解：令y=4x2-2x l，则其图像如图3所示
y（x=-3） >0
y（x=1） <0
y（x=3） >0
4×（-3）2-2x（-3） l>0
即 4×12-2×2 l<0 故-30 4×32-2×3 l>0
所以l的取值范围是-30 可以看出，通过函数图像可创造解决问题的方法，得出答案.
2.数形结合中的“以数解形”的应用
从“以数解形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等. 2.1 数形结合在判断点或线段的位置的应用
几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出.而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解.
例5：如图5，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.
分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.
解：设 AB=1，AD=x
因为△ABC为正三角形，且 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB ，故BD=2BE=8x-2，即x （8x-2）=1
解得：x=·AD BD=1，AF=2x，CF=1-2x，CD=2CF=2-4x，BE=1-CE=4x-1
即点D位于AB边上分点处.
2.2 数形结合在判断两条直线之间的位置关系的应用
两直线之间的位置关系包括：平行、相交、重合.在初中数学中研究这种位置关系一般是通过几何作图来研究.但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系呢？这类问题正是利用以数助形的方法给出了判断两直线之间的位置关系的代数方法.
例6：直线l1：y=a1x b1，直线l1：y=a2x b，利用代数的方法研究直线l1、l2之间的位置关系.
这个问题实质上就是二元一次方程组
的几何意义。关于二元一次方程组的解有三种情况：①无解；②无数个解；③ 只有一个解。这三种情况可以转化为直线l1：y=a1x b1与直线l2：y=a2x b的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1=a2，b1≠b2时，两条直线的斜率相同，在y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。进一步
来说当方程组无解时，直线l1、l2平行.当a1=a2，b1=b2时，两条直线的斜率相同，在y轴上的截距也相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解.进一步来说当方程组
有无数个解时，直线l1、l2重合。当a1≠a2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。进一步来说当方程组
仅有一个解时，直线l1、l2相交.
2.3 数形结合在解决二次函数的应用
例7： y=x2-2（m-1）x-1-m的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1<0 轴交于点c，且满足求：这个二次函数的解析式.
解：∵x1 <0 ∴AO=-x1 OB=x2
∵a=1>0 ∴CO=m 1>0
∴m>-1
∴
∴CO（OB-OA）=2AO□OB
即（m 1）（x1 x2）=-2x1x2
∵x1 x2=2（m-1），x1x2=-（1 m）
∴（m 1）2（m-1）=2（1 m）
解得m=-1（舍去），m=2
∴二次函数的解析式y=x2-2x-3
本题是“以数助形”即将线段长度关
系转化为点的坐标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻易而举得以解决.
2.4 数形结合在确定线段的长度的应用
在中学数学题型中，很多问题都不能直接解答出来，而是通过以数解形、数形结合的方式的获得要求求的边长的长度.
例8：如图8所示，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC内的点P向△ABC的三边分别作垂线PD、PE、PF、（D、E、F为垂足）.若BD CE AF=27.求：BD BF的长.
解：设BD=x，CE=y，AF=z，则
DC=17-x，AE=18-y，FB=19-z
连接PA、PB、PC.
在Rt△PBD和Rt△PFB中，
x2 PD2=（19-z）2 PF2
同理：y2 PE2=（17-x）2 PD2
z2 PF2=（18-y）2 PE2
将以上三式相加，得：
x2 y2 z2=（17-x）2 （18-y）2 （19-z）2
∴17x 18y 19z=487……（1）
又已知：x y z=27……（2）
由（1）（2）得：x-z=-1
BD BF=18.即x （19-z）=18
即BD BF的長为18.
3.“以形助数”及“以数解形”的结合应用
例9：如图9所示，已知二次函数
y=ax2 bx c（a≠0）的图像过点C（0，），与x轴交于丙点A（x1，0）、B（x2，0）（x2>x1），且x1 x2=4，x1x2=-5；
求（1）A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（3）若一次函数y=kx m的图象的顶点P，把△PAB分成两个部分，其中一部
分的面积不大于△PAB面积的，求m的取值范围.
解：（1）∵，且x1﹤x2
∴x1=5，x2=-1. （下转第31版）
（上接第30版）
∴A、B两点的坐标是 A（5，0），B（-1，0）. （2）由 A（5，0），B（-1，0），C（0，），求得y=-（x-2）2 3.
∴顶点P的坐标为（2，3）；
（3）由图象可知，当直线过点P（2，3）且过点M（1，0）或N（3，0）时，就把△PAB分成两部分，其中一个三角形的
面积是△PAB的面积的.
①N（3，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-3x 9；过点A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-x 5.又一次函数y=kx m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5﹤m≤9.
②过B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=x 1；过点M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m﹤1.
∴m的取值范围是-3≤m﹤1或5﹤m≤9.
本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”“形”结合的解题思想.通过以上例子可以看出，正確地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，“数形结合”是中学数学极为重要的思想方法之一，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，并进而使抽象思维和形象思维结合起来，以形解数、以数解形都可以使许多复杂问题获得简捷的解法.但还需注意，利用数形结合解题，必须把精确的数量关系刻画与图形的准确形象切实结合，才能互相补充，互相利用，使问题得以快速、巧妙解决.
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书数学[M].北京师范大学版社
[2]程旷.巧学初中数学80法.农村读物出版社，1998（2）
[3]贺信淳.浅谈数形结合思想在中学中的应用[J].数学通报，1997（4）：20-23.
[4]邹良量.数、形结合法在解题中的应用[J].广西轻工业，2008（6）：125-137.
[5]徐先荣.谈初中数学数形结合的教学策略[J].大教论坛，2007（4）：75-78.
[6]周房安.巧用数形结合法解题[J].初中，2006（6）：21-22.
[7]刘会芳.浅谈数形结合思想的课堂灌输[J].安庆师范学院报，2003（3）：118-119.
【关键词】数形结合；以形助数；以数解形
数形结合是分析数学问题、解决数学问题的强有力工具，是一种富有数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于更好地认识数学——用数学的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在.“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力.数形结合的思想很好的把数学的优势得到很好的利用，同时它的不足之处又得到形的补充；同样的道理，数形结合思想也很好的把形的优势得到充分的利用，用数补充了形的不足.数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.本文将简单的介绍下数形结合的思想在绝对值问题、不等式问题、方程问题、函数问题、几何问题等问题中的应用.在各类题型中数形结合的思想又包含“以形助数”和“以数解形”两个方面，即或者是借助形的生动直观性来阐明数之间的关系，或者是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.
1.数形结合中的“以形助数”的应用
几何图形在现代数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈论“数形结合”思想时，就更偏向于用“以形助数”的方法，利用几何图形解决一些不易求解的代数问题.几何图形直观地运用于初中代数数学中主要体现在：利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算.
1.1 数形结合在解绝对值不等式中的应用
我们知道绝对值的几何意义是：数轴上表示数x的点离开原点的距离，记做|x|.那么|x-a|就表示数x的点和数a的点之间的距离.在解绝对值不等式时，若与数轴结合起来，采用数形结合的方法，问题就会变的简单直观.
例 ：不等式|x a| |x-3|>6的解集是
解：不等式|x a| |x-3|>6就是表示数x点和数-3之间的距离与数x的点和数3之间的距离之和大于6.如图1所示，从数轴上看，-3到3的距离是6，所以x不能在-3和3之间（包括-3和3）， x只能在-3的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是x>3或x<-3
（图1）
可以看出，通过画数轴图形，可以使复杂问题简单化，开阔解题思路，甚至直接得出绝对值不等式的答案.
1.2 数形结合在求解一元一次不等式组中未知量的取值范围的应用
例2：若不等式组{无解，求a的取值范围.
解：（1）当a 1<2a-1时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来，如图2-1所示.
则原不等式组的解集为2a-1
近年来，在不同类型的考试中出现了已知不等式组中字母系数的取值范围的题目.在处理这类问题时，如果单纯从不等式的解集出发，将无从求解，因此，可像这例2中借用数，利用数形结合分类讨论的数学思想则可很好地解决这类问题.
1.3 数形结合在解答方程应用题中的应用
在解方程应用题的一類行程问题中，可利用“形”来清晰直观地找出相等关系，列出方程进行求解.
例3：在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人.现在另调20人去支援，使在甲处的人数为乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：根据题意，画出示意图如图4所示：
解：设应该调往甲处x人，那么调往乙处的人数就是（20-x）人，于是调人以后甲处有（27 x）人，乙处有 [19 （20-x）]人.
据题意，得27 x=2 [19 （20-x）]
解得x=17
20-x=20-17=3
答：应调往甲处17人，调往乙处3人.
通过数形结合，把学生平时感到最头疼的应用题迎刃而解，既增加了学生的数学素质，又提高了学生解决实际应用题的能力.
1.4 数形结合在求解一元二次函数中未知量的应用
函数关系与图像是同时存在的，所以在解函数题时，可借助图像灵活、快速解题.
例4：若方程4x2-2x l=0的一个根大于-3且小于1，另一个根大于1且小于3，求l的取值范围.
解：令y=4x2-2x l，则其图像如图3所示
y（x=-3） >0
y（x=1） <0
y（x=3） >0
4×（-3）2-2x（-3） l>0
即 4×12-2×2 l<0 故-30
所以l的取值范围是-30
2.数形结合中的“以数解形”的应用
从“以数解形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等. 2.1 数形结合在判断点或线段的位置的应用
几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出.而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解.
例5：如图5，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.
分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.
解：设 AB=1，AD=x
因为△ABC为正三角形，且 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB ，故BD=2BE=8x-2，即x （8x-2）=1
解得：x=·AD BD=1，AF=2x，CF=1-2x，CD=2CF=2-4x，BE=1-CE=4x-1
即点D位于AB边上分点处.
2.2 数形结合在判断两条直线之间的位置关系的应用
两直线之间的位置关系包括：平行、相交、重合.在初中数学中研究这种位置关系一般是通过几何作图来研究.但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系呢？这类问题正是利用以数助形的方法给出了判断两直线之间的位置关系的代数方法.
例6：直线l1：y=a1x b1，直线l1：y=a2x b，利用代数的方法研究直线l1、l2之间的位置关系.
这个问题实质上就是二元一次方程组
的几何意义。关于二元一次方程组的解有三种情况：①无解；②无数个解；③ 只有一个解。这三种情况可以转化为直线l1：y=a1x b1与直线l2：y=a2x b的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1=a2，b1≠b2时，两条直线的斜率相同，在y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。进一步
来说当方程组无解时，直线l1、l2平行.当a1=a2，b1=b2时，两条直线的斜率相同，在y轴上的截距也相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解.进一步来说当方程组
有无数个解时，直线l1、l2重合。当a1≠a2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。进一步来说当方程组
仅有一个解时，直线l1、l2相交.
2.3 数形结合在解决二次函数的应用
例7： y=x2-2（m-1）x-1-m的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1<0
解：∵x1 <0
∵a=1>0 ∴CO=m 1>0
∴m>-1
∴
∴CO（OB-OA）=2AO□OB
即（m 1）（x1 x2）=-2x1x2
∵x1 x2=2（m-1），x1x2=-（1 m）
∴（m 1）2（m-1）=2（1 m）
解得m=-1（舍去），m=2
∴二次函数的解析式y=x2-2x-3
本题是“以数助形”即将线段长度关
系转化为点的坐标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻易而举得以解决.
2.4 数形结合在确定线段的长度的应用
在中学数学题型中，很多问题都不能直接解答出来，而是通过以数解形、数形结合的方式的获得要求求的边长的长度.
例8：如图8所示，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC内的点P向△ABC的三边分别作垂线PD、PE、PF、（D、E、F为垂足）.若BD CE AF=27.求：BD BF的长.
解：设BD=x，CE=y，AF=z，则
DC=17-x，AE=18-y，FB=19-z
连接PA、PB、PC.
在Rt△PBD和Rt△PFB中，
x2 PD2=（19-z）2 PF2
同理：y2 PE2=（17-x）2 PD2
z2 PF2=（18-y）2 PE2
将以上三式相加，得：
x2 y2 z2=（17-x）2 （18-y）2 （19-z）2
∴17x 18y 19z=487……（1）
又已知：x y z=27……（2）
由（1）（2）得：x-z=-1
BD BF=18.即x （19-z）=18
即BD BF的長为18.
3.“以形助数”及“以数解形”的结合应用
例9：如图9所示，已知二次函数
y=ax2 bx c（a≠0）的图像过点C（0，），与x轴交于丙点A（x1，0）、B（x2，0）（x2>x1），且x1 x2=4，x1x2=-5；
求（1）A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（3）若一次函数y=kx m的图象的顶点P，把△PAB分成两个部分，其中一部
分的面积不大于△PAB面积的，求m的取值范围.
解：（1）∵，且x1﹤x2
∴x1=5，x2=-1. （下转第31版）
（上接第30版）
∴A、B两点的坐标是 A（5，0），B（-1，0）. （2）由 A（5，0），B（-1，0），C（0，），求得y=-（x-2）2 3.
∴顶点P的坐标为（2，3）；
（3）由图象可知，当直线过点P（2，3）且过点M（1，0）或N（3，0）时，就把△PAB分成两部分，其中一个三角形的
面积是△PAB的面积的.
①N（3，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-3x 9；过点A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-x 5.又一次函数y=kx m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5﹤m≤9.
②过B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=x 1；过点M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m﹤1.
∴m的取值范围是-3≤m﹤1或5﹤m≤9.
本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”“形”结合的解题思想.通过以上例子可以看出，正確地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，“数形结合”是中学数学极为重要的思想方法之一，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，并进而使抽象思维和形象思维结合起来，以形解数、以数解形都可以使许多复杂问题获得简捷的解法.但还需注意，利用数形结合解题，必须把精确的数量关系刻画与图形的准确形象切实结合，才能互相补充，互相利用，使问题得以快速、巧妙解决.
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书数学[M].北京师范大学版社
[2]程旷.巧学初中数学80法.农村读物出版社，1998（2）
[3]贺信淳.浅谈数形结合思想在中学中的应用[J].数学通报，1997（4）：20-23.
[4]邹良量.数、形结合法在解题中的应用[J].广西轻工业，2008（6）：125-137.
[5]徐先荣.谈初中数学数形结合的教学策略[J].大教论坛，2007（4）：75-78.
[6]周房安.巧用数形结合法解题[J].初中，2006（6）：21-22.
[7]刘会芳.浅谈数形结合思想的课堂灌输[J].安庆师范学院报，2003（3）：118-119.