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摘要：我们都知道矩形的面积等于长乘以宽，但对于它的证明仅停留在边长为正整數的矩形。本文对此做了补充，并给出了边长为实数的矩形面积的完整证明。
关键词：边长 矩形面积 乘积
在网上看到有一道清华大学的招生题：设一个矩形长为a，宽为b，面积为S。求证：S=ab。长方形（矩形）面积等于长乘以宽，这个公式，就好象1+1=2一样，人尽皆知。但要给出它完整的证明，恐怕就不是那么简单了。
在小学，我们介绍矩形面积公式的时候，先是人为地选一边长为1的正方形的面积作为一个面积单位。边长为10的正方形可将边长10等分，过分点向边作平行线，可剖分成10×10个单位正方形，因此它的面积是100个单位面积。将长宽分别为3、4的矩形，用同样的方法剖分成许多个单位正方形，数一数它们的个数，正好是3×4=12个，所以它的面积是12个单位面积。这样，如果矩形的长与宽是正整数a与b，那么，其面积等于a×b。后来，我们把数的范围扩大到了有理数、实数后，仍沿用着这个公式，对它进一步的证明很少有人问津。
如果矩形的长与宽不是整数怎么办？比如，矩形长与宽分别为4.4与3.5，一个顺理成章的办法就是把面积单位变小，例如，把边长为0.1的正方形的面积0.01作为单位面积，用上述的方法进行分割，得到许多个小正方形，数一数它们的个数，正好是44×35个，所以它的面积为0.01×44×35=4.4×3.5。
对于边长为有理数的矩形，我们总可以选择适当小的面积单位，将矩形剖分成整数个小单位面积，然后数一数，得到面积公式：面积=长×宽。
如果矩形边长不是有理数，事情就不是那么好办了!因为无论将边长怎么等分，都不可能将其剖分成整数个小正方形，可见用上述方法证明矩形的面积公式是有一定的局限性的。我们必须重新寻找一种在实数范围都适用的矩形面积公式的求证方法。
要证明边长为实数的矩形面积，先要有这样几个观念：第一，矩形面积与边长相关，相同的矩形面积相等；第二，衡量矩形的面积，要有一个单位；第三，矩形的长与宽对换，不影响它的面积；第四，如果将矩形分割成两个矩形，原矩形的面积相当于两部分之和。
我们设矩形边长为a、b，(a、b是非负实数)它的面积是a、b的一个函数，记为S（a、b），S（a、b）取非负实数值，并具有下列性质：
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
关键词：边长 矩形面积 乘积
在网上看到有一道清华大学的招生题：设一个矩形长为a，宽为b，面积为S。求证：S=ab。长方形（矩形）面积等于长乘以宽，这个公式，就好象1+1=2一样，人尽皆知。但要给出它完整的证明，恐怕就不是那么简单了。
在小学，我们介绍矩形面积公式的时候，先是人为地选一边长为1的正方形的面积作为一个面积单位。边长为10的正方形可将边长10等分，过分点向边作平行线，可剖分成10×10个单位正方形，因此它的面积是100个单位面积。将长宽分别为3、4的矩形，用同样的方法剖分成许多个单位正方形，数一数它们的个数，正好是3×4=12个，所以它的面积是12个单位面积。这样，如果矩形的长与宽是正整数a与b，那么，其面积等于a×b。后来，我们把数的范围扩大到了有理数、实数后，仍沿用着这个公式，对它进一步的证明很少有人问津。
如果矩形的长与宽不是整数怎么办？比如，矩形长与宽分别为4.4与3.5，一个顺理成章的办法就是把面积单位变小，例如，把边长为0.1的正方形的面积0.01作为单位面积，用上述的方法进行分割，得到许多个小正方形，数一数它们的个数，正好是44×35个，所以它的面积为0.01×44×35=4.4×3.5。
对于边长为有理数的矩形，我们总可以选择适当小的面积单位，将矩形剖分成整数个小单位面积，然后数一数，得到面积公式：面积=长×宽。
如果矩形边长不是有理数，事情就不是那么好办了!因为无论将边长怎么等分，都不可能将其剖分成整数个小正方形，可见用上述方法证明矩形的面积公式是有一定的局限性的。我们必须重新寻找一种在实数范围都适用的矩形面积公式的求证方法。
要证明边长为实数的矩形面积，先要有这样几个观念：第一，矩形面积与边长相关，相同的矩形面积相等；第二，衡量矩形的面积，要有一个单位；第三，矩形的长与宽对换，不影响它的面积；第四，如果将矩形分割成两个矩形，原矩形的面积相当于两部分之和。
我们设矩形边长为a、b，(a、b是非负实数)它的面积是a、b的一个函数，记为S（a、b），S（a、b）取非负实数值，并具有下列性质：
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。