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[摘 要]教学数学概念时，建立表象十分重要。要有效建立具体表象，需精准确立参照物。认知表象的真实有效，表现在能先立标，然后用这个标尺去衡量其他物品，在度量过程中不断巩固标尺的权威性和公正性。
[关键词]建立表象；参照物；标尺；测量
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章編号] 1007-9068（2018）26-0032-02
当下，在计量单位的教学中，教师喜欢抛开表象材料，或是乱用表象材料，导致表象材料的功效彻底丧失，从而无法帮助学生有效建立具体的表象和理解概念。本文以“毫米的认识”的磨课过程为例，探讨“参照物”的精准确立和具体表象的有效建立。
一、第一次教学
【教学片段1】
1.手势比画1毫米。
师：尝试用手势比画1毫米的长度。
2.借助卡片比画1毫米。
师：若用手势比画有难度，可借助学具，如一张卡片，用右手捏住它，然后右手不动，左手轻轻将卡片抽离，这时两指间的缝隙（即间距）约为1毫米。
（学生按指示操作）
3.寻找生活中的1毫米。
师：身边有哪些物品的常规距离或长度约为1毫米呢？
生1：头发丝的直径。
生2：指甲的厚度。
生3：食堂饭卡的厚度。
……
（学生举例后，教师展出各类物品或图片）
4.叠放1毫米厚纸张。
师：这是一张纸（出示实物），估一估，几张纸堆叠起来能达到1毫米的厚度？
生4：5张。
生5：10张。
生6：4张。
……
师：我们一起来揭晓谜底。先量出1毫米厚的书页，然后再数清书页的张数。（学生量后汇报）
师（小结）：像这种印制书页的纸张，每10张厚约1毫米。
二、教学思考
乍一看这四个环节，环环相扣，帮助学生建立了“1毫米”的表象，但仔细思量，其实存在不少问题。
1.没有立标
数学表象的建立离不开感知心理活动。感知源自大量的实物对比，而实物对比需要统一标准。因此，实物不具体，标准就无从确立。尺子上的1毫米标线与实物中的1毫米是有本质差别的：尺子上的1 毫米精确，而实物中的1毫米比较含糊。因此，学生刚刚感知1毫米的精确值，表象尚不牢固时，就进行“手势比画”“捏住卡纸”“寻找1毫米实物”等操作极为不妥。这样做，阻断了学生对1 毫米的标准建立，也阻碍了学生对1毫米具体表象的建立。
2.没有可行性
教师喜欢用卡纸来刻画1毫米，想以此作为经典参照物。在笔者做过“用两指夹住卡纸，计算夹缝空隙”的实验中，抽出卡纸时，指缝会闭合，所以说理论行得通但实践并不可行。再说，即使是留有空隙，由于手指腹并不是一个平面，就会留有一个宽度不一的空隙，学生也会不知哪里才是标准宽度。
3.没有标尺
“测量纸张厚度来推定1毫米”活动的设计初衷很好，但是在测量之前就估计，与前面环节中举例说明一张纸的厚度是1毫米自相矛盾，既然已有人认为一张纸厚度是1毫米，再提问几张纸厚度为1毫米，就显得荒唐可笑。教师的本意是让学生先估再测，但是由于缺少标尺，学生只会胡乱估测。
三、第二次教学
【教学片段2】
1.利用学具为1毫米立标。
材料准备：卡纸、100元钞票、银行卡各一张、一元硬币一枚、纽扣一枚、一小叠 A4白纸等。
第一次估：刚好是1毫米的实物。
师：观察判断哪些物体的厚度正好是1毫米，可以对照刻度尺，但是不能实际测量。
（学生反馈卡纸符合要求，并进行第一次测量）
小学生以直观形象思维为主，因此，教学中无须要求学生凭空想象厚度为1毫米的物体，而是让学生以刻度尺上的1 毫米为参照，通过对比为1毫米立标。
2.用参照物建立表象。
第二次估：大于或小于1毫米的实物。
师：哪些物体的厚度明显大于1毫米或者小于1毫米？
生1：纽扣的厚度超过1 毫米，白纸的厚度不足1毫米。
师：卡纸的厚度刚好是1 毫米，能否用卡纸作为特殊的尺子，测量其他物体的厚度？
生2：可以。用卡纸测量后可知一元硬币和2张卡纸一样厚，所以厚度为2毫米。
生3：我用硬币来测量纽扣。一枚纽扣的厚度抵得上两枚硬币，其厚度为4毫米。
师：很好，同学们都能灵活运用参照物。
师：这样测到底准不准确呢？大家可以用刻度尺检验一下。
（学生第二次测量，全班反馈）
首先是“估”，参照1毫米标准，估计厚度约为1毫米的物体；然后是“量”，利用1毫米厚的卡纸测量其他物体。最后是“换标”，估纽扣的厚度时，更换参照物为一元硬币。
3.利用对比，丰富表象。
师：还剩一张白纸，其厚度明显小于1毫米，请实测一下。
（学生第三次测量，交流感受）
生4：实际厚度和1毫米有出入。
第三次估：估计几张白纸的厚度为1毫米。
师：既然如此，那几张白纸的厚度可达1毫米呢？请先估计再测量。
（学生进行第四次测量）
师：两人合作量出1毫米厚的一沓白纸，然后数清白纸的张数。
（大约 10 张白纸的厚度是 1 毫米）
师：一张白纸的厚度到底是多少？
（学生各抒己见）
生5：一张白纸的厚度过小，无法精确测量，需要设立新的计量单位。
在学生的思维里，1 毫米触及长度底线，为了突破藩篱，教师特地设计“量出1毫米厚的一沓白纸”的环节，通过“10张之多”反衬“1 毫米之短”，立体建立1毫米的表象。最后，教师追问“一张白纸的厚度到底是多少？”，让学生体会到设立新计量单位的必要性。
综上所述，第一次教学由于不清楚目标表象的特性而做了无用功，而第二次教学则明确了表象背后的“形象设计”，而且精准确立参照物，有效建立具体表象，使得教学目标得以有效实现。
【 参 考 文 献 】
[1] 许卫兵.自主认知 整体建构：“分米和毫米的认识”教学解析[J].小学教学（数学版），2015（Z1）：58-60.
[2] 刘加霞.把握度量的本质，积累度量活动的经验：兼评赵娣老师的“毫米的认识”一课[J].小学教学（数学版），2013（5）：24-26.
（责编 黄春香）
[关键词]建立表象；参照物；标尺；测量
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章編号] 1007-9068（2018）26-0032-02
当下，在计量单位的教学中，教师喜欢抛开表象材料，或是乱用表象材料，导致表象材料的功效彻底丧失，从而无法帮助学生有效建立具体的表象和理解概念。本文以“毫米的认识”的磨课过程为例，探讨“参照物”的精准确立和具体表象的有效建立。
一、第一次教学
【教学片段1】
1.手势比画1毫米。
师：尝试用手势比画1毫米的长度。
2.借助卡片比画1毫米。
师：若用手势比画有难度，可借助学具，如一张卡片，用右手捏住它，然后右手不动，左手轻轻将卡片抽离，这时两指间的缝隙（即间距）约为1毫米。
（学生按指示操作）
3.寻找生活中的1毫米。
师：身边有哪些物品的常规距离或长度约为1毫米呢？
生1：头发丝的直径。
生2：指甲的厚度。
生3：食堂饭卡的厚度。
……
（学生举例后，教师展出各类物品或图片）
4.叠放1毫米厚纸张。
师：这是一张纸（出示实物），估一估，几张纸堆叠起来能达到1毫米的厚度？
生4：5张。
生5：10张。
生6：4张。
……
师：我们一起来揭晓谜底。先量出1毫米厚的书页，然后再数清书页的张数。（学生量后汇报）
师（小结）：像这种印制书页的纸张，每10张厚约1毫米。
二、教学思考
乍一看这四个环节，环环相扣，帮助学生建立了“1毫米”的表象，但仔细思量，其实存在不少问题。
1.没有立标
数学表象的建立离不开感知心理活动。感知源自大量的实物对比，而实物对比需要统一标准。因此，实物不具体，标准就无从确立。尺子上的1毫米标线与实物中的1毫米是有本质差别的：尺子上的1 毫米精确，而实物中的1毫米比较含糊。因此，学生刚刚感知1毫米的精确值，表象尚不牢固时，就进行“手势比画”“捏住卡纸”“寻找1毫米实物”等操作极为不妥。这样做，阻断了学生对1 毫米的标准建立，也阻碍了学生对1毫米具体表象的建立。
2.没有可行性
教师喜欢用卡纸来刻画1毫米，想以此作为经典参照物。在笔者做过“用两指夹住卡纸，计算夹缝空隙”的实验中，抽出卡纸时，指缝会闭合，所以说理论行得通但实践并不可行。再说，即使是留有空隙，由于手指腹并不是一个平面，就会留有一个宽度不一的空隙，学生也会不知哪里才是标准宽度。
3.没有标尺
“测量纸张厚度来推定1毫米”活动的设计初衷很好，但是在测量之前就估计，与前面环节中举例说明一张纸的厚度是1毫米自相矛盾，既然已有人认为一张纸厚度是1毫米，再提问几张纸厚度为1毫米，就显得荒唐可笑。教师的本意是让学生先估再测，但是由于缺少标尺，学生只会胡乱估测。
三、第二次教学
【教学片段2】
1.利用学具为1毫米立标。
材料准备：卡纸、100元钞票、银行卡各一张、一元硬币一枚、纽扣一枚、一小叠 A4白纸等。
第一次估：刚好是1毫米的实物。
师：观察判断哪些物体的厚度正好是1毫米，可以对照刻度尺，但是不能实际测量。
（学生反馈卡纸符合要求，并进行第一次测量）
小学生以直观形象思维为主，因此，教学中无须要求学生凭空想象厚度为1毫米的物体，而是让学生以刻度尺上的1 毫米为参照，通过对比为1毫米立标。
2.用参照物建立表象。
第二次估：大于或小于1毫米的实物。
师：哪些物体的厚度明显大于1毫米或者小于1毫米？
生1：纽扣的厚度超过1 毫米，白纸的厚度不足1毫米。
师：卡纸的厚度刚好是1 毫米，能否用卡纸作为特殊的尺子，测量其他物体的厚度？
生2：可以。用卡纸测量后可知一元硬币和2张卡纸一样厚，所以厚度为2毫米。
生3：我用硬币来测量纽扣。一枚纽扣的厚度抵得上两枚硬币，其厚度为4毫米。
师：很好，同学们都能灵活运用参照物。
师：这样测到底准不准确呢？大家可以用刻度尺检验一下。
（学生第二次测量，全班反馈）
首先是“估”，参照1毫米标准，估计厚度约为1毫米的物体；然后是“量”，利用1毫米厚的卡纸测量其他物体。最后是“换标”，估纽扣的厚度时，更换参照物为一元硬币。
3.利用对比，丰富表象。
师：还剩一张白纸，其厚度明显小于1毫米，请实测一下。
（学生第三次测量，交流感受）
生4：实际厚度和1毫米有出入。
第三次估：估计几张白纸的厚度为1毫米。
师：既然如此，那几张白纸的厚度可达1毫米呢？请先估计再测量。
（学生进行第四次测量）
师：两人合作量出1毫米厚的一沓白纸，然后数清白纸的张数。
（大约 10 张白纸的厚度是 1 毫米）
师：一张白纸的厚度到底是多少？
（学生各抒己见）
生5：一张白纸的厚度过小，无法精确测量，需要设立新的计量单位。
在学生的思维里，1 毫米触及长度底线，为了突破藩篱，教师特地设计“量出1毫米厚的一沓白纸”的环节，通过“10张之多”反衬“1 毫米之短”，立体建立1毫米的表象。最后，教师追问“一张白纸的厚度到底是多少？”，让学生体会到设立新计量单位的必要性。
综上所述，第一次教学由于不清楚目标表象的特性而做了无用功，而第二次教学则明确了表象背后的“形象设计”，而且精准确立参照物，有效建立具体表象，使得教学目标得以有效实现。
【 参 考 文 献 】
[1] 许卫兵.自主认知 整体建构：“分米和毫米的认识”教学解析[J].小学教学（数学版），2015（Z1）：58-60.
[2] 刘加霞.把握度量的本质，积累度量活动的经验：兼评赵娣老师的“毫米的认识”一课[J].小学教学（数学版），2013（5）：24-26.
（责编 黄春香）