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摘要：探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况.本文从如何设计探索性问题，如何在课堂上培养学生探究能力，提出了培养学生几何探索能力的教学形式、有效手段、重要途径和实用平台.
关键词：自主探究；开放型；数形结合；分类讨论；探索能力
新课标指出，数学学习不仅包括数学的一些现成的结果，还包括这些结果的形成过程.而这些结果的形成需要在不断的观察、实验、操作、归纳、猜想等探索中实现.探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一.探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况.因此在教学中，我们应当多关注学生探索能力的培养.众所周知，几何是学习其他学科的重要工具，而且通过初中学生的几何探索能力的培养，更加有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识，是开发智力，培养逻辑思维能力的新起点.本文根据初中数学教学实际，谈谈培养初中学生几何探索能力的几点体会.
一、巧用几何课进行自主探究，是培养学生几何探索能力的重要教学形式
新教材要求鼓励学生自主探索与合作交流，要求学生经历数学知识的形成与应用过程.几何图形随处可见，自己也可动手制作，因此巧用几何课引导学生对几何图形进行实验、观察、交流等探究性学习，让他们在课堂活动中感悟几何知识的生成、发展与变化，这是培养学生几何探索能力的重要途径.例如，在进行“立方体的展开图”教学时，本人设计的方案是：把全班学生分成四组，请学生自己准备好正方体纸模，再沿不同方向剪开，通过小组活动进行自主探索、合作交流后，请各组派代表上来演示、组合，验证自己的结论，要求他们总结出立方体表面展开图共有多少种，并把他们进行分类.下面是本堂课的一些教学片段：
师：各小组都已经准备好了，下面请第一组派代表上来，把剪好的平面展开图贴在黑板上.（第一组得出的结论是立方体的表面展开图有8种情形）
师：请第二组派代表上来，把与第一组不一样的展开图贴在黑板上.（第二组派代表上来增加了一种情形）
师：第三、四组有没有补充？（第四组派代表上来增加了一种情形）
师：学生，还有没有要补充的？（学生安静下来盯住黑板，都在思索着）
师：立方体的表面展开图还有没有其他情形？请看……（教师把立方体的表面展开图的最后一种情形也贴在了黑板上）
师：学生，数数看，立方体的表面展开图共有几种情形？
生：11种.
师：这11种情形你们都能记住吗？（大部分学生摇头）
师：我们有没有好方法能很快记住这11种展开图呢？（很快，有一学生举手发言：“分类记忆” ）
师：对，请大家找找规律，给这11种情形分类.
生：中间四个正方形连放，两边各一个，共有6种情形.
师：对，很不错.中间三个正方形连放呢？
生：有三种情形.
师：很好！中间二个连放呢？
生：只有一种情形.
师：最后剩下一种是两排各三个.
（接下来，教师用多媒体进行了分类演示）
第一类：中间四个面
第二类：中间三个面
第三类：中间两个面 第四类：中间没有面
师：请学生观察各类展开图的特点，并用语言把他们概括出来.
学生发表了意见后，教师再给出自己的总结：中间四个面，上下各一面.中间三个面，一二隔河见.中间两个面，楼梯天天见.中间没有面，三三连成线.（学生都兴奋地读着这顺口溜，对照着图形记忆着.）
本节课由于使用了让学生进行自主探究的策略，使课堂教学结构发生了很大的变化，它改变了常规的“教师讲、学生听，教师示范、学生模仿”的被动学习局面，学生有机会主动参与课堂教学活动，他们的主体作用得到了很好的发挥.通过让学生自己动手对几何图形进行实验、观察来培养他们的几何探索能力，对培养学生勇于探索的学习品质、提高学生的数学能力都有着积极的促进作用.
二、加强几何开放型探索性问题的教学是培养学生几何探索能力的有效手段
开放型探索性问题可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型几种类型.其中结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；全开放型探索性问题的特点是题设、结论都不确定或不太明确，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法.因此，加强几何开放型探索性问题的教学，有利于学生主动地对几何图形进行观察、猜测、验证、推理，这对提高学生的几何探索能力有重要的意义.
例1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.当直线MN绕点C旋转时，点C、D、E之间的相互位置关系有几种？试猜想在这几种位置关系下DE、AD、BE具有怎样的等量关系，且加以证明.
图1
分析：点C、D、E之间的相互位置关系有三种，如图1、图2、图3.
（1） 当点C在D、E之间时，
猜想AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=AD+BE.
因为∠ADC=∠ACB=90°，所以∠CAD+∠ACD=90°
所以∠BCE+∠ACD=90°，所以∠CAD=∠BCE， 因为AC=BC，所以△ADC≌△CEB， 所以CE=AD，CD=BE，
所以DE=CE+CD=AD+BE.
（2） 当点D在C、E之间时，
猜想AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=AD-BE.
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
所以∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE， 所以∠ACD=∠CBE，
又因为AC=BC，所以△ACD≌△CBE，所以CE=AD，CD=BE.
所以DE=CE-CD=AD-BE.
图2图3
（3） 当点E在C、D之间时，
猜想 AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD.
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° .
所以∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE，所以∠ACD=∠CBE，
又因为AC=BC， 所以△ACD≌△CBE，所以AD=CE，CD=BE.
所以DE=CD-CE=BE-AD.
本题是结论开放型题，其特点是给出一定的条件而未给出结论，结论不确定、不唯一；随着点C、D、E的位置的不同，DE、AD、BE之间的等量关系也不同.要解决这个问题，则需根据条件推理创新，要求学生对几何图形进行多角度、全方位的分析，探索结论的多样性.开放型问题的教学是培养学生几何探索能力的有效手段.
三、培养数形结合的思想，是提高学生几何探索能力的一种重要途径
数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和几何形式结合起来加以考察的思想.数形结合的实质就是将抽象的文字语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来；在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题思路；在研究图形时，利用代数的性质，解决几何问题，以实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化抽象为直观.而每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系，因此，培养学生数形结合的思想，是提高学生几何探索能力的一种重要途径.
例2如图4，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4 cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x（s）.
（1）当x为何值时，PQ⊥AC？
（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0 （3）当0 （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系.请写出相应位置关系的x的取值范围.
图4图5
分析：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC.
当Q在AC上时，由题意得：BP=x，CQ=2x，PC=4-x，
若PQ⊥AC，则有∠QPC=300，所以PC=2CQ，
所以4-x=2×2x，得x=45，所以当x=45 时，PQ⊥AC.
（2）当0 过点Q作QH⊥BC于H，如图5，
因为∠C=60°，QC=2x，所以QH=QC×sin60°=3x，
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12BC=2，所以DP=2-x，
所以y=12PD·QH=12 （2-x）·3x=-32x2+3x.
（3）当0 所以HC=x，所以BP=HC， 因为BD=CD，所以DP=DH，
因为AD⊥BC，QH⊥BC，所以AD∥QH，
所以OP=OQ，所以S△PDO=S△DQO，所以AD平分△PQD的面积.
（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离.
当x=45或165时，以PQ为直径的圆与AC相切.
当0≤x<45 或 45 165 本题第（1）问证明垂直关系，第（2）、（3）问都与三角形的面积有关，第（4）问探索直线与圆的位置关系.四个问题都是几何问题，但却都与“数”（即P、Q的运动时间x）有关，都是从“数”与“形”的对应关系入手解决的.而数形结合的核心就是“数”与“形”的对应关系， 要求学生善于观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，灵活应用“数”与“形”的转化.因此，渗透数形结合思想能有效提高学生的几何探索能力.
四、分类讨论思想为培养学生的几何探索能力提供了一个非常实用的平台
分类讨论思想是中学数学的重要思想，其本质是根据所研究对象的性质差异，分成各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，有利于拓展学生的知识面，具有较高的逻辑性及很强的综合性，为培养学生的数学探究能力提供了一个非常实用的平台.
例3如图6，已知正方形
ABCD与正方形EFGH的边长分别是
42和
22，它们的中心O1，O2都在直线l上，
AD∥l，
EG在直线l上，l与DC相交于点M，
ME=7-22，当正方形EFGH沿直线 l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形
ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变.
（1）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时 AE= ，
O1O2=.
（2）当正方形ABCD停止旋转后，正方形
EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求
y与x之间的函数表达式.
图6
分析：（1）略（2）当正方形ABCD停止运动后，正方形
EFGH继续向左平移时，与正方形
ABCD重叠部分的形状也是正方形，如图7（1）（2）（3）.
图7
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
（1）如图7（1），当0≤x<4时，因为EA=x，所以y与x之间的函数关系式为y=
x22.
（2）如图7（2），当4≤x<8时，y与x之间的函数关系式为
y=（22）2=8.
（3）如图7（3），当
8≤x<12时，
因为CG=12-x，
所以y与x之间的函数关系式为
y=（12-x）22=
12x2-12x+72.
（4）当x≥12时，y与x之间的函数关系式为
y=0.
本题中两个正方形，一个平移、一个旋转，使得重叠部分所得的正方形的大小和位置随之改变，从而在解题时需要分类讨论.平移和旋转是常见的图形变换，正是因为“变换”这种“运动”，使得图形间的位置关系出现不同情况，这就为激发学生的探究热情提供了一个好时机.因此，在几何课的教学中，教师如果能利用分类讨论作为教学平台，给学生创造探究的时空，学生的几何探索能力肯定能得到提高.
总之，探索是数学的生命线，师生在数学活动中要形成探索意识，培养探究习惯.在几何教学中，只要教师给学生创设探索情境，给出的几何问题具有一定的开放性和探索性，多关注学生探究几何图形的过程和方法，尊重学生的主体地位，让学生自己发现图形特征和解题的思路，就能激发学生的探究热情，就能使学生体验的是探索过程，得到的是数学思想方法和几何探索能力的提高.
关键词：自主探究；开放型；数形结合；分类讨论；探索能力
新课标指出，数学学习不仅包括数学的一些现成的结果，还包括这些结果的形成过程.而这些结果的形成需要在不断的观察、实验、操作、归纳、猜想等探索中实现.探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一.探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况.因此在教学中，我们应当多关注学生探索能力的培养.众所周知，几何是学习其他学科的重要工具，而且通过初中学生的几何探索能力的培养，更加有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识，是开发智力，培养逻辑思维能力的新起点.本文根据初中数学教学实际，谈谈培养初中学生几何探索能力的几点体会.
一、巧用几何课进行自主探究，是培养学生几何探索能力的重要教学形式
新教材要求鼓励学生自主探索与合作交流，要求学生经历数学知识的形成与应用过程.几何图形随处可见，自己也可动手制作，因此巧用几何课引导学生对几何图形进行实验、观察、交流等探究性学习，让他们在课堂活动中感悟几何知识的生成、发展与变化，这是培养学生几何探索能力的重要途径.例如，在进行“立方体的展开图”教学时，本人设计的方案是：把全班学生分成四组，请学生自己准备好正方体纸模，再沿不同方向剪开，通过小组活动进行自主探索、合作交流后，请各组派代表上来演示、组合，验证自己的结论，要求他们总结出立方体表面展开图共有多少种，并把他们进行分类.下面是本堂课的一些教学片段：
师：各小组都已经准备好了，下面请第一组派代表上来，把剪好的平面展开图贴在黑板上.（第一组得出的结论是立方体的表面展开图有8种情形）
师：请第二组派代表上来，把与第一组不一样的展开图贴在黑板上.（第二组派代表上来增加了一种情形）
师：第三、四组有没有补充？（第四组派代表上来增加了一种情形）
师：学生，还有没有要补充的？（学生安静下来盯住黑板，都在思索着）
师：立方体的表面展开图还有没有其他情形？请看……（教师把立方体的表面展开图的最后一种情形也贴在了黑板上）
师：学生，数数看，立方体的表面展开图共有几种情形？
生：11种.
师：这11种情形你们都能记住吗？（大部分学生摇头）
师：我们有没有好方法能很快记住这11种展开图呢？（很快，有一学生举手发言：“分类记忆” ）
师：对，请大家找找规律，给这11种情形分类.
生：中间四个正方形连放，两边各一个，共有6种情形.
师：对，很不错.中间三个正方形连放呢？
生：有三种情形.
师：很好！中间二个连放呢？
生：只有一种情形.
师：最后剩下一种是两排各三个.
（接下来，教师用多媒体进行了分类演示）
第一类：中间四个面
第二类：中间三个面
第三类：中间两个面 第四类：中间没有面
师：请学生观察各类展开图的特点，并用语言把他们概括出来.
学生发表了意见后，教师再给出自己的总结：中间四个面，上下各一面.中间三个面，一二隔河见.中间两个面，楼梯天天见.中间没有面，三三连成线.（学生都兴奋地读着这顺口溜，对照着图形记忆着.）
本节课由于使用了让学生进行自主探究的策略，使课堂教学结构发生了很大的变化，它改变了常规的“教师讲、学生听，教师示范、学生模仿”的被动学习局面，学生有机会主动参与课堂教学活动，他们的主体作用得到了很好的发挥.通过让学生自己动手对几何图形进行实验、观察来培养他们的几何探索能力，对培养学生勇于探索的学习品质、提高学生的数学能力都有着积极的促进作用.
二、加强几何开放型探索性问题的教学是培养学生几何探索能力的有效手段
开放型探索性问题可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型几种类型.其中结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；全开放型探索性问题的特点是题设、结论都不确定或不太明确，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法.因此，加强几何开放型探索性问题的教学，有利于学生主动地对几何图形进行观察、猜测、验证、推理，这对提高学生的几何探索能力有重要的意义.
例1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.当直线MN绕点C旋转时，点C、D、E之间的相互位置关系有几种？试猜想在这几种位置关系下DE、AD、BE具有怎样的等量关系，且加以证明.
图1
分析：点C、D、E之间的相互位置关系有三种，如图1、图2、图3.
（1） 当点C在D、E之间时，
猜想AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=AD+BE.
因为∠ADC=∠ACB=90°，所以∠CAD+∠ACD=90°
所以∠BCE+∠ACD=90°，所以∠CAD=∠BCE， 因为AC=BC，所以△ADC≌△CEB， 所以CE=AD，CD=BE，
所以DE=CE+CD=AD+BE.
（2） 当点D在C、E之间时，
猜想AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=AD-BE.
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
所以∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE， 所以∠ACD=∠CBE，
又因为AC=BC，所以△ACD≌△CBE，所以CE=AD，CD=BE.
所以DE=CE-CD=AD-BE.
图2图3
（3） 当点E在C、D之间时，
猜想 AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD.
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° .
所以∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE，所以∠ACD=∠CBE，
又因为AC=BC， 所以△ACD≌△CBE，所以AD=CE，CD=BE.
所以DE=CD-CE=BE-AD.
本题是结论开放型题，其特点是给出一定的条件而未给出结论，结论不确定、不唯一；随着点C、D、E的位置的不同，DE、AD、BE之间的等量关系也不同.要解决这个问题，则需根据条件推理创新，要求学生对几何图形进行多角度、全方位的分析，探索结论的多样性.开放型问题的教学是培养学生几何探索能力的有效手段.
三、培养数形结合的思想，是提高学生几何探索能力的一种重要途径
数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和几何形式结合起来加以考察的思想.数形结合的实质就是将抽象的文字语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来；在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题思路；在研究图形时，利用代数的性质，解决几何问题，以实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化抽象为直观.而每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系，因此，培养学生数形结合的思想，是提高学生几何探索能力的一种重要途径.
例2如图4，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4 cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x（s）.
（1）当x为何值时，PQ⊥AC？
（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0
图4图5
分析：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC.
当Q在AC上时，由题意得：BP=x，CQ=2x，PC=4-x，
若PQ⊥AC，则有∠QPC=300，所以PC=2CQ，
所以4-x=2×2x，得x=45，所以当x=45 时，PQ⊥AC.
（2）当0
因为∠C=60°，QC=2x，所以QH=QC×sin60°=3x，
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12BC=2，所以DP=2-x，
所以y=12PD·QH=12 （2-x）·3x=-32x2+3x.
（3）当0
因为AD⊥BC，QH⊥BC，所以AD∥QH，
所以OP=OQ，所以S△PDO=S△DQO，所以AD平分△PQD的面积.
（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离.
当x=45或165时，以PQ为直径的圆与AC相切.
当0≤x<45 或 45
四、分类讨论思想为培养学生的几何探索能力提供了一个非常实用的平台
分类讨论思想是中学数学的重要思想，其本质是根据所研究对象的性质差异，分成各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，有利于拓展学生的知识面，具有较高的逻辑性及很强的综合性，为培养学生的数学探究能力提供了一个非常实用的平台.
例3如图6，已知正方形
ABCD与正方形EFGH的边长分别是
42和
22，它们的中心O1，O2都在直线l上，
AD∥l，
EG在直线l上，l与DC相交于点M，
ME=7-22，当正方形EFGH沿直线 l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形
ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变.
（1）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时 AE= ，
O1O2=.
（2）当正方形ABCD停止旋转后，正方形
EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求
y与x之间的函数表达式.
图6
分析：（1）略（2）当正方形ABCD停止运动后，正方形
EFGH继续向左平移时，与正方形
ABCD重叠部分的形状也是正方形，如图7（1）（2）（3）.
图7
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
（1）如图7（1），当0≤x<4时，因为EA=x，所以y与x之间的函数关系式为y=
x22.
（2）如图7（2），当4≤x<8时，y与x之间的函数关系式为
y=（22）2=8.
（3）如图7（3），当
8≤x<12时，
因为CG=12-x，
所以y与x之间的函数关系式为
y=（12-x）22=
12x2-12x+72.
（4）当x≥12时，y与x之间的函数关系式为
y=0.
本题中两个正方形，一个平移、一个旋转，使得重叠部分所得的正方形的大小和位置随之改变，从而在解题时需要分类讨论.平移和旋转是常见的图形变换，正是因为“变换”这种“运动”，使得图形间的位置关系出现不同情况，这就为激发学生的探究热情提供了一个好时机.因此，在几何课的教学中，教师如果能利用分类讨论作为教学平台，给学生创造探究的时空，学生的几何探索能力肯定能得到提高.
总之，探索是数学的生命线，师生在数学活动中要形成探索意识，培养探究习惯.在几何教学中，只要教师给学生创设探索情境，给出的几何问题具有一定的开放性和探索性，多关注学生探究几何图形的过程和方法，尊重学生的主体地位，让学生自己发现图形特征和解题的思路，就能激发学生的探究热情，就能使学生体验的是探索过程，得到的是数学思想方法和几何探索能力的提高.