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摘 要： 高等数学是大学课程学习专业课的重要工具和基础，也是锻炼思维逻辑能力、推理能力的重要训练手段。掌握基本的微积分思想与知识，是高层次、复合型、应用型人才的基本需求。本文基于应用型人才培养的需要，对该课程的教学计划、教学目标，以及教学方式改革和创新作以讨论和研究。在以微分及积分思想为核心地位不变的前提下，对比中外微积分课程的内容和框架，对国内高等数学教学内容作以研究和探索。
关键词： 高等数学 微积分 应用型人才
1.引言
高等数学或微积分不仅是理工科各专业必修的重要基础课[1]-[3]，而且是锻炼学生思维逻辑能力、推理能力的重要训练手段。国内大部分高校的大学一年级，均开设高等数学课，该门课程掌握程度，对学生后期学习其他基础课及专业课有本质影响。在高校扩招后，高等教育由精英化教育向大众化教育转型，高等数学教学改革一方面要满足各个专业（尤其是理工科专业）对数学的要求，另一方面要适应大众化教育的现状。为应用型人才培养需要，高等数学的教学改革势在必行[1]-[2]，下面就该门课程的现状，国内外该门课程的对比，与应用型人才培养的联系，课程的教学计划、教学目标，以及教学方式改革和创新等方面作以讨论和研究。
2.《高等数学》国内外教学现状
2.1教学内容、教材及学时分配。国内大部分高校均采用同济大学编写的《高等数学》[3]（目前已出版至第六版）作为高等数学课教材，此书是此门课程的经典教材，内容关联度高，连续性及条理性强，非常适合理工科学生作为微积分课程教材。
依据专业不同以及对东北10所高校的调研，总结出各学校学时分配大体如下表：
在教学内容上，高等数学上册主要针对一元微积分学，主要介绍一元函数的极限和连续性；一元函数的导数，包括导数的概念、复合函数、隐函数的导数及函数的微分；微分中值定理及导数的应用包括罗必达法则、函数的单调性和凸凹性、函数的极值与最值等；介绍不定积分和定积分及其应用，包括（不）定积分的概念、（不）定积分的计算方法：换元法和分部积分法；介绍利用定积分求面积、体积；介绍常微分方程的概念及解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程和二阶常系数微分方程等。
高等数学下册重点在多元微积分学，主要介绍空间解析几何的基本内容，利用向量研究平面、直线、空间曲线及空间曲面方程等；并利用偏导数求空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数和梯度，以及函数的极值等应用问题。介绍二元函数的偏导数，全微分。介绍多元函数的重积分，包括二重积分、三重积分、曲线积分（第一类）、曲面积分（第一类）等。介绍利用格林公式、高斯公式等求解曲线积分和曲面积分，等等；介绍无穷级数的敛散性，包括正项级数、交错级数和任意项级数敛散性的判别法，求幂级数的和函数及将函数展成幂级数。
2.2教学方法、方式及存在的问题。国内各高校高等数学教学通常有如下教学方式、方法。①传统的“教师讲授，学生听讲”的模式，学生需跟从教师的逻辑、思路，理解和解读各个定义、定理、命题等之间的联系和区别。这是中国大学教育的传统授课方式，优点是授课信息量大，利于基础较好，跟得上教师节奏的学生，但对于基础薄弱，或慢热型的学生而言，会感到“跟不上，很吃力，或消化不良”。②用多媒体教学或传统方式结合多媒体。这种模式更新颖，视觉感觉比较好，对于一些不容易用粉笔实现的图形、图像及一些动画演示，如做功问题、定积分定义等，采用多媒体会比较直观、美观。③抛弃黑板，纯多媒体教学。随着计算机、网络的发展，多媒体已不再是传统意义下的“幻灯片”教学，视频技术更多应用到教学中，部分软硬件较好的高校，甚至用多媒体展示平台代替了黑板，教师教学上也不再是传统意义下的“我讲你听”的模式，学生吸取信息的渠道转移到“视频，网络，计算机”等。后两种模式的最大缺点莫过于学生与教师之间缺少沟通，教师不宜以个人对学术的理解影响学生，从而教会学生学习数学的思路和方法。
各种教学方法及方式均有其存在的特色和优点，不能武断地否定或抛弃任何一种模式，如何更好地结合各种教学模式和方法是值得进一步研讨的问题。对于目前的数学课教学而言，最大的问题莫过于如何吸引学生，让学生感觉到“《高等数学》可真正应用于所学专业”，真正体会到数学的用处才是关键，这也是本文所述的核心问题。
2.3国内外微积分课程教学及内容对比。通过作者调研美国阿肯色州立大学、国内的大连交通大学、大连海洋大学、长春大学等高校，以及国内外经典微积分教材的对比，国内外微积分授课内容及教学具有如下不同之处：①教材内容上，美国教材讲究由浅入深[4]-[5]，容易理解，国内教材理论严谨，论证丰满。例如，美国微积分教材例子详尽，页码多，即使是再小的例子，通常也配有图像或图表加以分析理解。国内教材更注重严谨性，注重定理命题公式的严谨证明及正确性，对于学生而言，国外教材更容易形象地理解其内容，而国内教材更抽象，需要经过深思熟虑之后，才有更好的学习心得。对于诸如近似计算、数值模拟等应用内容，国内通常放弃此部分内容。美国则通常放弃诸如无穷小代换、泰勒中值定理等过于抽象的内容。②教学计划及教学进度上，国内高等数学课教学计划通常十分整齐统一，一般按计划完成学期所教授内容，美国微积分课程进行较自由，注重对当前所涉及知识点的深入理解，并不急于进行下一步的教学内容，往往根据学生实际接受情况，进行教学内容的安排讲授，教学进度相对缓慢，但学生容易理解讲授内容。学时对比上，国内学时更紧张，内容也更繁杂。③作业、习题及其他方面，美国学生作业量巨大，需要课后完成较多的习题，每两周左右通常进行一次小测验或考试，成绩给出以测验、作业及期末考试为主要依据，期末考试所占比例百分之五十左右。国内则主要时间均用在讲授上，期末考试在总评成绩中占有七成或八层的比重。这方面产生的直接结果是，国外学生动手能力强，对概念的形象掌握好，国内学生则理论证明方面更具优势，但往往忽略问题本身的本质理解。 3.应用型人才培养对高等数学教学的启示
随着经济发展，社会对专业化、应用型人才的需求的增大，各个高校针对不同学科属性，如理科、工科、文科等专业进行不同层次和类型的《高等数学》教学分层，从而达到专业与数学更好地融合，但是也需要看到，这并未完全达到应用型人才对微积分真正的需要。就这一问题，下面分两个层面讨论。
3.1《高等数学》课内容选择需细化到专业。对各个专业所必需和急需的数学课内容进行教学内容分配更具有合理性和科学性，社会对该专业人才的需求是未来在该专业上奉献其最大能量，所以把学生都培养成具有较高数学修养和高深数学理论的能力并不是目标，也不是应用型人才培养的目的，观念上应该转换为数学基础课为专业课服务，作为一门工具，应用到其所学主专业上。例如，计算机专业对离散数学、计算数学方面的需求比较高，这样在《高等数学》课程中，应该保留或主讲相应的包含牛顿迭代、近似计算方面的内容，而目前大部分高校是删除这部分内容的。同样，对于外语、管理类的文科专业而言，应该以数学普及为目的，以一元微积分为核心内容，让学生对微积分思想有形象的认识即可。
3.2提高数学在实际中的实践环节。数学专业课中，通常《数学模型》和《数学实验》是本科阶段最直接地与实际生活接触紧密的两门课，国内外都有各个级别的数学建模竞赛，如果把数学建模与高等数学课的联系再紧一些，不仅利于学生在数学建模上取得好成绩，更重要的是利于其掌握微积分基本内容，让其明白学有所用。例如，在讲述定积分定义时，可以强化曲线与坐标轴围城的面积就等于“定积分”这个常数，如果划分足够细致，则精确度越高，可以做个实验，让学生真正地计算一次下面这些矩形的面积之和是多少（图1），再对比定积分的实际计算值，从而更好地理解定积分在几何上的一个应用。
4.以应用型人才培养为目标，进行《高等数学》教学改革
通过上面的分析，需要清楚以应用型人才培养为目标下，有针对性地进行高等数学改革势在必行。下面就教学改革方向及内容作讨论。
4.1教学计划需增加实践及应用内容的百分比。数学学科其本身特点具有很强的逻辑性、理论性，适度增加结合数学模型及数学软件的实践更利于学生对微积分的理解和应用。对于对数学某些方向有明显依赖的专业，可加强与其专业相关的基本内容。例如，针对经济专业，可增加导数、函数单调性、凸凹性等在经济学中的应用，把函数增长递减等性质与某企业总收入联系起来等，再结合Matlab等数学软件获得图像或数值模拟。这样的思路利于应用型人才的培养。
4.2采用传统授课方式与现代技术相结合的教学方式。根据国内外的经验来看，为培养应用型人才的需要，传统的授课方式还是具有其不可替代的优点，教师可直接分享给学生自己的经验。传统授课模式结合现代教学手段，比如计算机、多媒体、视频技术的应用等，可形象地把抽象的数学内容直观地展示或模拟出来，适当增加数学软件的学时利于学生对微积分内容的把握。如定积分定义的讲述，可利用实物或多媒体演示积分定义的过程。
4.3国际化视野下进行高等数学教学，发挥交叉学科作用，提高学生动手能力。现代社会的发展模式重视国内外的交流、学科之间的交叉、团队协作等作用。所以，一方面增加与国外尤其是向发达国家的微积分教学学习经验，引入其经典教材，为国内高等数学教学服务。可借鉴西方教学中应用性好、容易理解的特点，为我们的教学服务。另一方面，交叉学科的作用也是不可忽视的，比如材料学与几何学的结合，经济学与微分积分的结合，计算机与迭代技术等的结合，等等。通过学生对本专业进行实践的同时，不妨考虑把数学方法应用到其学科内容中，这才是真正做到培养应用型人才。
通过本论文的讨论研究，真正做到把高等数学作为专业课的重要工具和基础，应用于其所学专业，才达到培养应用型人才的目的，也是培养高层次、复合型、应用型人才的基本需求。研究和建设为应用型人才服务的教学计划、教学目标及教学方式。以现有的授课方式及经验为基础，适度增加实践学时、学术报告及网络教学势在必行。
参考文献：
[1]李秋红.应用型人才培养中提高高等数学应用能力的策略[J].课程教育研究，2013，8：133-134.
[2]朱婉珍，严永仙.应用型高校高等数学分层教学体系构建与实践[J].江西教育学院学报，2007，28（6）：10-12.
[3]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[4]安顿，比文斯，戴维斯（郭境明改编）.微积分（Calculus）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[5]吴志坚，肖滢，吴兴玲.中美微积分教材比较研究[J].高等数学研究，2010，3：43-47.
基金项目：本论文由大连交通大学2013年教学改革项目“基于应用型人才培养的高等数学教学内容改革的研究与实践”（编号：DJDJG201358）及“高等数学A微课”项目资助。
关键词： 高等数学 微积分 应用型人才
1.引言
高等数学或微积分不仅是理工科各专业必修的重要基础课[1]-[3]，而且是锻炼学生思维逻辑能力、推理能力的重要训练手段。国内大部分高校的大学一年级，均开设高等数学课，该门课程掌握程度，对学生后期学习其他基础课及专业课有本质影响。在高校扩招后，高等教育由精英化教育向大众化教育转型，高等数学教学改革一方面要满足各个专业（尤其是理工科专业）对数学的要求，另一方面要适应大众化教育的现状。为应用型人才培养需要，高等数学的教学改革势在必行[1]-[2]，下面就该门课程的现状，国内外该门课程的对比，与应用型人才培养的联系，课程的教学计划、教学目标，以及教学方式改革和创新等方面作以讨论和研究。
2.《高等数学》国内外教学现状
2.1教学内容、教材及学时分配。国内大部分高校均采用同济大学编写的《高等数学》[3]（目前已出版至第六版）作为高等数学课教材，此书是此门课程的经典教材，内容关联度高，连续性及条理性强，非常适合理工科学生作为微积分课程教材。
依据专业不同以及对东北10所高校的调研，总结出各学校学时分配大体如下表：
在教学内容上，高等数学上册主要针对一元微积分学，主要介绍一元函数的极限和连续性；一元函数的导数，包括导数的概念、复合函数、隐函数的导数及函数的微分；微分中值定理及导数的应用包括罗必达法则、函数的单调性和凸凹性、函数的极值与最值等；介绍不定积分和定积分及其应用，包括（不）定积分的概念、（不）定积分的计算方法：换元法和分部积分法；介绍利用定积分求面积、体积；介绍常微分方程的概念及解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程和二阶常系数微分方程等。
高等数学下册重点在多元微积分学，主要介绍空间解析几何的基本内容，利用向量研究平面、直线、空间曲线及空间曲面方程等；并利用偏导数求空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数和梯度，以及函数的极值等应用问题。介绍二元函数的偏导数，全微分。介绍多元函数的重积分，包括二重积分、三重积分、曲线积分（第一类）、曲面积分（第一类）等。介绍利用格林公式、高斯公式等求解曲线积分和曲面积分，等等；介绍无穷级数的敛散性，包括正项级数、交错级数和任意项级数敛散性的判别法，求幂级数的和函数及将函数展成幂级数。
2.2教学方法、方式及存在的问题。国内各高校高等数学教学通常有如下教学方式、方法。①传统的“教师讲授，学生听讲”的模式，学生需跟从教师的逻辑、思路，理解和解读各个定义、定理、命题等之间的联系和区别。这是中国大学教育的传统授课方式，优点是授课信息量大，利于基础较好，跟得上教师节奏的学生，但对于基础薄弱，或慢热型的学生而言，会感到“跟不上，很吃力，或消化不良”。②用多媒体教学或传统方式结合多媒体。这种模式更新颖，视觉感觉比较好，对于一些不容易用粉笔实现的图形、图像及一些动画演示，如做功问题、定积分定义等，采用多媒体会比较直观、美观。③抛弃黑板，纯多媒体教学。随着计算机、网络的发展，多媒体已不再是传统意义下的“幻灯片”教学，视频技术更多应用到教学中，部分软硬件较好的高校，甚至用多媒体展示平台代替了黑板，教师教学上也不再是传统意义下的“我讲你听”的模式，学生吸取信息的渠道转移到“视频，网络，计算机”等。后两种模式的最大缺点莫过于学生与教师之间缺少沟通，教师不宜以个人对学术的理解影响学生，从而教会学生学习数学的思路和方法。
各种教学方法及方式均有其存在的特色和优点，不能武断地否定或抛弃任何一种模式，如何更好地结合各种教学模式和方法是值得进一步研讨的问题。对于目前的数学课教学而言，最大的问题莫过于如何吸引学生，让学生感觉到“《高等数学》可真正应用于所学专业”，真正体会到数学的用处才是关键，这也是本文所述的核心问题。
2.3国内外微积分课程教学及内容对比。通过作者调研美国阿肯色州立大学、国内的大连交通大学、大连海洋大学、长春大学等高校，以及国内外经典微积分教材的对比，国内外微积分授课内容及教学具有如下不同之处：①教材内容上，美国教材讲究由浅入深[4]-[5]，容易理解，国内教材理论严谨，论证丰满。例如，美国微积分教材例子详尽，页码多，即使是再小的例子，通常也配有图像或图表加以分析理解。国内教材更注重严谨性，注重定理命题公式的严谨证明及正确性，对于学生而言，国外教材更容易形象地理解其内容，而国内教材更抽象，需要经过深思熟虑之后，才有更好的学习心得。对于诸如近似计算、数值模拟等应用内容，国内通常放弃此部分内容。美国则通常放弃诸如无穷小代换、泰勒中值定理等过于抽象的内容。②教学计划及教学进度上，国内高等数学课教学计划通常十分整齐统一，一般按计划完成学期所教授内容，美国微积分课程进行较自由，注重对当前所涉及知识点的深入理解，并不急于进行下一步的教学内容，往往根据学生实际接受情况，进行教学内容的安排讲授，教学进度相对缓慢，但学生容易理解讲授内容。学时对比上，国内学时更紧张，内容也更繁杂。③作业、习题及其他方面，美国学生作业量巨大，需要课后完成较多的习题，每两周左右通常进行一次小测验或考试，成绩给出以测验、作业及期末考试为主要依据，期末考试所占比例百分之五十左右。国内则主要时间均用在讲授上，期末考试在总评成绩中占有七成或八层的比重。这方面产生的直接结果是，国外学生动手能力强，对概念的形象掌握好，国内学生则理论证明方面更具优势，但往往忽略问题本身的本质理解。 3.应用型人才培养对高等数学教学的启示
随着经济发展，社会对专业化、应用型人才的需求的增大，各个高校针对不同学科属性，如理科、工科、文科等专业进行不同层次和类型的《高等数学》教学分层，从而达到专业与数学更好地融合，但是也需要看到，这并未完全达到应用型人才对微积分真正的需要。就这一问题，下面分两个层面讨论。
3.1《高等数学》课内容选择需细化到专业。对各个专业所必需和急需的数学课内容进行教学内容分配更具有合理性和科学性，社会对该专业人才的需求是未来在该专业上奉献其最大能量，所以把学生都培养成具有较高数学修养和高深数学理论的能力并不是目标，也不是应用型人才培养的目的，观念上应该转换为数学基础课为专业课服务，作为一门工具，应用到其所学主专业上。例如，计算机专业对离散数学、计算数学方面的需求比较高，这样在《高等数学》课程中，应该保留或主讲相应的包含牛顿迭代、近似计算方面的内容，而目前大部分高校是删除这部分内容的。同样，对于外语、管理类的文科专业而言，应该以数学普及为目的，以一元微积分为核心内容，让学生对微积分思想有形象的认识即可。
3.2提高数学在实际中的实践环节。数学专业课中，通常《数学模型》和《数学实验》是本科阶段最直接地与实际生活接触紧密的两门课，国内外都有各个级别的数学建模竞赛，如果把数学建模与高等数学课的联系再紧一些，不仅利于学生在数学建模上取得好成绩，更重要的是利于其掌握微积分基本内容，让其明白学有所用。例如，在讲述定积分定义时，可以强化曲线与坐标轴围城的面积就等于“定积分”这个常数，如果划分足够细致，则精确度越高，可以做个实验，让学生真正地计算一次下面这些矩形的面积之和是多少（图1），再对比定积分的实际计算值，从而更好地理解定积分在几何上的一个应用。
4.以应用型人才培养为目标，进行《高等数学》教学改革
通过上面的分析，需要清楚以应用型人才培养为目标下，有针对性地进行高等数学改革势在必行。下面就教学改革方向及内容作讨论。
4.1教学计划需增加实践及应用内容的百分比。数学学科其本身特点具有很强的逻辑性、理论性，适度增加结合数学模型及数学软件的实践更利于学生对微积分的理解和应用。对于对数学某些方向有明显依赖的专业，可加强与其专业相关的基本内容。例如，针对经济专业，可增加导数、函数单调性、凸凹性等在经济学中的应用，把函数增长递减等性质与某企业总收入联系起来等，再结合Matlab等数学软件获得图像或数值模拟。这样的思路利于应用型人才的培养。
4.2采用传统授课方式与现代技术相结合的教学方式。根据国内外的经验来看，为培养应用型人才的需要，传统的授课方式还是具有其不可替代的优点，教师可直接分享给学生自己的经验。传统授课模式结合现代教学手段，比如计算机、多媒体、视频技术的应用等，可形象地把抽象的数学内容直观地展示或模拟出来，适当增加数学软件的学时利于学生对微积分内容的把握。如定积分定义的讲述，可利用实物或多媒体演示积分定义的过程。
4.3国际化视野下进行高等数学教学，发挥交叉学科作用，提高学生动手能力。现代社会的发展模式重视国内外的交流、学科之间的交叉、团队协作等作用。所以，一方面增加与国外尤其是向发达国家的微积分教学学习经验，引入其经典教材，为国内高等数学教学服务。可借鉴西方教学中应用性好、容易理解的特点，为我们的教学服务。另一方面，交叉学科的作用也是不可忽视的，比如材料学与几何学的结合，经济学与微分积分的结合，计算机与迭代技术等的结合，等等。通过学生对本专业进行实践的同时，不妨考虑把数学方法应用到其学科内容中，这才是真正做到培养应用型人才。
通过本论文的讨论研究，真正做到把高等数学作为专业课的重要工具和基础，应用于其所学专业，才达到培养应用型人才的目的，也是培养高层次、复合型、应用型人才的基本需求。研究和建设为应用型人才服务的教学计划、教学目标及教学方式。以现有的授课方式及经验为基础，适度增加实践学时、学术报告及网络教学势在必行。
参考文献：
[1]李秋红.应用型人才培养中提高高等数学应用能力的策略[J].课程教育研究，2013，8：133-134.
[2]朱婉珍，严永仙.应用型高校高等数学分层教学体系构建与实践[J].江西教育学院学报，2007，28（6）：10-12.
[3]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[4]安顿，比文斯，戴维斯（郭境明改编）.微积分（Calculus）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[5]吴志坚，肖滢，吴兴玲.中美微积分教材比较研究[J].高等数学研究，2010，3：43-47.
基金项目：本论文由大连交通大学2013年教学改革项目“基于应用型人才培养的高等数学教学内容改革的研究与实践”（编号：DJDJG201358）及“高等数学A微课”项目资助。