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一､特殊值法的应用
特殊值法又称为赋值法,给代数式或方程或函数表达式中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到解决问题的目的.
1. 利用赋值,使抽象的数学问题具体化､直观化,从而达到迅速解决问题的目的
例1 若 a > 0,b < 0,且a < | b | ,则下列关系中正确的是 ( ).
本题难度不大,直接采用字母的比较也能做出. 但如果能根据题意令a = 1,b = -2代入,问题变得非常直观. 答案选A.
2. 利用赋值避其锋芒,游刃其中
例2 已知x - y = 1,则 x3 - y3 - 3x2y + x2y2 - xy3 + 2xy2 = .
常规方法是把原式化成用x - y的形式表示,再把x - y = 1整体代入;或者把已知化为x = y + 1代入原式计算求值. 但以上两种方法均较繁,运算量很大. 如果令x = 1,y = 0代入原式,立即可得原式等于1.
3. 紧扣题意,巧设数值达到目的
运用赋值法,根据需要巧妙设定数值,在代数､几何､三角等问题中都有较多的应用,在近年高考题中更是屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显,现以例3说明.
例3 若(1 - 3x)9 = a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9,则|a0| + |a1| + |a2| + … + |a9| = ________.
解 由二项式的展开式可知a0,a2,…,a8为正,a1,a3,…,a9为负,于是|a0| + |a1|+|a2|+…+|a9| = a0 - a1 + a2 - a3+ …+ a8 - a9.
在所给的展开式中,令x = -1,得
|a0| + |a1| + |a2| +…+ |a9| = a0 - a1 + a2 - a3+ …+ a8 - a9 =[1-3(-1)]9 = 49 .
4. 由特殊数值,得出某些性质,从而求解
例4 已知:f(x + y) = f(x) + f(y),求证:f(x)为奇函数.
证明 在f(x + y) = f(x) + f(y)中令x = y = 0 , f(0) = f(0) + f(0),得f(0) = 0.
在f(x + y) = f(x) + f(y)中令y = -x, f(x - x) =f(x) + f(-x), f(0) = f(x) + f(-x) = 0,即f(-x) = -f(x),
∴ f(x)为奇函数.
二､特殊位置的运用
1. 动态问题静态处理
例5 (华东师大版教材初二下矩形的判定习题第三题)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边长AB,BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.
解 过点P分别作PE⊥AC,PF⊥BD,分别交AC,BD于点E,F,连接PO.
∵ △PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的 ,
∴AO•PE +DO•PF =AB•BC.
∵矩形ABCD中,AO =DO =AC == , ∴ PE + PF = = =.
这是一种好方法,极具一般性,但对初二的学生来说难度较大. 若能够改变一下点P的位置,考虑一些特殊的位置,如把P运动到AD中点,问题会变得容易些. 2. 静态问题动态处理
例6 梯形中位线定理的证明.
这是一个静态的问题,假如我们动态地思考这个问题,把它运动到一些特殊状态下,也许会给我们带来一些惊喜.
(1) 如图,若D点向A点运动,此时上底越来越短,当D点运动到与A点重合时,即上底为0,这时,问题就成了三角形中位线的问题了. 利用三角形中位线定理问题很容易得到解决.
连接AF并延长交BC的延长线于C′ .
∵△ADF≌△C′CF, ∴ AD = CC′.
由三角形中位线定理EF =BC′且EF∥BC′,
∴EF∥BC且 EF =(AD + BC) .
(2) 若D点向AD方向运动,此时上底越来越大,当D移动到使AD = BC时,梯形成了一个平行四边形,这时问题也很容易得到解决.
过F作D′C′∥AB,分别交AD延长线､BC于D′,C′.∵△DD′F≌△CC′F,∴ CC′ = DD′ .在?荀ABC′D′中,EF∥AD′∥BC′ ,EF = AD′= BC′,∴ EF = ,
∴ EF = .
3. 通过考虑极端情形,从中得到解决一般问题的启示与方法
考虑极端情况,是解决数学问题的非常重要的思考方法,因为,问题在极端情况尚不能够解决,则势必在一般情况下也不能解决. 通过考虑问题在极端情形下的结果及解决极端情形的方法,努力提炼出解决问题的一般思路与方法,使问题顺利解决.
三､特殊值､特殊位置作为反例的应用
例7 判断正误:
(1) = a. ( )
(2) 垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧. ( )
解 (1) 当a = -1时, == 1,
所以错误.
(2) 如图情形,当被直径AB平分的弦CD为大弦(直径)时,结论不正确.
数学命题是美妙而严谨的,我们只要找出一个值､一种情形作为反例,就足以说明一个命题的错误. 这一点在日常教学中是非常重要的,也是非常必要的,因为它是培养学生具备严谨的数学思维的一个重要的手段,也是解决一些数学判断题的常用的方法.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
特殊值法又称为赋值法,给代数式或方程或函数表达式中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到解决问题的目的.
1. 利用赋值,使抽象的数学问题具体化､直观化,从而达到迅速解决问题的目的
例1 若 a > 0,b < 0,且a < | b | ,则下列关系中正确的是 ( ).
本题难度不大,直接采用字母的比较也能做出. 但如果能根据题意令a = 1,b = -2代入,问题变得非常直观. 答案选A.
2. 利用赋值避其锋芒,游刃其中
例2 已知x - y = 1,则 x3 - y3 - 3x2y + x2y2 - xy3 + 2xy2 = .
常规方法是把原式化成用x - y的形式表示,再把x - y = 1整体代入;或者把已知化为x = y + 1代入原式计算求值. 但以上两种方法均较繁,运算量很大. 如果令x = 1,y = 0代入原式,立即可得原式等于1.
3. 紧扣题意,巧设数值达到目的
运用赋值法,根据需要巧妙设定数值,在代数､几何､三角等问题中都有较多的应用,在近年高考题中更是屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显,现以例3说明.
例3 若(1 - 3x)9 = a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9,则|a0| + |a1| + |a2| + … + |a9| = ________.
解 由二项式的展开式可知a0,a2,…,a8为正,a1,a3,…,a9为负,于是|a0| + |a1|+|a2|+…+|a9| = a0 - a1 + a2 - a3+ …+ a8 - a9.
在所给的展开式中,令x = -1,得
|a0| + |a1| + |a2| +…+ |a9| = a0 - a1 + a2 - a3+ …+ a8 - a9 =[1-3(-1)]9 = 49 .
4. 由特殊数值,得出某些性质,从而求解
例4 已知:f(x + y) = f(x) + f(y),求证:f(x)为奇函数.
证明 在f(x + y) = f(x) + f(y)中令x = y = 0 , f(0) = f(0) + f(0),得f(0) = 0.
在f(x + y) = f(x) + f(y)中令y = -x, f(x - x) =f(x) + f(-x), f(0) = f(x) + f(-x) = 0,即f(-x) = -f(x),
∴ f(x)为奇函数.
二､特殊位置的运用
1. 动态问题静态处理
例5 (华东师大版教材初二下矩形的判定习题第三题)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边长AB,BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.
解 过点P分别作PE⊥AC,PF⊥BD,分别交AC,BD于点E,F,连接PO.
∵ △PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的 ,
∴AO•PE +DO•PF =AB•BC.
∵矩形ABCD中,AO =DO =AC == , ∴ PE + PF = = =.
这是一种好方法,极具一般性,但对初二的学生来说难度较大. 若能够改变一下点P的位置,考虑一些特殊的位置,如把P运动到AD中点,问题会变得容易些. 2. 静态问题动态处理
例6 梯形中位线定理的证明.
这是一个静态的问题,假如我们动态地思考这个问题,把它运动到一些特殊状态下,也许会给我们带来一些惊喜.
(1) 如图,若D点向A点运动,此时上底越来越短,当D点运动到与A点重合时,即上底为0,这时,问题就成了三角形中位线的问题了. 利用三角形中位线定理问题很容易得到解决.
连接AF并延长交BC的延长线于C′ .
∵△ADF≌△C′CF, ∴ AD = CC′.
由三角形中位线定理EF =BC′且EF∥BC′,
∴EF∥BC且 EF =(AD + BC) .
(2) 若D点向AD方向运动,此时上底越来越大,当D移动到使AD = BC时,梯形成了一个平行四边形,这时问题也很容易得到解决.
过F作D′C′∥AB,分别交AD延长线､BC于D′,C′.∵△DD′F≌△CC′F,∴ CC′ = DD′ .在?荀ABC′D′中,EF∥AD′∥BC′ ,EF = AD′= BC′,∴ EF = ,
∴ EF = .
3. 通过考虑极端情形,从中得到解决一般问题的启示与方法
考虑极端情况,是解决数学问题的非常重要的思考方法,因为,问题在极端情况尚不能够解决,则势必在一般情况下也不能解决. 通过考虑问题在极端情形下的结果及解决极端情形的方法,努力提炼出解决问题的一般思路与方法,使问题顺利解决.
三､特殊值､特殊位置作为反例的应用
例7 判断正误:
(1) = a. ( )
(2) 垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧. ( )
解 (1) 当a = -1时, == 1,
所以错误.
(2) 如图情形,当被直径AB平分的弦CD为大弦(直径)时,结论不正确.
数学命题是美妙而严谨的,我们只要找出一个值､一种情形作为反例,就足以说明一个命题的错误. 这一点在日常教学中是非常重要的,也是非常必要的,因为它是培养学生具备严谨的数学思维的一个重要的手段,也是解决一些数学判断题的常用的方法.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”