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摘要：数学知识的整体结构教学是指改变由局部到整体，将数学知识列为一个个知识点进行教学，依据数学知识之间的本质联系和内在结构，以知识理解和存储结构的特点进行数学知识的结构教学，在数学知识结构内部进行操作，强化通过一个既定的认知发展阶段吸收新的知识的过程，使学生熟悉这些结构，并更好地掌握它们的复杂性，反过来又促进新知识的获得，如此循环往复直至学习者的认知结构与知识结构取得一致。在此，笔者归纳了几种常见的教学策略。
关键词：数学教学；整体性教学；策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0101
数学学习是建立和完善个体数学认知结构的过程，数学认知结构是由数学知识结构转化而来的。如何通过数学识识结构的深度加工和数学教学内容的整体结构教学来改变教学内容点状割裂状态，揭示数学知识内在本质联系与结构，构建数学知识网络，通过整体结构教学引导学生发现结构，发展能力，灵活运用结构，形成结构化思维，从而促进学生形成合理的认知结构，培育主动建构数学知识的心向，提高自主建构数学知识的能力。数学知識的整体结构教学是指改变由局部到整体，将数学知识列为一个个知识点进行教学，依据数学知识之间的本质联系和内在结构，以知识理解和存储结构的特点进行数学知识的结构教学，在数学知识结构内部进行操作，强化通过既定的认知发展阶段吸收新的知识的过程，使学生熟悉这些结构，并更好地掌握它们的复杂性，反过来又促进新知识的获得，如此循环往复直至学习者的认知结构与知识结构取得一致。在此，笔者归纳了以下几种常见的教学策略：
一、“结构迁移”的教学策略
“结构迁移”是指将数学知识的学习分为“结构”的认识与“结构”的应用两个阶段，这两个阶段不仅体现在不同单元知识的学习。也体现在同一单元知识学习以及同一节课内知识的学习。在“结构”认识阶段，要让学生在学习过程中发现结构的存在，充分感悟和体验知识之间关联的结构。在“结构”运用阶段，要引导学生灵活运用“结构”主动学习结构类似的相关知识，在结构运用过程中进一步完善对结构的理解和修正。例如，在函数知识模块中，一次函数的学习是“结构”认识阶段，反比例函数与二次函数的学习是“结构”应用阶段，在一次函数学学习中，要让学生在学习中形成函数解析式与函数图像“数与形”两个维度之间的相互依存的方法结构（如右上图），在后继函数知识的学习中就可运用这一结构主动也进行类似研究活动。以二次函数为例作进一步说明，二次函数教材是按认识二次函数解析式，再认识二次函数图像编排，而图像又是按顶点在原点，顶点在y轴上，顶点在x轴上，再按一般二次函数图像的顺序安排，教学中若教师缺乏对各知识点之间关系的关注意识，易造成学生如“盲人摸象”式被动地学习，如果引导学生运用一次函数图像与解析式相互依存这一结构关系进行学习，学生就能想到二次函数图像与其解析式相互依存，明确研究二次函数图像的具体思路：
二、“自上而下”的教学策略
基于基本的简单技能能被逐步组合为更加复杂的技能的立场，传统教学将知识进行分割，以从局部入手累积为整体的自下而上的方式进行学习。“自上而下”教学策略是指按照人类认识事物由整体到局部的自然顺序开展教学，使知识的获得与知识的组织与储存相吻合，促进高层次思维水平的形成。自上而下的教学策略与自下而上的教学策略是相反的，但不应视它们为两种对立冲突的教学策略，而应当看做是在不同的时期为了不同的目的所运用的互补策略，前者着眼于技能的掌握，而后者适合于高層次思维的形成。“自上而下”教学策略的操作方式：
从整体背景入手到局部知识的结构教学
从整体背景入手到局部知识的结构教学适用于单元知识起始的教学，可在单元之间学习一周前在教室公布单元知识的概念地图（知识结构图），让学生整体认知单元知识背景，并作必要的背景知识准备，下面以旋转的引入为例：
问题1：你能将下列的两个全等三角形按运动类型分类吗？
问题2：说说你分类的标准是什么？
问题3：各种运动类型有什么特征？
设计意图分析：图形按运动类型分类让学生对图形的常见运动有整体的感知，学生已经学习了图形的平移、轴对称（即翻折），就更加自然地将旋转的学习与原有的图形运动相结合起来，对学习的内容整体感知后能整体把握，充分感悟和体验知识之间关联的结构。这样，学生容易将原有的学习经验迁移到新的学习知识上来，进而促进学生的认知结构发展。
三、“自下而上”的教学策略
该教学策略是指下位学习的结构教学，下位学习是指学生认知结构中原有的知识在包摄性和概括水平上高于新学习的知识，下位学习比上位学习更容易实现知识的同位与迁移。因此，在教学中先呈现最一般的、包摄性最广的概念，然后逐渐呈现越来越具体的概念。
例如，在学习了相似图形的基础上学习相似三角形的定义时：
问题1：请结合右图说说什么是相似图形？
问题2：在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，请结合下图说说什么是相似三角形？
设计意图分析：学生认知结构中原有的知识相似图形的概念，在包摄性和概括水平上高于新学习的知识相似三角形的概念，在学习时学生容易实现原有知识向新知识的同位与迁移。因此，教学中先呈现最一般的、包摄性最广的概念，然后呈现具体的概念。这样，既有利于相似三角形概念的掌握，也有利于知识结构的发展。
四、“复合结构”的教学策略
“复合结构”是从复杂问题解决中发现技能的结构教学，让学生首先从复杂的问题入手，借助高级思维活动来学习，通过独立探索（包括同伴互助和教师帮助）找到或发现所需要的基本技能。
下面以圆锥侧面积公式教学作简要说明：传统圆锥侧面积公式的教学，学生先由教师的简单讲解获得公式，然后在反复练习中运用公式。我们以从复杂问题入手发现技能的结构教学作如下改进：
问题1：我们已经知道圆柱的侧面积公式为（其中r是底面半径，h是母线长），今天我们探讨如何计算圆锥的侧面积（提供圆锥模型），这次由你们自己去做，你们可独立探索，也可互助研究，你们不仅要得到圆锥的侧面积公式，还要准确解释公式是如何推导出来的。
问题2：如何制作一个与它相同的圆锥（出示圆锥模型）。
问题3：若位于A点的小虫沿圆锥（母线长为6，底面半径为3）的
侧面爬行一周到A点，求爬行路线的长。
设计意图分析：问题1以类比思想提出研究圆锥侧面积计算公式，让学生从解决复杂问题入手，在解决问题中获得圆锥的侧面积算公式，在公式的获取中发展了学生高层次思维能力。问题2以逆向思维提出富有现实意义的问题——制作圆锥，让学生在解决问题过程中发现圆锥侧面展开扇形与圆锥底面半径和母线长的关系。问题三是综合运用前面获得的数学知识和解题策略，进一步提高学生的思维水平。通过这样的学习活动，学生获得的不只是孤立的认知和对圆锥侧面积公式简单运用的技能，而是把握住了解决问题的核心策略，也就是平面图形与立体图形之间的相互转化以及转换中数量的不变性，促进学生形成良好的问题解决认知结构。
数学认知结构的发展既关系到学生能否顺利完成后续学习，也关系到学生能否牢固掌握和深度理解原有知识。揭示知识的本质和知识间的内在联系，用知识结构来发展认知结构，用认知结构进一步巩固知识结构，使数学的学习变得更加轻松、更加美妙。
参考文献：
[1] 吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.
（作者单位：浙江省仙居县新生中学 317300）
关键词：数学教学；整体性教学；策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0101
数学学习是建立和完善个体数学认知结构的过程，数学认知结构是由数学知识结构转化而来的。如何通过数学识识结构的深度加工和数学教学内容的整体结构教学来改变教学内容点状割裂状态，揭示数学知识内在本质联系与结构，构建数学知识网络，通过整体结构教学引导学生发现结构，发展能力，灵活运用结构，形成结构化思维，从而促进学生形成合理的认知结构，培育主动建构数学知识的心向，提高自主建构数学知识的能力。数学知識的整体结构教学是指改变由局部到整体，将数学知识列为一个个知识点进行教学，依据数学知识之间的本质联系和内在结构，以知识理解和存储结构的特点进行数学知识的结构教学，在数学知识结构内部进行操作，强化通过既定的认知发展阶段吸收新的知识的过程，使学生熟悉这些结构，并更好地掌握它们的复杂性，反过来又促进新知识的获得，如此循环往复直至学习者的认知结构与知识结构取得一致。在此，笔者归纳了以下几种常见的教学策略：
一、“结构迁移”的教学策略
“结构迁移”是指将数学知识的学习分为“结构”的认识与“结构”的应用两个阶段，这两个阶段不仅体现在不同单元知识的学习。也体现在同一单元知识学习以及同一节课内知识的学习。在“结构”认识阶段，要让学生在学习过程中发现结构的存在，充分感悟和体验知识之间关联的结构。在“结构”运用阶段，要引导学生灵活运用“结构”主动学习结构类似的相关知识，在结构运用过程中进一步完善对结构的理解和修正。例如，在函数知识模块中，一次函数的学习是“结构”认识阶段，反比例函数与二次函数的学习是“结构”应用阶段，在一次函数学学习中，要让学生在学习中形成函数解析式与函数图像“数与形”两个维度之间的相互依存的方法结构（如右上图），在后继函数知识的学习中就可运用这一结构主动也进行类似研究活动。以二次函数为例作进一步说明，二次函数教材是按认识二次函数解析式，再认识二次函数图像编排，而图像又是按顶点在原点，顶点在y轴上，顶点在x轴上，再按一般二次函数图像的顺序安排，教学中若教师缺乏对各知识点之间关系的关注意识，易造成学生如“盲人摸象”式被动地学习，如果引导学生运用一次函数图像与解析式相互依存这一结构关系进行学习，学生就能想到二次函数图像与其解析式相互依存，明确研究二次函数图像的具体思路：
二、“自上而下”的教学策略
基于基本的简单技能能被逐步组合为更加复杂的技能的立场，传统教学将知识进行分割，以从局部入手累积为整体的自下而上的方式进行学习。“自上而下”教学策略是指按照人类认识事物由整体到局部的自然顺序开展教学，使知识的获得与知识的组织与储存相吻合，促进高层次思维水平的形成。自上而下的教学策略与自下而上的教学策略是相反的，但不应视它们为两种对立冲突的教学策略，而应当看做是在不同的时期为了不同的目的所运用的互补策略，前者着眼于技能的掌握，而后者适合于高層次思维的形成。“自上而下”教学策略的操作方式：
从整体背景入手到局部知识的结构教学
从整体背景入手到局部知识的结构教学适用于单元知识起始的教学，可在单元之间学习一周前在教室公布单元知识的概念地图（知识结构图），让学生整体认知单元知识背景，并作必要的背景知识准备，下面以旋转的引入为例：
问题1：你能将下列的两个全等三角形按运动类型分类吗？
问题2：说说你分类的标准是什么？
问题3：各种运动类型有什么特征？
设计意图分析：图形按运动类型分类让学生对图形的常见运动有整体的感知，学生已经学习了图形的平移、轴对称（即翻折），就更加自然地将旋转的学习与原有的图形运动相结合起来，对学习的内容整体感知后能整体把握，充分感悟和体验知识之间关联的结构。这样，学生容易将原有的学习经验迁移到新的学习知识上来，进而促进学生的认知结构发展。
三、“自下而上”的教学策略
该教学策略是指下位学习的结构教学，下位学习是指学生认知结构中原有的知识在包摄性和概括水平上高于新学习的知识，下位学习比上位学习更容易实现知识的同位与迁移。因此，在教学中先呈现最一般的、包摄性最广的概念，然后逐渐呈现越来越具体的概念。
例如，在学习了相似图形的基础上学习相似三角形的定义时：
问题1：请结合右图说说什么是相似图形？
问题2：在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，请结合下图说说什么是相似三角形？
设计意图分析：学生认知结构中原有的知识相似图形的概念，在包摄性和概括水平上高于新学习的知识相似三角形的概念，在学习时学生容易实现原有知识向新知识的同位与迁移。因此，教学中先呈现最一般的、包摄性最广的概念，然后呈现具体的概念。这样，既有利于相似三角形概念的掌握，也有利于知识结构的发展。
四、“复合结构”的教学策略
“复合结构”是从复杂问题解决中发现技能的结构教学，让学生首先从复杂的问题入手，借助高级思维活动来学习，通过独立探索（包括同伴互助和教师帮助）找到或发现所需要的基本技能。
下面以圆锥侧面积公式教学作简要说明：传统圆锥侧面积公式的教学，学生先由教师的简单讲解获得公式，然后在反复练习中运用公式。我们以从复杂问题入手发现技能的结构教学作如下改进：
问题1：我们已经知道圆柱的侧面积公式为（其中r是底面半径，h是母线长），今天我们探讨如何计算圆锥的侧面积（提供圆锥模型），这次由你们自己去做，你们可独立探索，也可互助研究，你们不仅要得到圆锥的侧面积公式，还要准确解释公式是如何推导出来的。
问题2：如何制作一个与它相同的圆锥（出示圆锥模型）。
问题3：若位于A点的小虫沿圆锥（母线长为6，底面半径为3）的
侧面爬行一周到A点，求爬行路线的长。
设计意图分析：问题1以类比思想提出研究圆锥侧面积计算公式，让学生从解决复杂问题入手，在解决问题中获得圆锥的侧面积算公式，在公式的获取中发展了学生高层次思维能力。问题2以逆向思维提出富有现实意义的问题——制作圆锥，让学生在解决问题过程中发现圆锥侧面展开扇形与圆锥底面半径和母线长的关系。问题三是综合运用前面获得的数学知识和解题策略，进一步提高学生的思维水平。通过这样的学习活动，学生获得的不只是孤立的认知和对圆锥侧面积公式简单运用的技能，而是把握住了解决问题的核心策略，也就是平面图形与立体图形之间的相互转化以及转换中数量的不变性，促进学生形成良好的问题解决认知结构。
数学认知结构的发展既关系到学生能否顺利完成后续学习，也关系到学生能否牢固掌握和深度理解原有知识。揭示知识的本质和知识间的内在联系，用知识结构来发展认知结构，用认知结构进一步巩固知识结构，使数学的学习变得更加轻松、更加美妙。
参考文献：
[1] 吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.
（作者单位：浙江省仙居县新生中学 317300）