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【摘要】变式教学是老师在教学过程中经常使用的方法，运用变式教学能够使学生积极主动地参与到课堂教学活动中,充分发挥学生的想象力与创造力,提升学生的思维能力，另外,变式教学也是提高教学效率的重要保证。
【关键词】变式教学思维能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0151-02
教学方法与课程相关的这种“旧式”的特点是内容驱动的，这种观点是以教师为中心的，是以考试和信息传递为基础的(Brodie & Pournara, 2005)这通常是不被大家认同并且不被教育人士鼓励使用的，因为他们被认为是对深刻理解和学习数学的压制。而相比之下，“新式”的特点是以学习者为中心的，有理由支持，学习者可以受益于合理的自主判断和应用。然而，这些理由也已经被批评人士怀疑，尤其是把这样的方法应用于所有的文化之中，他们也认为不同地方拥有不同的资源环境。有许多疑问的提出就说明这个问题是倍受关注的，同时，许多报告也表明教师也在努力实现以学生为中心并学以致用（Adler, 2009; Brodie & Pournara, 2005），同时研究学习者为何结束学习后还没有得到其想学的知识和技能(Schollar, 2004)。
一、变式教学的概念与发展
所谓变式,即是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题进行不同角度、 不同层次、不同情形、不同背景的变化,使其面目不一,而本质特征保持不变的方法（黄俊峰，2011）。
变化应是什么样的变化，什么应该不变，是学习者在学习过程中应识别的潜在的规则（Leung，2012）。在学习和认知的变化最初是由Marton 和Booth提出（1997）。该理论后来由Marton 和Tsui (2004)作为一种通用的学习理论而发展，多年来，研究人员已经进行了完善并把该理论应用在一个广泛的学习领域。与具体的数学教育结合，变化之间的相互作用是指一个战略的变化与数学学习环境的互动，从而带来的数学结构的识别。（Leung，2012，p. 435）
所以一个数学教育学者是植根于变式的，是有目的的为学习者创造经验的变化，而通过战略性的设计活动来实现的，教师可以创造一个丰富的学习环境，运用丰富的数学手段（Leung，2010），允许学生自己辨别学习的对象。“学习对象”是一个专门的术语和理论的变化，这并不意味着像“学习目标”一样，目标是该学习阶段过程中的最后一点，而不是学习过程一开始的对象，学习的对象一般是指对教学内容的重点的把握，要对学生进行学习的指导，也就是“我们将要学什么”。它是由其关键特征定义的，其中必须识别教学的构成和教学的目的（Marton，2004）。所以作为一种教学方法，模式的变化是一个非常有用的工具，是构建教学，使学习对象的学习成为可能。Marton (2009)提出的四种意识的不同模式会带来不同的思维的变化。
二、运用变式教学的主要原因与目的
1.运用变式教学的主要原因
运用变式教学的主要原因是目前的教学缺乏相应的支持和合适的实施课程，在哲学的层面，不同的“主义”以及不同的学派过于强调自己的观点而充满矛盾，而这些矛盾因难以达成共识而得不到解决(Ling, 2012)。vithal和volmink（2005）也有着类似的意见，因为他们认为这样的“新”的改革在很大程度上是由猜想、刻板印象和直觉的驱使，很多这样改革的言论都是未经检验的假设断言，而不是通过研究得到的。因此，研究新的教学方法是十分必要的。
2.变式教学的目的
由于“新”是不普遍的，即使在资源充足的西方國家，学校改革运动推动也推行了许多年，Brodie and Pournara（2005）表明，下一个重要的步骤就是教师教育研究，是接受批评，并适应，修改新的教学方式，使教师作为学习者在课堂上实现新的工作方式完成这些目标。本文的目的在于促进这些想法付诸实践，在理解传统的方式的基础上，为学生创造发展的机会，对学科有着深刻的理解。本文探讨了变式教学理论作为一种有潜力的方法，在“传统”的教学方式的基础上进行修改，改变课堂，其目的在于概念的理解和思维能力的提升。
三、运用变式教学，提升思维能力
有研究表明变式在数学教学中的使用似乎比其他学科更为频繁,然而少见有关变式教学的较为系统的理论梳理与实证研究。顾泠沅将变式分为概念性变式与过程性变式以及以Marton为首的境外学者,基于现象图示学理论,提出了学习的变异原理和“教学即变异空间的构建”等理念大大地丰富了变式理论,为变式教学的研究开辟了新的视野。以下，从几个角度提出一些运用变式教学的方法：
1.通过对比方法
Marton（2009）描述了通过体验差异带来的意识变化之间的两个值的对比。但是一般教师有一种倾向，重视例子来解释相似性。然而，根据波动理论，仅仅依靠的相似性是不够的。因此，对比预先的假定，要知道什么是必须知道的,什么是不需要知道的，这是辨别或学习的东西是否满足一定的条件（Leung，2012）。例如，当教学学习者一个三角形是什么，老师也应该通过与其它多边形比较显示，让学习者明白什么不是三角形（如四边形五边形，六边形，和圆）。
2.进行分离
同样以多边形的学习为例子，并假定最初老师用来和其他的多边形比较的三角形是一个等边三角形。由于学习者只有遇到一个等边三角形，此时，他们还不能区分这一特殊的三角形和其他的三角形（如斜角三角形，等腰三角形）。分离的前提是认为每件事都有不同的角度，并且其中每个都能产生不同的理解。同样，一个等边三角形也有许多特点，其中一些特点（例如形状）只是帮助我们理解它，并区分于其它多边形。如果我们希望别人看到一个等边三角形时所想到的或运用的不只是作为一个三角形，那么，在一个特定的角度，就要使其区别于其他的三角形，然后我们必定会专注于它的某些功能，以一定的方式看到它的不同之处，这就被称为“关键特征”（leung，2012）。在这个意义上，一个函数的学习者关注是有选择性的，学习者经常关注到学习对象的关键方面。由此可见，刻意改变知识体系的某些方面并保持某些方面的相对稳定可以帮助人们更好的识别对象的“新”的方面，具有构建新知识的意义。因此，分离是一种意识，在进行精细对比的同时，某些方面被刻意改变或不改变。在尝试区分不变与变的过程中，从整体上获得思维能力。所以当学习者突然意识到，不规则三角形的变化模式，就可以说，从其他三角形分离出来的等边三角形，在某种意义上，变成了独立的三角形。如果我们不区分三角形的种类，不进行分离，我们就没有很好的帮助学习者独立的学习三角形。
3.泛化（概括）
泛化是验证猜想活动，并且检查分离模式是否具有普遍有效性，这往往是对一个目标的数学探索。分离和泛化之间的联系以及分离和泛化格局的变化，是取决于学习者学习过程的变化和学习者对学习对象的重点的一个分离或概括。因此，在决定是否模式的变化会导致分离或概括之前，必须明确学习的目标是什么。在一般情况下，当焦点在关注什么是次要的，它是分离，分离的特定性或一般性；当焦点在背后的原理是什么，通常是概括，可以说概括通常适用于学习目标所有的特征。
4.融合
融合发生在学习者的注意力集中在几个方面的时候，对一个对象、概念或现象不同理解的基础上。从变式理论的角度来看,如果学习者只能辨别个人的关键特性但未能实现融合的阶段(同时识别所有的关键特性和它们之间的关系),那么他们就可能无法彻底理解学习的对象,并无法将这些知识进行应用来解决新的问题。因此融合集合成的关键特性或维度，也就是说，把离散的东西形成一个整体。需要注意的是,当学习者关注学习对象不同方面的同时, 时间在融合中起着至关重要的作用，通常要历经长时间的过程使之前的经验和现在的交互融合。此前认为,学习者总是会带着他们以前有过的经验(前备知识),来学习现在的新知识，因此,融合具有共时性和历时性。
四、运用变式教学理论的注意之处
就变式理论而言,根据理论分析所得,如果我们关注教与学的问题,而不是在哲学层面上争论理论之间的差异,这样的话，我们就会发现许多新的教学方法、策略和建议，这些方法是相似的和兼容的。基于变式教育学的学习刻意提供了一个协调的框架，以教师为主的教学方法支持学生对数学概念深入了解。
就课程开发方面而言,变式有助于协调简单化和虚假的二分法,至于课程体系的建立,是政府在制定未来的政策制定时需要特别注意的。课程语句的创建，以及不必要的非区别 “旧”与“新”的课程,不得不承认“新”并不常见,即使在经济与教育资源都充足的国家。
对于教师教育,研究和经验证据表明,教师教育者无论在法律、职业、道德和公民义务方面都有义务为学生提供教学模型,并给学生创造良好的学习环境。从这个角度来看 ,探讨了教学模式与思维的训练 ,这可能被认为是教师与学生进行进一步的沟通与研究。
在课堂实践中,Vithal和Volmink(2005)认为一波又一波的课程改革常常会导致的实现一个折衷并且混合方法。“新”课程要求彻底转变传统的教师的方法,而老教师都很熟悉自己原有的方式,而新课程并没有提供一个模型，告诉教师教的概念的对新方法的深入理解。变式教学可以为教师提供急需的“新”“旧”之间的桥梁,来在已有的基础上帮助他们熟悉 “新”方式，这是解决“新”“旧”矛盾中非常重要的。
研究表明,缺乏洞察并且缺少对教育理论深入研究的改革运动可能会造成误解,尤其是在有经验的老师中间,会导致学习者不能形成抽象思维和过程性的知识(Schollar,2004)。学校和教育工作者应该很明确：运用变式教学，是可以提升思维能力的，而教学理念需要与行为相融合才能更好的将理论与实践相结合，为学生创造一个好的学习环境和氛围。
参考文献：
[1]Brodie, K., & Pournara, C. (2005). Towards a framework for developing and researching group work in mathematics classrooms. In R. Vithal, J. Adler, & C. Keitel (Eds.), Researching mathematics education in South Africa: Perspectives, practices and possibilities (pp. 28–72). Cape Town: HSRC Press.
[2]Schollar,E.(2004).Primary mathematics research project. Johannesburg: Eric Schollar & Associates.
[3]黃俊峰.利用变式教学提高高三数学复习效果.湖北省大冶市第一中学学报.2011
[4]Ling, M.L.(2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning. Gothenburg, Sweden: Acta Universitatis Gothoburgensis. Available from http:// gupea.ub.gu.se/handle/2077/29645.
[5]Marton，F.，& Booth，S.(1997).Learning and awareness. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
[6]Leung，A.(2010).Empowering learning with rich mathematical experience: Reflections on a primary lesson on area and perimeter. International Journal for Mathematics Teaching and Learning. Available from http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/ leung.pdf
[7]Marton，F.(2009, December). Sameness and difference in learning. Paper presented at the Swedish Research Links Symposium on Phenomenography and Variation Theory, University of Hong Kong, Hong Kong.
[8]Long, C.(2005). Maths concepts in teaching: Procedural and conceptual knowledge. Pythagoras, 62, 59–65.
【关键词】变式教学思维能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0151-02
教学方法与课程相关的这种“旧式”的特点是内容驱动的，这种观点是以教师为中心的，是以考试和信息传递为基础的(Brodie & Pournara, 2005)这通常是不被大家认同并且不被教育人士鼓励使用的，因为他们被认为是对深刻理解和学习数学的压制。而相比之下，“新式”的特点是以学习者为中心的，有理由支持，学习者可以受益于合理的自主判断和应用。然而，这些理由也已经被批评人士怀疑，尤其是把这样的方法应用于所有的文化之中，他们也认为不同地方拥有不同的资源环境。有许多疑问的提出就说明这个问题是倍受关注的，同时，许多报告也表明教师也在努力实现以学生为中心并学以致用（Adler, 2009; Brodie & Pournara, 2005），同时研究学习者为何结束学习后还没有得到其想学的知识和技能(Schollar, 2004)。
一、变式教学的概念与发展
所谓变式,即是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题进行不同角度、 不同层次、不同情形、不同背景的变化,使其面目不一,而本质特征保持不变的方法（黄俊峰，2011）。
变化应是什么样的变化，什么应该不变，是学习者在学习过程中应识别的潜在的规则（Leung，2012）。在学习和认知的变化最初是由Marton 和Booth提出（1997）。该理论后来由Marton 和Tsui (2004)作为一种通用的学习理论而发展，多年来，研究人员已经进行了完善并把该理论应用在一个广泛的学习领域。与具体的数学教育结合，变化之间的相互作用是指一个战略的变化与数学学习环境的互动，从而带来的数学结构的识别。（Leung，2012，p. 435）
所以一个数学教育学者是植根于变式的，是有目的的为学习者创造经验的变化，而通过战略性的设计活动来实现的，教师可以创造一个丰富的学习环境，运用丰富的数学手段（Leung，2010），允许学生自己辨别学习的对象。“学习对象”是一个专门的术语和理论的变化，这并不意味着像“学习目标”一样，目标是该学习阶段过程中的最后一点，而不是学习过程一开始的对象，学习的对象一般是指对教学内容的重点的把握，要对学生进行学习的指导，也就是“我们将要学什么”。它是由其关键特征定义的，其中必须识别教学的构成和教学的目的（Marton，2004）。所以作为一种教学方法，模式的变化是一个非常有用的工具，是构建教学，使学习对象的学习成为可能。Marton (2009)提出的四种意识的不同模式会带来不同的思维的变化。
二、运用变式教学的主要原因与目的
1.运用变式教学的主要原因
运用变式教学的主要原因是目前的教学缺乏相应的支持和合适的实施课程，在哲学的层面，不同的“主义”以及不同的学派过于强调自己的观点而充满矛盾，而这些矛盾因难以达成共识而得不到解决(Ling, 2012)。vithal和volmink（2005）也有着类似的意见，因为他们认为这样的“新”的改革在很大程度上是由猜想、刻板印象和直觉的驱使，很多这样改革的言论都是未经检验的假设断言，而不是通过研究得到的。因此，研究新的教学方法是十分必要的。
2.变式教学的目的
由于“新”是不普遍的，即使在资源充足的西方國家，学校改革运动推动也推行了许多年，Brodie and Pournara（2005）表明，下一个重要的步骤就是教师教育研究，是接受批评，并适应，修改新的教学方式，使教师作为学习者在课堂上实现新的工作方式完成这些目标。本文的目的在于促进这些想法付诸实践，在理解传统的方式的基础上，为学生创造发展的机会，对学科有着深刻的理解。本文探讨了变式教学理论作为一种有潜力的方法，在“传统”的教学方式的基础上进行修改，改变课堂，其目的在于概念的理解和思维能力的提升。
三、运用变式教学，提升思维能力
有研究表明变式在数学教学中的使用似乎比其他学科更为频繁,然而少见有关变式教学的较为系统的理论梳理与实证研究。顾泠沅将变式分为概念性变式与过程性变式以及以Marton为首的境外学者,基于现象图示学理论,提出了学习的变异原理和“教学即变异空间的构建”等理念大大地丰富了变式理论,为变式教学的研究开辟了新的视野。以下，从几个角度提出一些运用变式教学的方法：
1.通过对比方法
Marton（2009）描述了通过体验差异带来的意识变化之间的两个值的对比。但是一般教师有一种倾向，重视例子来解释相似性。然而，根据波动理论，仅仅依靠的相似性是不够的。因此，对比预先的假定，要知道什么是必须知道的,什么是不需要知道的，这是辨别或学习的东西是否满足一定的条件（Leung，2012）。例如，当教学学习者一个三角形是什么，老师也应该通过与其它多边形比较显示，让学习者明白什么不是三角形（如四边形五边形，六边形，和圆）。
2.进行分离
同样以多边形的学习为例子，并假定最初老师用来和其他的多边形比较的三角形是一个等边三角形。由于学习者只有遇到一个等边三角形，此时，他们还不能区分这一特殊的三角形和其他的三角形（如斜角三角形，等腰三角形）。分离的前提是认为每件事都有不同的角度，并且其中每个都能产生不同的理解。同样，一个等边三角形也有许多特点，其中一些特点（例如形状）只是帮助我们理解它，并区分于其它多边形。如果我们希望别人看到一个等边三角形时所想到的或运用的不只是作为一个三角形，那么，在一个特定的角度，就要使其区别于其他的三角形，然后我们必定会专注于它的某些功能，以一定的方式看到它的不同之处，这就被称为“关键特征”（leung，2012）。在这个意义上，一个函数的学习者关注是有选择性的，学习者经常关注到学习对象的关键方面。由此可见，刻意改变知识体系的某些方面并保持某些方面的相对稳定可以帮助人们更好的识别对象的“新”的方面，具有构建新知识的意义。因此，分离是一种意识，在进行精细对比的同时，某些方面被刻意改变或不改变。在尝试区分不变与变的过程中，从整体上获得思维能力。所以当学习者突然意识到，不规则三角形的变化模式，就可以说，从其他三角形分离出来的等边三角形，在某种意义上，变成了独立的三角形。如果我们不区分三角形的种类，不进行分离，我们就没有很好的帮助学习者独立的学习三角形。
3.泛化（概括）
泛化是验证猜想活动，并且检查分离模式是否具有普遍有效性，这往往是对一个目标的数学探索。分离和泛化之间的联系以及分离和泛化格局的变化，是取决于学习者学习过程的变化和学习者对学习对象的重点的一个分离或概括。因此，在决定是否模式的变化会导致分离或概括之前，必须明确学习的目标是什么。在一般情况下，当焦点在关注什么是次要的，它是分离，分离的特定性或一般性；当焦点在背后的原理是什么，通常是概括，可以说概括通常适用于学习目标所有的特征。
4.融合
融合发生在学习者的注意力集中在几个方面的时候，对一个对象、概念或现象不同理解的基础上。从变式理论的角度来看,如果学习者只能辨别个人的关键特性但未能实现融合的阶段(同时识别所有的关键特性和它们之间的关系),那么他们就可能无法彻底理解学习的对象,并无法将这些知识进行应用来解决新的问题。因此融合集合成的关键特性或维度，也就是说，把离散的东西形成一个整体。需要注意的是,当学习者关注学习对象不同方面的同时, 时间在融合中起着至关重要的作用，通常要历经长时间的过程使之前的经验和现在的交互融合。此前认为,学习者总是会带着他们以前有过的经验(前备知识),来学习现在的新知识，因此,融合具有共时性和历时性。
四、运用变式教学理论的注意之处
就变式理论而言,根据理论分析所得,如果我们关注教与学的问题,而不是在哲学层面上争论理论之间的差异,这样的话，我们就会发现许多新的教学方法、策略和建议，这些方法是相似的和兼容的。基于变式教育学的学习刻意提供了一个协调的框架，以教师为主的教学方法支持学生对数学概念深入了解。
就课程开发方面而言,变式有助于协调简单化和虚假的二分法,至于课程体系的建立,是政府在制定未来的政策制定时需要特别注意的。课程语句的创建，以及不必要的非区别 “旧”与“新”的课程,不得不承认“新”并不常见,即使在经济与教育资源都充足的国家。
对于教师教育,研究和经验证据表明,教师教育者无论在法律、职业、道德和公民义务方面都有义务为学生提供教学模型,并给学生创造良好的学习环境。从这个角度来看 ,探讨了教学模式与思维的训练 ,这可能被认为是教师与学生进行进一步的沟通与研究。
在课堂实践中,Vithal和Volmink(2005)认为一波又一波的课程改革常常会导致的实现一个折衷并且混合方法。“新”课程要求彻底转变传统的教师的方法,而老教师都很熟悉自己原有的方式,而新课程并没有提供一个模型，告诉教师教的概念的对新方法的深入理解。变式教学可以为教师提供急需的“新”“旧”之间的桥梁,来在已有的基础上帮助他们熟悉 “新”方式，这是解决“新”“旧”矛盾中非常重要的。
研究表明,缺乏洞察并且缺少对教育理论深入研究的改革运动可能会造成误解,尤其是在有经验的老师中间,会导致学习者不能形成抽象思维和过程性的知识(Schollar,2004)。学校和教育工作者应该很明确：运用变式教学，是可以提升思维能力的，而教学理念需要与行为相融合才能更好的将理论与实践相结合，为学生创造一个好的学习环境和氛围。
参考文献：
[1]Brodie, K., & Pournara, C. (2005). Towards a framework for developing and researching group work in mathematics classrooms. In R. Vithal, J. Adler, & C. Keitel (Eds.), Researching mathematics education in South Africa: Perspectives, practices and possibilities (pp. 28–72). Cape Town: HSRC Press.
[2]Schollar,E.(2004).Primary mathematics research project. Johannesburg: Eric Schollar & Associates.
[3]黃俊峰.利用变式教学提高高三数学复习效果.湖北省大冶市第一中学学报.2011
[4]Ling, M.L.(2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning. Gothenburg, Sweden: Acta Universitatis Gothoburgensis. Available from http:// gupea.ub.gu.se/handle/2077/29645.
[5]Marton，F.，& Booth，S.(1997).Learning and awareness. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
[6]Leung，A.(2010).Empowering learning with rich mathematical experience: Reflections on a primary lesson on area and perimeter. International Journal for Mathematics Teaching and Learning. Available from http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/ leung.pdf
[7]Marton，F.(2009, December). Sameness and difference in learning. Paper presented at the Swedish Research Links Symposium on Phenomenography and Variation Theory, University of Hong Kong, Hong Kong.
[8]Long, C.(2005). Maths concepts in teaching: Procedural and conceptual knowledge. Pythagoras, 62, 59–65.