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摘要：函数是数学课程中的一个核心概念。然而，由于函数概念的抽象性和复杂性，它也是中学数学教学的一个难点。在新的基础教育课程改革中，无论是函数概念的教学还是函数概念的学习是一个值得探讨的话题。本文立足函数定义的层次性，综合考虑函数概念教学的目标和学生学习函数概念时出现的困难与问题，结合新课程实验教材以及APOS理论，从函数概念——函数思想对函数概念的教学进行探讨。
关键词：APOS理论 函数概念 新课程
1、APOS理论研究综述
APOS理论起源于杜宾斯基（E.Dubinskv）试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试。
APOS理论分别是由英文action（操作）、process（过程）、object耐象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，也是APOS理论的四阶段模型。这种理论认为，在数学教学中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题，这就是APOS理论。
目前APOS理论在国外比较盛行，已经在很多方面得到了广泛的应用，诸如：函数概念，包括由Marilyncarlsom，Dubinskv，Guer-shonharel等人所做的研究；抽象代数问题，包括由Dubinsky，而Leron以及由Rumec中部分成员所做的工作；离散数学问题，如数学演绎、置换、对称以及表示存在和所有的量词；微积分问题；统计学中的问题。
2、新课程下高中函數概念的教学
高中函数概念教学应达到的目标：理解并真正掌握用集合的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用；将函数作为一般对象去进行研究或实施演算，完成函数概念的对象化并逐渐形成函数概念较为完整的图式，从而在深层次上理解函数（重在理解函数思想）。
3、APOS理论对函数概念教学的应用
第一，注重函数概念的现实背景和数学活动的开展。在学习数学概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有丰富的社会现实背景，并认为概念的理解始于活动。因此，在进行函数概念的教学时，教师应注意概念产生的现实背景，精心组织学生开展数学活动，让学生通过活动来获得对概念的初步认识。
普通高中数学课程标准实验教科书·数学·必修I（A版），在函数的概念一节中安排了三个实例：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度^（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2。这个例子可以让学生体会炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=｛t/0≤f≤26｝，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B=｛h/O≤h≤845｝。（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题（图2）。
根据图中曲线可知，时间f的变化范围是数集A=｛t／1979≤t≤2001｝，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集B=｛s/O≤s≤26｝。（3）“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表1所示）。
根据上表，可知时间t的变化范围是数集A=｛t／1991≤f≤2001，t∈N*｝，恩格尔系数y的变化范围是数集B=｛y/37.9≤y≤53.8｝。这三个例子，特别是后面两个不但贴近学生的生活实际，而且让学生通过对其语言描述与演算，从中抽象出数量关系。第二，重视函数概念的形成过程。APOS理论指出，个体是在“过程”中对“活动”进行反省抽象，发现概念的本质属性。由此出发，学生在函数概念学习的过程中，不但要给予他们实例，而且也要应引导学生去分析、归纳实例。而在此时，适当的引导学生思考：对于数集中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。记作f：A→B。从而就可以试图让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念。
第三，重视函数概念的对象化。APOS理论强调，只有当个体能够把概念形成的过程视作一个新的对象，并进行研究或灵活运用时，一个完整的理解才算真正成型。对函数概念而言，它只有在学习者头脑中呈现出“过程——对象”一体化时，才算真正形成。因此，为了让学生能够更好的理解函数概念，须让学生做到以下两方面：一是研究函数的表示方法，即是从定义域内任取一个值，唯一得到一个函数值，对应地只能描出一个点，这使得学生可以很容易地把握对应关系的特点；同时让学生绘制函数图像，这种方法使学生在函数的不同表示方法之间进行转换，丰富了学生对概念的认识以及研究函数的性质。二是通过对函数实施高层次的演算，让函数概念在学生的头脑中真正实现对象化。
第四，重视函数概念图式的建构。APOS理论指出，概念的建构还要上升到“图式阶段”，即需要在知识的整体结构中深化对概念的认识和理解。首先建立起的是函数概念的结构——包括函数概念的抽象过程、函数完整的定义、函数的具体实例、函数的形式化表示、一系列的子概念淀义域、值域、对应法则等；在此基础上，随着学习的深入和知识的积累，不断地加强函数概念与不等式、方程、数列、曲线、图像等概念的区别和联系，建构起概念网络。
4、结束语
函数是高中数学的核心内容，对它的研究有着非常广阔的前景。本文试图从APOS理论来研究新课程高中函数概念学习的过程以及把该理论应用于函数概念学习的过程中，为学生学习与教师教函数概念提供理论依据。但是由于水平有限，认识难免粗浅。
关键词：APOS理论 函数概念 新课程
1、APOS理论研究综述
APOS理论起源于杜宾斯基（E.Dubinskv）试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试。
APOS理论分别是由英文action（操作）、process（过程）、object耐象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，也是APOS理论的四阶段模型。这种理论认为，在数学教学中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题，这就是APOS理论。
目前APOS理论在国外比较盛行，已经在很多方面得到了广泛的应用，诸如：函数概念，包括由Marilyncarlsom，Dubinskv，Guer-shonharel等人所做的研究；抽象代数问题，包括由Dubinsky，而Leron以及由Rumec中部分成员所做的工作；离散数学问题，如数学演绎、置换、对称以及表示存在和所有的量词；微积分问题；统计学中的问题。
2、新课程下高中函數概念的教学
高中函数概念教学应达到的目标：理解并真正掌握用集合的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用；将函数作为一般对象去进行研究或实施演算，完成函数概念的对象化并逐渐形成函数概念较为完整的图式，从而在深层次上理解函数（重在理解函数思想）。
3、APOS理论对函数概念教学的应用
第一，注重函数概念的现实背景和数学活动的开展。在学习数学概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有丰富的社会现实背景，并认为概念的理解始于活动。因此，在进行函数概念的教学时，教师应注意概念产生的现实背景，精心组织学生开展数学活动，让学生通过活动来获得对概念的初步认识。
普通高中数学课程标准实验教科书·数学·必修I（A版），在函数的概念一节中安排了三个实例：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度^（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2。这个例子可以让学生体会炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=｛t/0≤f≤26｝，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B=｛h/O≤h≤845｝。（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题（图2）。
根据图中曲线可知，时间f的变化范围是数集A=｛t／1979≤t≤2001｝，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集B=｛s/O≤s≤26｝。（3）“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表1所示）。
根据上表，可知时间t的变化范围是数集A=｛t／1991≤f≤2001，t∈N*｝，恩格尔系数y的变化范围是数集B=｛y/37.9≤y≤53.8｝。这三个例子，特别是后面两个不但贴近学生的生活实际，而且让学生通过对其语言描述与演算，从中抽象出数量关系。第二，重视函数概念的形成过程。APOS理论指出，个体是在“过程”中对“活动”进行反省抽象，发现概念的本质属性。由此出发，学生在函数概念学习的过程中，不但要给予他们实例，而且也要应引导学生去分析、归纳实例。而在此时，适当的引导学生思考：对于数集中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。记作f：A→B。从而就可以试图让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念。
第三，重视函数概念的对象化。APOS理论强调，只有当个体能够把概念形成的过程视作一个新的对象，并进行研究或灵活运用时，一个完整的理解才算真正成型。对函数概念而言，它只有在学习者头脑中呈现出“过程——对象”一体化时，才算真正形成。因此，为了让学生能够更好的理解函数概念，须让学生做到以下两方面：一是研究函数的表示方法，即是从定义域内任取一个值，唯一得到一个函数值，对应地只能描出一个点，这使得学生可以很容易地把握对应关系的特点；同时让学生绘制函数图像，这种方法使学生在函数的不同表示方法之间进行转换，丰富了学生对概念的认识以及研究函数的性质。二是通过对函数实施高层次的演算，让函数概念在学生的头脑中真正实现对象化。
第四，重视函数概念图式的建构。APOS理论指出，概念的建构还要上升到“图式阶段”，即需要在知识的整体结构中深化对概念的认识和理解。首先建立起的是函数概念的结构——包括函数概念的抽象过程、函数完整的定义、函数的具体实例、函数的形式化表示、一系列的子概念淀义域、值域、对应法则等；在此基础上，随着学习的深入和知识的积累，不断地加强函数概念与不等式、方程、数列、曲线、图像等概念的区别和联系，建构起概念网络。
4、结束语
函数是高中数学的核心内容，对它的研究有着非常广阔的前景。本文试图从APOS理论来研究新课程高中函数概念学习的过程以及把该理论应用于函数概念学习的过程中，为学生学习与教师教函数概念提供理论依据。但是由于水平有限，认识难免粗浅。