函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

• 作 者: 赵文龙
• 出 处: 中学课程辅导·教学研究
• 发表日期: 2018年6期
• 关键词: 函数 奇偶性 周期性 对称性 关系

　　摘要：函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。本文结合例题对此做一简要探讨。
　　关键词：函数；奇偶性；周期性；对称性；关系
　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）02-0112
　　函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。
　　知识背景：1. 奇函数的抽象性质：f（-x）=-f（x）；2. 偶函数的抽象性质：f（-x）=f（x）；3. 周期函数的抽象性质：f（x T）=f（x）；4. 对称函数的抽象性质：若f（a-x）=f（a x）或f（2a-x）=f（x），则函数图像关于直线x=a对称；若f（a-x） f（a x）=0或f（2a-x） f（x）=0，则函数图像关于点（a，0）对称。
　　一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性
　　例1. 若函数是奇函数，周期为2a，求证：函数f（x）关于点（a，0）对称。
　　解析：∵函数f（x）是奇函数且周期为2a，∴f（-x）=f（x）且f（x 2a）=f（x），∴f（-x）=-f（x 2a），∴f（x）=-f（x 2a），即f（x 2a） f（x）=0，∴函数f（x）关于点（a，0）对称。
　　例2. 若函数f（x）是偶函数，周期为2a，求证：函数f（x）关于x=a直线对称.
　　解析：∵函數f（x）是偶函数且周期为2a，∴f（-x）=f（x）且f（x 2a）=f（x），∴f（-x）=f（x 2a），即f（2a-x）=f（x），∴函数f（x）关于直线x=a对称。
　　二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性
　　例3. 若函数f（x）是奇函数，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）的周期为4a.
　　解析：∵函数f（x）是奇函数且图像关于直线x=a对称，∴f（-x）=-f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=-f（x），∴f（2a x）=-f（x），∴f（4a x）=f（x），即函数的周期为T=4a.
　　同理：若f（x）函数是奇函数，图像关于关于点（a，0）对称，可求出函数的周期为2a。
　　例4. 若函数f（x）是偶函数，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）的周期为2a。
　　解析：∵函数f（x）是偶函数且图像关于直线x=a对称，∴f（-x）=f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=f（-x），∴f（2a x）=f（x），即函数的周期为2a。
　　同理：若函数f（x）是偶函数，图象关于关于点（a，0）对称，可求出函数的周期为4a。
　　三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性（有特定条件：周期是对称值的2倍）
　　例5. 已知函数f（x）的周期为2a，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）为偶函数。
　　解析：∵函数f（x）的图像关于直线x=a对称，∴f（2a-x）=f（x），∴f（2a x）=f（-x），又∵f（x）的周期为2a，∴f（x 2a）=f（x），∴f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数.
　　例6. 已知函数f（x）的周期为2a，图像关于点（a，0）对称，求证：函数f（x）为奇函数。
　　解析：∵函数f（x）的图像关于点（a，0）对称，∴f（2a-x） f（x）=0，∴f（2a x）=-f（-x），又∵f（x）的周期为2a，∴f（x 2a）=f（x），∴f（x）=-f（-x），即函数f（x）为奇函数。
　　以上结论较多，只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系，并掌握推导方法即可。
　　作者简介：赵文龙，安徽省来安县第三中学，高中一级教师，滁州市中青年骨干教师，来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。曾在《数理天地》《中学生数理化》《学习方法报》报刊杂志上分别发表文章《三角函数变换的技巧》《不要小看反比例函数》《对两种变量的讨论》。
　　（作者单位：安徽省来安县第三中学 239200）