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摘 要：在例题教学中，教师不但让学生演练计算、变形，而且让学生进行解题思路和方法探求的尝试：从“教”的方面——重视学生数学基础知识的掌握和对学生基本技能的训练，从“学”的方面——培养学生良好的课堂学习习惯，从“思”的方面——倡导和训练学生进行有效的解题反思，做到“授之以渔”，培养并提高学生的解题能力。
关键词：数学教学；授之以渔；解题能力
作为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是衡量教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以解决问题为重心的数学知识运用教学。近年来，笔者在培养和提高初中学生解题能力方面，进行了一些初步的探索，也就是古人所谓的“授之以渔”。那么，该如何“授之以渔”，迅速培养学生的解题应变能力呢？
一、重视学生数学基础知识的掌握和对学生基本技能的训练
在教学的过程中，教师应注重学生基础知识的掌握和对学生基本技能的训练。对数学中的基本概念、性质、公式、定理等，教师在教学时要注意它们的形成过程和推理依据，并引导学生注意知识之间的衔接，让学生随着学习的深入，对它们的认识和理解不断深化。
（一）让学生熟练地掌握基本的数学思维方法和常用的数学方法
在平时的教学中，教师一方面要善于引导学生学习一些基本的思维方法，另一方面又要重视指导学生学习数学的方法与掌握联想、类比、猜想、归纳等研究问题的方法。例如解答综合题的基本方法是分析综合，这种思维方法就是：由“已知”猜想“可知”，由“未知”猜想“需知”。若能够将“可知”与“需知”联系起来，解题的途径就会水到渠成。教师应重视例题教学的典范作用，因为现在学生的解题仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。
（二）引导学生注重解题后的“反思”，提高学生的解题能力和技巧
让学生养成解题后反思的习惯，是解题教学非常重要的一环，必须十分重视。
①检验求解结果。主要是核查结果是否正确无误，推理是否有理有据，解答是否详尽无漏。
②讨论解法。主要是寻求其他不同解法或改进解法，分析解法特征关键和主要思维过程；寻找规律，多题一解等。这将有利于开拓思维、积累经验，整理方法；有助于增强思维的灵活性和发展提高解题能力。
③解题后开拓引申，举一反三。学生解完题后要引导再回味和引申，对题目做开拓思引伸出新的解法，这有利益培养学生思维的发散性。激发创造欲望，提高解题能力。
[例1] 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中点，AF⊥BD交于E，连接DF。求证：∠ADB=∠CDF。
思路：从图形上看∠ADB和∠CDF所在的三角形不全等，故考虑构造全等三角形。∠CDF所在的△CDF中，∠C=45°，又CD=AD,所以构造的三角形应以AD为边且有45°角，故作AN⊥BC于N，交BD于M,则∠DAM=45°，证△ADM≌△CDF即可。
解题后的反思、总结、推广，也是培养学生积极思维、发明、发现、创造突破能力的有效途径。如果能让学生养成习惯，会收到很大的效益。
二、培养学生良好的课堂学习习惯
在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案，老师改后也不改错，形成数学作业“一多”、“二假”、“三无效”，导致学生解题和老师批阅均为无效劳动。针对这些问题，我们在平时的教学中可从以下几方面对学生加强训练。
（一）培养学生善于进行总结归纳的习惯
解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。
例如，证明“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”以后，可进一步发展推广为：“这个平行四边形的周长等于原四边形的两条对角线长度和”。
（二）善于进行引申
解完一道题之后，从不同角度引申，有助于培养学生的解题能力。
[例2] 如图，边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一点，AP:PB=2。求矩形PNDM的面积。
解完这道题后，可作如下引申：去掉条件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面积因P点在AB上的不同位置而变化，可引申为如下的题目：
边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一个动点，并将矩形PNDM的面积记为S，求S的变化范围。
若条件不变又可引申为：（1）S的最大值、最小值分别是多少？（2）P点在怎样的位置时S的值为10？
学生经常做由一题可引申多题，但解法类似或相似的题目，可以扩大其视野，深化其知识，从而提高学生解题能力。
（三）善于进行推广
当一道数学题解完之后，如果将命题中的特殊条件一般化，从而推得更为普遍的结论，这就是数学命题的推广。善于进行推广所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。这非常有利于培养学生深入钻研的良好习惯，激发他们的创造精神。
这种推广对活跃思路，开阔视野，培养解题能力是大有裨益的。课后教师可让学生精选自己认为的好题进行分析，重点写出分析过程、解决这一问题时用到的知识、掌握的技能及最大收获等。通过这一策略，即可强化学生对所学知识的复习，对所用技能、方法的巩固，从而提升解题能力。
三、倡导和训练学生进行有效的解题反思
解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行解题反思：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法——一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论——举一反三，多题一解？但许多同学在完成作业方面，因为学习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂而未能入室。
为了提高学生的解题能力，我们应经常倡导和训练学生进行有效的解题反思：鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。想想以前有没有做过与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目。如果将题目的特殊条件一般化，能否推得更为普遍的结论，这样所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。
[例3] 如图，已知AB和DE是直立在地面上的两根石柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m。（1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长。
这道题主要是利用相似三角形的知识解决实际问题，说明数学知识来源于实际又服务于实际。在分析这一题时，笔者先做好解题前的思考，预见学生在解题过程中可能出现的错误，先让学生来判断这些做法是否正确。
误区一：默认△ABC∽△DEF；
误区二：默认∠A＝∠D；
误区三：由AB∥DE推出△ABC∽△DEF。
对学生可能出现的典型错误加以评述，让学生在解题中增强识别、改正错误的能力。然后再让学生归纳、总结此题所用到的知识点，以及所用到的数学方法。再进行延伸，是否做过同类型的题，学生很容易就想到测量树高等问题，进而引申到如何测量树高，可有哪些方法？学生想到的比较多，利用物高与影长成比例或是利用光学原理进行解决。由此学生所得到的就不止是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。
总结审题过程中的思维技巧，这对发现审题过程中的错误，提高分析问题的能力都有重要作用。这些方法的熟练程度密切相关，学生在解题时总是用最先想到的方法，也是他们最熟悉的方法，因此，解题后反思一下有无其他解法，可使学生开拓思路，提高解题能力。
总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，更不能盲目地搞题海战术，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划、有针对性地进行培养和训练：“授之以渔”——让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。
[参 考 文 献]
[1]刘云亮.教学三境界[J].林区教学，2011（9）.
[2]李松.谈谈数学解题能力的培养[J].考试周刊，2011（11）.
（责任编辑：张华伟）
关键词：数学教学；授之以渔；解题能力
作为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是衡量教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以解决问题为重心的数学知识运用教学。近年来，笔者在培养和提高初中学生解题能力方面，进行了一些初步的探索，也就是古人所谓的“授之以渔”。那么，该如何“授之以渔”，迅速培养学生的解题应变能力呢？
一、重视学生数学基础知识的掌握和对学生基本技能的训练
在教学的过程中，教师应注重学生基础知识的掌握和对学生基本技能的训练。对数学中的基本概念、性质、公式、定理等，教师在教学时要注意它们的形成过程和推理依据，并引导学生注意知识之间的衔接，让学生随着学习的深入，对它们的认识和理解不断深化。
（一）让学生熟练地掌握基本的数学思维方法和常用的数学方法
在平时的教学中，教师一方面要善于引导学生学习一些基本的思维方法，另一方面又要重视指导学生学习数学的方法与掌握联想、类比、猜想、归纳等研究问题的方法。例如解答综合题的基本方法是分析综合，这种思维方法就是：由“已知”猜想“可知”，由“未知”猜想“需知”。若能够将“可知”与“需知”联系起来，解题的途径就会水到渠成。教师应重视例题教学的典范作用，因为现在学生的解题仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。
（二）引导学生注重解题后的“反思”，提高学生的解题能力和技巧
让学生养成解题后反思的习惯，是解题教学非常重要的一环，必须十分重视。
①检验求解结果。主要是核查结果是否正确无误，推理是否有理有据，解答是否详尽无漏。
②讨论解法。主要是寻求其他不同解法或改进解法，分析解法特征关键和主要思维过程；寻找规律，多题一解等。这将有利于开拓思维、积累经验，整理方法；有助于增强思维的灵活性和发展提高解题能力。
③解题后开拓引申，举一反三。学生解完题后要引导再回味和引申，对题目做开拓思引伸出新的解法，这有利益培养学生思维的发散性。激发创造欲望，提高解题能力。
[例1] 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中点，AF⊥BD交于E，连接DF。求证：∠ADB=∠CDF。
思路：从图形上看∠ADB和∠CDF所在的三角形不全等，故考虑构造全等三角形。∠CDF所在的△CDF中，∠C=45°，又CD=AD,所以构造的三角形应以AD为边且有45°角，故作AN⊥BC于N，交BD于M,则∠DAM=45°，证△ADM≌△CDF即可。
解题后的反思、总结、推广，也是培养学生积极思维、发明、发现、创造突破能力的有效途径。如果能让学生养成习惯，会收到很大的效益。
二、培养学生良好的课堂学习习惯
在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案，老师改后也不改错，形成数学作业“一多”、“二假”、“三无效”，导致学生解题和老师批阅均为无效劳动。针对这些问题，我们在平时的教学中可从以下几方面对学生加强训练。
（一）培养学生善于进行总结归纳的习惯
解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。
例如，证明“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”以后，可进一步发展推广为：“这个平行四边形的周长等于原四边形的两条对角线长度和”。
（二）善于进行引申
解完一道题之后，从不同角度引申，有助于培养学生的解题能力。
[例2] 如图，边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一点，AP:PB=2。求矩形PNDM的面积。
解完这道题后，可作如下引申：去掉条件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面积因P点在AB上的不同位置而变化，可引申为如下的题目：
边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一个动点，并将矩形PNDM的面积记为S，求S的变化范围。
若条件不变又可引申为：（1）S的最大值、最小值分别是多少？（2）P点在怎样的位置时S的值为10？
学生经常做由一题可引申多题，但解法类似或相似的题目，可以扩大其视野，深化其知识，从而提高学生解题能力。
（三）善于进行推广
当一道数学题解完之后，如果将命题中的特殊条件一般化，从而推得更为普遍的结论，这就是数学命题的推广。善于进行推广所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。这非常有利于培养学生深入钻研的良好习惯，激发他们的创造精神。
这种推广对活跃思路，开阔视野，培养解题能力是大有裨益的。课后教师可让学生精选自己认为的好题进行分析，重点写出分析过程、解决这一问题时用到的知识、掌握的技能及最大收获等。通过这一策略，即可强化学生对所学知识的复习，对所用技能、方法的巩固，从而提升解题能力。
三、倡导和训练学生进行有效的解题反思
解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行解题反思：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法——一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论——举一反三，多题一解？但许多同学在完成作业方面，因为学习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂而未能入室。
为了提高学生的解题能力，我们应经常倡导和训练学生进行有效的解题反思：鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。想想以前有没有做过与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目。如果将题目的特殊条件一般化，能否推得更为普遍的结论，这样所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。
[例3] 如图，已知AB和DE是直立在地面上的两根石柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m。（1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长。
这道题主要是利用相似三角形的知识解决实际问题，说明数学知识来源于实际又服务于实际。在分析这一题时，笔者先做好解题前的思考，预见学生在解题过程中可能出现的错误，先让学生来判断这些做法是否正确。
误区一：默认△ABC∽△DEF；
误区二：默认∠A＝∠D；
误区三：由AB∥DE推出△ABC∽△DEF。
对学生可能出现的典型错误加以评述，让学生在解题中增强识别、改正错误的能力。然后再让学生归纳、总结此题所用到的知识点，以及所用到的数学方法。再进行延伸，是否做过同类型的题，学生很容易就想到测量树高等问题，进而引申到如何测量树高，可有哪些方法？学生想到的比较多，利用物高与影长成比例或是利用光学原理进行解决。由此学生所得到的就不止是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。
总结审题过程中的思维技巧，这对发现审题过程中的错误，提高分析问题的能力都有重要作用。这些方法的熟练程度密切相关，学生在解题时总是用最先想到的方法，也是他们最熟悉的方法，因此，解题后反思一下有无其他解法，可使学生开拓思路，提高解题能力。
总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，更不能盲目地搞题海战术，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划、有针对性地进行培养和训练：“授之以渔”——让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。
[参 考 文 献]
[1]刘云亮.教学三境界[J].林区教学，2011（9）.
[2]李松.谈谈数学解题能力的培养[J].考试周刊，2011（11）.
（责任编辑：张华伟）