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因式分解是中学数学重点内容之一，而又应用广泛，难熟练掌握分解方法.因此，要正确理解因式分解的意义，因式分解是把一个多项式表示成几个不可约多项式的连乘的过程，实质是一种恒等变形.因式分解可在有理数范围内进行，也可在无理数范围内进行，范围不同，要求也就不同.本文只重点讨论在有理数范围内进行因式分解的常用方法：
1.提取公因数
例1 把下列各式分解因式
（1）8a3b2-12ab3c+2ab （2）18b（b-a） 2-12（a-b） 3
（3）a2b（x-y）-ab（y-x）
分析：确定公因式：（1）式，系数8，12，2的最大公因数是2；字母：各项都含有的相同a，b；指数：a，b的最低次数分别是1和1，∴多项式（1）的公因式是2ab.（2）式系数：18，12的最大公因数是6； 再找出（b-a）2与（a-b）3公因式，∵（b-a）2=（a-b）2， ∴（a-b） 2是公因式，∴多项式（2）的公因式是6（a-b） 2.（3）求字母：各项都含有的相同字母是a，b；指数：a，b的最低次数分别是1，1.再找出（x-y）与（y-x）的公式，∵x-y=-（y-x），∵（x-y）2就是公因式，∴多项式（3）的公因式是ab（x-y）.提出公因式后，再就用原多项式除以公因式，所得的商就是括号中的各项.
解：（1）原式=2ab（4a2b-6b2+1）
（2）原式=18b （a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2[3b-2（a-b）]=b（a-b）2（5b-2a）.
（3）原式=a2b（x-y）+ab（x-y）=ab（x-y）（a+1）.
以上分解因式的方法叫做提取公因式法.此法要求有三：其一，系数：提出各项系数绝对值的最大公因数；其二，字母：取各项都含有的相同字母；其三，指数：取相同字母的最低次数.注：提公因式法分解因式，实质上是单项式乘多项式的逆运算.
2.运用公式法
例2 把下列各式分解因式
（1） a2-b2-12b-116
（2） 4a-1-4a2+b2，
（3）4a2-b2-16c2+9a2-8bc-12aa′
分析：（1）式经观察发现后面的三项括起来提出-1后，括号内控三项满足完全平方公式，运用完全平方公式分解，再把b+14看作一个整体，把它整体地看成一个字母，即公式中的“b”，这就是整体思想，则整个式子就满足平方差公式了，运用平方差公式分解.（2）式，发现前面三项括起来提出-1后，括号的式子满足完全平方公式，用完全平方公式分解，再把1-2a看作公式中的“b”，这时，整个式子满足平方差公式，再用平方差公式分解.（3）式经观察发现第一项，第六项，第四项结合在一起括起来；第二项，第五项，第三项结合一起提出-1后，都满足完全平方公式，运用完全平方公式分解，再把2a-3a，b+4c分别看成平方差公式中的“a”和“b”套平方差公式分解.
（1）原式=a2-（b2+12b+116）=a2-（b+14）2=（a+b+14）（a-b-14）
（2原式=b2-（1-4a+4a2）=b2-（1-2a） 2=（b+1-2a）（b-1+2a）
（3）原式=（4a2-12ad+9a2）-（b2+8bc+16c2）=（2a-3d+b+4c）（2a-3d-b-4c）
以上分解因式的方法叫做公式法，都是先经观察发现哪些项结合在一起，变挨符号后，就满足某个公式了，再运用公式分解，每分解完一步，再观察下一步采用的方法，结果要使每个因式不能再分解为止.运用公式分解时，要注意公式的特点和结构（特别是左端），完全平方公式左边有三项，首末两项是两数平方和，中间项是两数积的两倍，左边是两数和（或差）的平方，平方差公式左端是平方差，可用下模式△2-□2=（△+□）（△-□）.式子中的“△”“□”既可表单项式（包括数），又可表多项式.完全平方公式也可类似地运用模式帮助理解.
3.分组分解法
3.1 根据系数比分组
例3 把下列程式分解因式
（1）x3+3x2y -3xy2-9y3 （2）4x3+8x2-x-2
分析：上面二个多项式的特点：①各项没有公因式可提，②也不能直接运用公式分解，③前两项系数的比等于后两项系数的比.因此，运用加法的结合律分组再行分解.（1）式，一、二项分成一组可提出x2，三、四两项分成另一组可提出-3y2.（4）式也是根据系数的比来分组的.
解：（1）原式=（x3+3x2y）-（3xy2+9y3）=x2（x+3y）-3y2（x+3y）=（x+3y）（x2-3y2）.（若要求在实数的范围内分解时，则原式=（x+3y）（x+3y）（x-3y）.（2）原式=（4x3+8x2）-（x+2）=4x2（x+2）-（x+2）=（x+2）（4x-1）=（x+2）（2x+1）（2x-1）.
3.2 先展开再重新组合分组
例4 把下列各式分解因式
（1）xy（a2+b2）-ab（x2+y2）.
（2）ab（a-b）+bc（b-c）+ac（c-a）
分解：两多项式不能直接提取公因式，又不能运用公式分解，所以，只有考虑先展开后再分组合来分解.
解：（1）原式=a2xy+b2xy-abx2-aby2=（a2xy-abx2）-（aby2-b2xy）=ax（ay-bx）-by（ay-bx）=（ay-bx）（ax-by）.
（2）原式=ab（a-b）+b2c-bc2+c2a-ca2=ab（a-b）-（ca2-cb2）+（c2a-c2b）=ab（a-b）-c（a+b）（a-b）=（a-b）[ab-c（a+b）+c2]=（a-b）（c-a）（c-b）. 3.3 拆项、添项后再分组
例5 用拆项法把多项式x3+3x2+3x-7分解因式
解：把-7拆成1和-8（或拆成-1，-3，-3），再用公式分解（或提取公因式分解）.原式=（x3+3x2+3x+1）-8=（x+1）3-23=[（x+1）-2][（x+1）2+2（x+1）+4]=（x-1）（x2+4x+7）
例6 用添项法把多项式4x4+1分解因式.
解：添上4x2和-4x2这样的项后再分组分解.
原式=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2=（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）
注：拆项、添项的中心思想就是凑，凑是变形的一种重要技巧.在解题时按照预定的解题方法向对问题中的式子或图形，通过拆项（或分解）和添项（即补项）的手段进行凑合后的式子或图形.便于套用某种公式，能够用上题设条件或出现结论的形式等.从而使问题得到解决，这种解题方法，称为拆项和添项法.在代数、三角中的因式分解、解方程、特殊数列求和、利用二次函数求极限值及用数学归纳法证题等许多问题，都经常遇到拆项和添项法.
3.4 根据字母的次数分组
例7 把a2-2ab+b2-6b+5分解因式.
分析：前三项都是二次项且满足完全平方公式，分成一组，第四、五项都是一次项分成另一组，可提出-6，常数项为一组，这时，借助画十字交叉列图试探分解.
解：原式=（a2-2ab+b2）-（6a-6b）+6（a-b）+5=（a-b）2-6（a-b）+5
列图试探
∴原式=（a-b-1）（a-b-5）.
3.5 先按主元整理后再分组
例8 把x4-3x3+x2y+2x2-xy分解因式.
解：经观察以y为主元整理，得
原式=（x2y-xy）+（x2-3x3+2x2）=y（x2-x）+x2（x2-3x+2）=x（x-1）（x2-2x+y）.
分组，是运用加法的交换律、结合律，合理选择分组，分组后要能继续运用提取公因式法、公式法进行分解，最后达到因式分解的要求，这种方法叫分组分解法.
4.二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的几种常用因式分解法
4.1 十字相乘法.
例9 把2xn+2-4xn-6xn-2分解因式.
分析：系数2，4，6的最大公因数是2；各项都含有相同字母x；且x的指数的最低次数是（n-2），∴有公因式2xn-2，提出公因式后，括号内最高项的系数就是为1了，再借助十字交叉线计划探分解.
解：原式=2xn-2（x4-2x2-3）
列图试探
∴原式=2xn-2（x2-3）（x2+1）（若要在实数范围内分解时，则原式=2xn-2（x+3）（x-3）（x2+1）.
注：当a=1时，用公式x2+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）分解
（常数项q分解成两个数a，b；且使a？b=q， a+b=p.
例10 把多项式15a2+7ab-4b2分解因式.
分析：把原式视为是a的二次三项式（或关于b的二次三项式），再画十字交叉线试探分解.
解：列图试探：
∴原式=（3a-b）（5a+4b）.
注：当a≠1时，用公式ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）分解，（把a分解成a1，a2，使a=a1？a2，把c分解成c1，c2，使c=c1？c2，a1，a2，c1，c2，解析如下：
按斜交叉相乘的积的和为a1c2+a2c1=b，正好等于中间一项的一次项的系数.
例11 把下列各式分解因式.
（1）4x2-4xy-3y2+6x+11y-10. （2）2x2-5xy+2y2-ax-ay-a2.
分析：（1）式和（2）式视为二次三项ax2+bx+c（a≠0）的二次项有三项，一次项有两项，未知数有两个的特殊情形，直接三次用斜线交叉相乘试探分解.
解：（1）列图试探
∴原式=（2x+y-2）（2x-3y+5）
（2）列图试探：
∴原式=（2x-y+a）（x-2y-a）
以上借助画十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫做“十字相乘法“.分解因数（或因式）及十字相乘都有多种可能的情况，所以往往经经过多次试探 才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
4.2 快速分解定理.对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果能在a，c的积中找到两个因数m，n，使得m+n=b（x的系数），那么ax2+bx+c=（ax+m）（ax+n）a.
例12 把下列各式分解因式
（1）2x2+x-3 （2）6x2+23x+21（3）2x2-17x-30.
解：（1）∵2×（-3）=-6，而3+（-2）=1，
∴2x2+x-3=（2x+3）（2x-3）2=（2x+3）（x-1）.
（2）∵6×21=126=14×9，而14+9=23，
∴6x2+23x+21=（6x+14）（6x+9）6
=（3x+7）（2x+3）.
（3）∵2×（-30）=20×3而-20+3=-17
∴2x2-17x-30=（2x-20）（2x-3）2=（x-10）（2x+3）.
用定理分解，只须把二次项的系数与常数项的积分解成两数，再看这两数之和是否等于x的系数，试算时，只须口算，所以和十字相乘法比较，此法试探次数少，分解速度快. 4.3 配方法
例13 把下列各式分解因式.
（1）x2+6x-16 （2）2x2+x-3
解：（1）原式=x2+2？x？3+32-32-16=（x+3）2-52=（x+8）（x-2）
（2）原式=2（x2+12x-32）=2[x2+2？14x+（14）2-（14）2-32]=（2x+3）（x-1）.
4.4 求根法
公式ax2+bx+c（a≠0）=a（x-x1）（x-x2），先求出方程的两根，再套公式.
例14 把下列各式分解因式.
（1）4x2+8x-1. （2）2x2-8xy+5y2.
解：（1）∵4x2+8x-1=0的两个根是x1，2=-2±52，
∴4x2+8x-1=4（x--2+52）（x--2-52）=（2x+2-5）（2x+2-5）.
（2）∵关于x的二次方程的根是x1，2=4±62y，
∴2x2-8xy+5y2=2（x-4+62y）（x-4-62y）.
注：十字相乘法，配方法都可以归为用求根法来分解.
4.5 换元法
例15 把多项式（a+b-2ab）（a+b-2）+（1-ab）2分解因式.
解：先把a+b与ab分别看作两个不同的字母，用换元变形就可分解了.
设x=a+b，y=ab，则原式=（x-2y）（x-2）+（1-y）2=x2-2xy-2x+4y+1-2y+y2=（x2-2xy+y2）-2（x-y）+1=（x-y）2-2（x-y）+1=（x-y-1）2=（a+b-ab）2=（b-1）2（a-1）2.
4.6 待定系数法.恒等式定理：恒等式的两边同次项的系数相等.
例16 把下列各式分解因式.
（1）4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.
（2）k是什么数时，多项式kx2-2xy-3y2+3x-5y+2能够分解一次因式.
解：（1）∵4x2-4xy-3y2=（2x-3y）（2x+y）
令原式=（2x-3y+l）（2x+y+m）=（2x-3y）（2x+y）+（2x+y）l+（2x-3y）m+lm=4x2-4xy-3y2+2（l-3m）y+lm（其中l，m为常数），展开后利用等式的两边同次项系数相等的关系分解
2l+2m=-4
l-3m=10，
解方程组得l=1，m=3.∴原式=（2x-3y+1）（2x+y-3）
（2）∵-3y2-5y+2=（y+2）（-3y+1）.
设原式=（lx+y+2）（mx-3y+1）=lmx2+（m-3l）xy-3y2+（2m+l）x-5y+2，
应用恒等式定理得，
lm=3
m-3l=-2
2m+l=3，
解方程组得l=1，m=1，k=1.当k=1时，原多项式分解因式为：原式=（x+y+2）（x-y+1）.
注：用定理分解因式是中学数学常用的方法，其中心思想就是通过比较同次项的系数，来确定待定的系数，这种解题方法叫做待定系数法.
因式分解，是中学数学的重点内容，中考会一如既往地被列入考查内容，学习时应当予以重视.
1.提取公因数
例1 把下列各式分解因式
（1）8a3b2-12ab3c+2ab （2）18b（b-a） 2-12（a-b） 3
（3）a2b（x-y）-ab（y-x）
分析：确定公因式：（1）式，系数8，12，2的最大公因数是2；字母：各项都含有的相同a，b；指数：a，b的最低次数分别是1和1，∴多项式（1）的公因式是2ab.（2）式系数：18，12的最大公因数是6； 再找出（b-a）2与（a-b）3公因式，∵（b-a）2=（a-b）2， ∴（a-b） 2是公因式，∴多项式（2）的公因式是6（a-b） 2.（3）求字母：各项都含有的相同字母是a，b；指数：a，b的最低次数分别是1，1.再找出（x-y）与（y-x）的公式，∵x-y=-（y-x），∵（x-y）2就是公因式，∴多项式（3）的公因式是ab（x-y）.提出公因式后，再就用原多项式除以公因式，所得的商就是括号中的各项.
解：（1）原式=2ab（4a2b-6b2+1）
（2）原式=18b （a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2[3b-2（a-b）]=b（a-b）2（5b-2a）.
（3）原式=a2b（x-y）+ab（x-y）=ab（x-y）（a+1）.
以上分解因式的方法叫做提取公因式法.此法要求有三：其一，系数：提出各项系数绝对值的最大公因数；其二，字母：取各项都含有的相同字母；其三，指数：取相同字母的最低次数.注：提公因式法分解因式，实质上是单项式乘多项式的逆运算.
2.运用公式法
例2 把下列各式分解因式
（1） a2-b2-12b-116
（2） 4a-1-4a2+b2，
（3）4a2-b2-16c2+9a2-8bc-12aa′
分析：（1）式经观察发现后面的三项括起来提出-1后，括号内控三项满足完全平方公式，运用完全平方公式分解，再把b+14看作一个整体，把它整体地看成一个字母，即公式中的“b”，这就是整体思想，则整个式子就满足平方差公式了，运用平方差公式分解.（2）式，发现前面三项括起来提出-1后，括号的式子满足完全平方公式，用完全平方公式分解，再把1-2a看作公式中的“b”，这时，整个式子满足平方差公式，再用平方差公式分解.（3）式经观察发现第一项，第六项，第四项结合在一起括起来；第二项，第五项，第三项结合一起提出-1后，都满足完全平方公式，运用完全平方公式分解，再把2a-3a，b+4c分别看成平方差公式中的“a”和“b”套平方差公式分解.
（1）原式=a2-（b2+12b+116）=a2-（b+14）2=（a+b+14）（a-b-14）
（2原式=b2-（1-4a+4a2）=b2-（1-2a） 2=（b+1-2a）（b-1+2a）
（3）原式=（4a2-12ad+9a2）-（b2+8bc+16c2）=（2a-3d+b+4c）（2a-3d-b-4c）
以上分解因式的方法叫做公式法，都是先经观察发现哪些项结合在一起，变挨符号后，就满足某个公式了，再运用公式分解，每分解完一步，再观察下一步采用的方法，结果要使每个因式不能再分解为止.运用公式分解时，要注意公式的特点和结构（特别是左端），完全平方公式左边有三项，首末两项是两数平方和，中间项是两数积的两倍，左边是两数和（或差）的平方，平方差公式左端是平方差，可用下模式△2-□2=（△+□）（△-□）.式子中的“△”“□”既可表单项式（包括数），又可表多项式.完全平方公式也可类似地运用模式帮助理解.
3.分组分解法
3.1 根据系数比分组
例3 把下列程式分解因式
（1）x3+3x2y -3xy2-9y3 （2）4x3+8x2-x-2
分析：上面二个多项式的特点：①各项没有公因式可提，②也不能直接运用公式分解，③前两项系数的比等于后两项系数的比.因此，运用加法的结合律分组再行分解.（1）式，一、二项分成一组可提出x2，三、四两项分成另一组可提出-3y2.（4）式也是根据系数的比来分组的.
解：（1）原式=（x3+3x2y）-（3xy2+9y3）=x2（x+3y）-3y2（x+3y）=（x+3y）（x2-3y2）.（若要求在实数的范围内分解时，则原式=（x+3y）（x+3y）（x-3y）.（2）原式=（4x3+8x2）-（x+2）=4x2（x+2）-（x+2）=（x+2）（4x-1）=（x+2）（2x+1）（2x-1）.
3.2 先展开再重新组合分组
例4 把下列各式分解因式
（1）xy（a2+b2）-ab（x2+y2）.
（2）ab（a-b）+bc（b-c）+ac（c-a）
分解：两多项式不能直接提取公因式，又不能运用公式分解，所以，只有考虑先展开后再分组合来分解.
解：（1）原式=a2xy+b2xy-abx2-aby2=（a2xy-abx2）-（aby2-b2xy）=ax（ay-bx）-by（ay-bx）=（ay-bx）（ax-by）.
（2）原式=ab（a-b）+b2c-bc2+c2a-ca2=ab（a-b）-（ca2-cb2）+（c2a-c2b）=ab（a-b）-c（a+b）（a-b）=（a-b）[ab-c（a+b）+c2]=（a-b）（c-a）（c-b）. 3.3 拆项、添项后再分组
例5 用拆项法把多项式x3+3x2+3x-7分解因式
解：把-7拆成1和-8（或拆成-1，-3，-3），再用公式分解（或提取公因式分解）.原式=（x3+3x2+3x+1）-8=（x+1）3-23=[（x+1）-2][（x+1）2+2（x+1）+4]=（x-1）（x2+4x+7）
例6 用添项法把多项式4x4+1分解因式.
解：添上4x2和-4x2这样的项后再分组分解.
原式=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2=（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）
注：拆项、添项的中心思想就是凑，凑是变形的一种重要技巧.在解题时按照预定的解题方法向对问题中的式子或图形，通过拆项（或分解）和添项（即补项）的手段进行凑合后的式子或图形.便于套用某种公式，能够用上题设条件或出现结论的形式等.从而使问题得到解决，这种解题方法，称为拆项和添项法.在代数、三角中的因式分解、解方程、特殊数列求和、利用二次函数求极限值及用数学归纳法证题等许多问题，都经常遇到拆项和添项法.
3.4 根据字母的次数分组
例7 把a2-2ab+b2-6b+5分解因式.
分析：前三项都是二次项且满足完全平方公式，分成一组，第四、五项都是一次项分成另一组，可提出-6，常数项为一组，这时，借助画十字交叉列图试探分解.
解：原式=（a2-2ab+b2）-（6a-6b）+6（a-b）+5=（a-b）2-6（a-b）+5
列图试探
∴原式=（a-b-1）（a-b-5）.
3.5 先按主元整理后再分组
例8 把x4-3x3+x2y+2x2-xy分解因式.
解：经观察以y为主元整理，得
原式=（x2y-xy）+（x2-3x3+2x2）=y（x2-x）+x2（x2-3x+2）=x（x-1）（x2-2x+y）.
分组，是运用加法的交换律、结合律，合理选择分组，分组后要能继续运用提取公因式法、公式法进行分解，最后达到因式分解的要求，这种方法叫分组分解法.
4.二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的几种常用因式分解法
4.1 十字相乘法.
例9 把2xn+2-4xn-6xn-2分解因式.
分析：系数2，4，6的最大公因数是2；各项都含有相同字母x；且x的指数的最低次数是（n-2），∴有公因式2xn-2，提出公因式后，括号内最高项的系数就是为1了，再借助十字交叉线计划探分解.
解：原式=2xn-2（x4-2x2-3）
列图试探
∴原式=2xn-2（x2-3）（x2+1）（若要在实数范围内分解时，则原式=2xn-2（x+3）（x-3）（x2+1）.
注：当a=1时，用公式x2+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）分解
（常数项q分解成两个数a，b；且使a？b=q， a+b=p.
例10 把多项式15a2+7ab-4b2分解因式.
分析：把原式视为是a的二次三项式（或关于b的二次三项式），再画十字交叉线试探分解.
解：列图试探：
∴原式=（3a-b）（5a+4b）.
注：当a≠1时，用公式ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）分解，（把a分解成a1，a2，使a=a1？a2，把c分解成c1，c2，使c=c1？c2，a1，a2，c1，c2，解析如下：
按斜交叉相乘的积的和为a1c2+a2c1=b，正好等于中间一项的一次项的系数.
例11 把下列各式分解因式.
（1）4x2-4xy-3y2+6x+11y-10. （2）2x2-5xy+2y2-ax-ay-a2.
分析：（1）式和（2）式视为二次三项ax2+bx+c（a≠0）的二次项有三项，一次项有两项，未知数有两个的特殊情形，直接三次用斜线交叉相乘试探分解.
解：（1）列图试探
∴原式=（2x+y-2）（2x-3y+5）
（2）列图试探：
∴原式=（2x-y+a）（x-2y-a）
以上借助画十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫做“十字相乘法“.分解因数（或因式）及十字相乘都有多种可能的情况，所以往往经经过多次试探 才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
4.2 快速分解定理.对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果能在a，c的积中找到两个因数m，n，使得m+n=b（x的系数），那么ax2+bx+c=（ax+m）（ax+n）a.
例12 把下列各式分解因式
（1）2x2+x-3 （2）6x2+23x+21（3）2x2-17x-30.
解：（1）∵2×（-3）=-6，而3+（-2）=1，
∴2x2+x-3=（2x+3）（2x-3）2=（2x+3）（x-1）.
（2）∵6×21=126=14×9，而14+9=23，
∴6x2+23x+21=（6x+14）（6x+9）6
=（3x+7）（2x+3）.
（3）∵2×（-30）=20×3而-20+3=-17
∴2x2-17x-30=（2x-20）（2x-3）2=（x-10）（2x+3）.
用定理分解，只须把二次项的系数与常数项的积分解成两数，再看这两数之和是否等于x的系数，试算时，只须口算，所以和十字相乘法比较，此法试探次数少，分解速度快. 4.3 配方法
例13 把下列各式分解因式.
（1）x2+6x-16 （2）2x2+x-3
解：（1）原式=x2+2？x？3+32-32-16=（x+3）2-52=（x+8）（x-2）
（2）原式=2（x2+12x-32）=2[x2+2？14x+（14）2-（14）2-32]=（2x+3）（x-1）.
4.4 求根法
公式ax2+bx+c（a≠0）=a（x-x1）（x-x2），先求出方程的两根，再套公式.
例14 把下列各式分解因式.
（1）4x2+8x-1. （2）2x2-8xy+5y2.
解：（1）∵4x2+8x-1=0的两个根是x1，2=-2±52，
∴4x2+8x-1=4（x--2+52）（x--2-52）=（2x+2-5）（2x+2-5）.
（2）∵关于x的二次方程的根是x1，2=4±62y，
∴2x2-8xy+5y2=2（x-4+62y）（x-4-62y）.
注：十字相乘法，配方法都可以归为用求根法来分解.
4.5 换元法
例15 把多项式（a+b-2ab）（a+b-2）+（1-ab）2分解因式.
解：先把a+b与ab分别看作两个不同的字母，用换元变形就可分解了.
设x=a+b，y=ab，则原式=（x-2y）（x-2）+（1-y）2=x2-2xy-2x+4y+1-2y+y2=（x2-2xy+y2）-2（x-y）+1=（x-y）2-2（x-y）+1=（x-y-1）2=（a+b-ab）2=（b-1）2（a-1）2.
4.6 待定系数法.恒等式定理：恒等式的两边同次项的系数相等.
例16 把下列各式分解因式.
（1）4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.
（2）k是什么数时，多项式kx2-2xy-3y2+3x-5y+2能够分解一次因式.
解：（1）∵4x2-4xy-3y2=（2x-3y）（2x+y）
令原式=（2x-3y+l）（2x+y+m）=（2x-3y）（2x+y）+（2x+y）l+（2x-3y）m+lm=4x2-4xy-3y2+2（l-3m）y+lm（其中l，m为常数），展开后利用等式的两边同次项系数相等的关系分解
2l+2m=-4
l-3m=10，
解方程组得l=1，m=3.∴原式=（2x-3y+1）（2x+y-3）
（2）∵-3y2-5y+2=（y+2）（-3y+1）.
设原式=（lx+y+2）（mx-3y+1）=lmx2+（m-3l）xy-3y2+（2m+l）x-5y+2，
应用恒等式定理得，
lm=3
m-3l=-2
2m+l=3，
解方程组得l=1，m=1，k=1.当k=1时，原多项式分解因式为：原式=（x+y+2）（x-y+1）.
注：用定理分解因式是中学数学常用的方法，其中心思想就是通过比较同次项的系数，来确定待定的系数，这种解题方法叫做待定系数法.
因式分解，是中学数学的重点内容，中考会一如既往地被列入考查内容，学习时应当予以重视.