浅谈利用最小二乘法解决非线性拟合

• 作 者: 段坤杰 衡丽君
• 出 处: 理论纵横
• 发表日期: 2008年1期

　　摘要：利用最小二乘法的线性拟合原理，根据实验数据拟合出最佳回归方程，然后由相关系数判断其是否恰当，从而使得数据处理建立在统计理论的基础之上。本文详细介绍了最小二乘法的线性拟合原理和具体处理步骤，并结合一个非线性关系的典型实例给出了非线性拟合的处理思路。
　　关键词：最小二乘法；线性拟合；非线性拟合
　　
　　尽管图解法处理数据有其优点，但它是一种粗略的数据处理方法，在作图纸上人工拟合直线时有一定的主观随意性，不同的人用同一组测量数据作图可得出不同的结果，因而人工拟合的直线往往不是最佳的，而最小二乘法弥补了图解法处理数据的不足。
　　1、基本原理
　　最小二乘法基本原理是若能找到一条最佳的拟合直线，那么这条拟合直线各相应点的y值与测量点的纵坐标之差的平方和在所有拟合直线中应是最小的。最小二乘法的线性回归就是将一组符合y=a+bx关系的测量数据｛（xi、yi），i=1、2、…、n｝，根据最小二乘法基本原理，用计算的方法求出最佳回归系数a、b，同时对这种拟合的相关性做出评价。
　　2、最小二乘法线性回归的数学推导
　　设物理量y和x之间是线性关系，则可以写出函数形式：y=a+bx。为了研究的方便，假定xi、yi中只有yi有明显的测量随机误差，只要把相对来说误差较小的变量作为x即可。由于存在误差，实验点是不可能完全落到拟合直线上的。对于和某一个xi相对应的yi与回归方程y=a+bx中y值残差vi即：
　　
　　按最小二乘法原理应使
　　使其为最小值的条件是：
　　
　　a、b对应于S=∑ni=1vi2的最小值，即用最小二乘法对拟合直线所得的两个参量：截距和斜率，于是就可得到直线的最佳拟合方程。利用最小二乘法线性拟合写出拟合方程的同时，还应该判断上述线性拟合所找出的线性拟合方程是否恰当。通常用相关系数r来判别。
　　
　　相关系数r的数值大小表示相关程度的好坏。若r=±1表示变量x、y完全线性相关，拟合直线通过全部实验点；若︱r︱<1时，实验点线性不好，︱r︱越小线性越差，若r=0表示x、y完全不相关。
　　3、物理实例分析
　　下面以热敏电阻的阻值与温度的关系为例分析。
　　已知热敏电阻的阻值与温度的函数关系为：
　　
　　式中a，b为待定系数，T为热力学温度。
　　为了应用线性回归，需将（3）式两边取自然对数得：
　　　
　　通过实验测得一组不同温度下的阻值如下表所示：
　　　
　　值很接近于1，说明上述一元线性拟合所找出的线性拟合方程相当恰当，所求的经验公式比较准确。
　　4、结束语
　　在理解最小二乘法的线性拟合原理的基础上，通过数学转换把非线性关系变成线性关系，然后利用最小二乘法的线性拟合找到一个最佳拟合线性方程、进而找到准确的非线性经验公式，从而避免了主观随意性带来的较大误差，使得函数关系更接近真实值。
　　
　　参考文献：
　　［1］林抒．普通物理实验．北京：高等教育出版社，1981。
　　［2］梁华翰．大学物理实验．上海交通大学出版社，1996。
　　［3］张兆奎．大学物理实验．高等教育出版社，2001。
　　［4］孙志忠．数值分析．东南大学出版社，2001。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。