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[摘 要]在对“烙饼问题”教材编写和教学的研究与反思的基础上，进行了教材的二次開发设计，并给出了该设计在教材中的位置安排和教学目标，阐明设计的思路与意图，以及设计的优点和不足。
[关键词]烙饼问题;二次开发设计;教学目标;说明
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0013-04
一、教材的二次开发设计
周六，妈妈将和好的一块面分成体积相等的3小块，擀成了直径和厚度都相同的3张近似圆柱形的饼，想用家里唯一的圆形平底锅烙饼吃。这样的每张饼，在灶火大小一定的情况下，正面和反面各需烙3分钟和2分钟才能烙熟。妈妈在准备烙饼时发现，锅里一次放不下3张饼，最多只能同时烙2张饼，她自言自语地说道：“1张1张地烙，需要15分钟;2张一起烙，另1张单独烙，需要10分钟。这有点浪费时间和燃料，有没有更快把饼烙熟的方法呢？”你能帮帮妈妈吗？
二、教材中安排的恰当位置及原因
1.位置安排
本设计建议安排在六年级下册圆柱的内容之后，仍以“综合与实践”的内容出现。
2.原因分析
首先，此位置安排是考虑到学生已经学习了圆、扇形及圆柱的有关概念、面积和体积的计算等知识，为学生学习与探究烙饼方法奠定了知识基础。上述设计中的第二种烙饼方案，学生虽然计算不出烙饼的具体时间，但3张圆形饼相切且与锅的边缘相切的图形在人教版教材六年级上册的第66页中已经出现，甚至出现了4个圆相切的图形。
其次，此设计及位置安排更能体现“综合与实践”内容设置的要求和目标。与教材设计只涉及简单的加法或乘法，没有数学知识的综合运用相比，更有利于实现课程目标。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“（三）课程内容”中提出：“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题”，“综合与实践……，学生将综合运用‘数与代数’‘图形与几何’‘统计与概率’等知识和方法解决问题”;在总目标的“问题解决”中提出“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题”，“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。”这些要求都充分说明了“综合与实践”的内容设置应注重知识的综合运用，教材的二次开发设计就充分体现了这一点。因饼的厚度、底面面积的计算，既涉及圆、扇形的有关知识，也涉及圆柱的有关知识及体积的计算，还涉及“数与代数”和“图形与几何”两个领域的知识，真正体现了知识的综合运用和知识间的联系。
由上可见，此教材的二次开发设计的位置安排是科学的，有利于实现课程目标。
三、教学目标
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求和上述教材的二次开发设计，提出教学目标如下：
1.通过烙饼这一生活事例，使学生初步体会运筹学在解决现实问题中的作用。
2.让学生从影响烙饼快慢的主要因素出发，抓住问题的可变因素，综合运用圆、圆柱等有关知识，自主探究烙饼的方法，体验解决烙饼问题策略的多样性，培养创新意识，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学的基本活动经验，感悟优化的数学思想。
3.通过烙饼这一生活事例，让学生感受数学与生活，以及数学知识间的紧密联系，认识数学的价值，使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及综合运用数学知识分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。
四、设计说明
1.情境创设既符合实际，又给学生留下了探究的思维空间
首先，情境创设呈现了真实的家庭生活景象。一是绝大多数学生在家庭中都看到过烙饼，比较熟悉。二是饼的正面和反面各需烙3分钟和2分钟的假设，是基于饼擀出来后“这样的每张饼”提出的（而不是任意一张饼的一面都烙3分钟或2分钟），且基本符合“烙饼的反面大约需要烙正面三分之二时间”的生活事实。三是问题的提出也比较自然且符合事实。这是因为，妈妈可能由于比较忙，一时疏忽，擀成的饼不能一锅烙，从而出现一锅烙1张或2张而导致时间和燃料浪费的问题，且有点自责的自言自语，于是就有了改进烙法的想法，问题自然而然呈现了出来。
其次，暗示了影响烙饼快慢的主要因素，给学生留下了广阔的思维与探索空间。一是强调“这样的每张饼”，暗示浪费时间和燃料是由饼的大小（厚度、底面面积）或形状造成的，给学生留下了可以改变饼的大小或形状的思维空间;二是问题“有没有更快把饼烙熟的方法呢？”既没有强调饼的大小，也没有强调饼的形状，更没有说必须烙成3张饼，而是只要尽快烙熟就行，给学生留下了饼的大小、形状、张数均可变的广阔的思维空间。
最后，情境创设中还隐含了必备的前提条件。一是“唯一的圆形平底锅”说明了锅是圆形的，且没有其他锅可用，是唯一不变的;二是“灶火大小一定”。这些假设是进行探究的必要条件，若少了这些条件，学生就有可能提出用一个大锅，或把炉灶火开大的想法。
2.引导语的设计科学，不仅具有启发性，还有利于学生掌握或形成科学有序的思维方法
引导语主要用一男生想问题的方式出现，对学生具有示范效应。当然，也伴有教师的引导。
首先，男生和教师的第一条引导语，目的是启发学生遇到问题时，要从影响问题解决的主要因素和可变因素出发进行思考;抓住各种可变因素进行统筹考虑，进而提出解决问题的方案。
其次，男生的第二条引导语到第四条引导语，目的是引导学生进行科学有序的思考。当要解决的问题中可变因素较多时，所有因素一起变就不好控制，不利于、不便于确定解决问题的方案。因此，引导语就抓住“让饼的厚度变化”这一影响烙饼快慢的主要因素，对其他因素进行有效和合理的控制——让部分因素保持不变，部分因素变化。这既避免了学生的盲目探索，有利于形成科学、有条理的思维，又可让学生领悟处理复杂问题的方法——控制变量法。同时，也有利于教师对课堂的控制，进而实现教学目标。 最后，男生的第五条引导语和教师的第二条引导语，目的是促进学生比较、思考，进而认识到虽然方法多样，但要从时间、资源和实际应用角度考虑，还要优中选优，进而获得最佳的方法，有利于学生领悟统筹与优化思想。
3.探究结果的设计既具有启发性，又具有示范性
学生探究的结果用一女生回答问题的方式给出。其中，第一、四、五、六条探究结果以填空的形式出现，目的是促进学生动脑，应用所学知识解决问题。第二、三条探究结果直接展示，目的是展现思维的模式，对其他探究具有示范性，有利于学生进行其他探究和掌握思维方法。特别值得指出的是，第三条探究结果的设计没有明确的结果，只是给出了估计范围，一方面是因为学生不具备初中数学知识，算不出来;另一方面是告诉学生问题探究不一定有明确的结果，尤其在实际生活中，像烙饼这样的问题，大多数人是不会应用数学知识进行科学计算的，而是灵活应用数学思想与方法，结合估计处理问题。如，人们烙饼时不可能将其擀成圆心角为120°的扇形面饼，也不可能和第三条探究结果一样将饼变厚，而是将这两种方法结合起来，把三张饼变形后使其变薄，且尽量把锅铺满，虽然3.75分钟烙不熟，可也多用不了多少时间。这既体现了数学的应用，也避免了学生在生活中机械地应用数学知识。因为，生活中的大多数问题是不能机械套用数学知识的。这样的设计，有利于学生形成对数学应用的科学认识，能有效避免数学无用论的传播 。
（第一、四、五、六条探究结果填空答案如下：
一、厚度，厚，薄，面积，厚度、底面的面积、形状、张数;
4.烙饼的方法具有开放性，有利于学生形成创新意识，感悟统筹与优化思想方法
教材二次开发设计中的烙饼方法具有开放性，这充分体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标的“问题解决”中提出的，要使学生“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求，也符合前面教学目标的要求。这有利于课程目标及教学目标的实现。
设计抓住了“饼的厚度”这一影响烙饼快慢的主要因素，以及厚度、形状、张数等可变因素，从数量和形状两方面体现了运筹学的实质。烙饼方法的开放性、多样性，为方法的比较，进而优中选优提供了前提条件，有利于学生对优化方法的领会与理解，有利于学生对统筹与优化思想方法的领悟与掌握。这一点最后用教师小结的形式总结了出来，不仅达到了理论的升华，还借助成语说明了运筹学来源于实践及应用的广泛性和重要性。
5.“想一想”的设计有利于学生体会、认识和灵活应用数学知识
“想一想”不只是让学生探讨其他烙饼方法。其中，不一定计算出具体的烙饼时间的提醒，是为了让学生灵活应用数学知識与思想方法，并与实际相结合（如给出将第二、三种方法结合起来的烙法），避免机械地套用数学知识与方法，形成对数学应用的科学认识。
6.设计的不足
首先，虽然六年级的学生具有较强的阅读能力，但设计的文字叙述较多。依据学生的阅读能力，按理问题不大。因为，人教版教材六年级下册不少内容的文字叙述都有几百字。如负数、税率、利率的介绍等都达到两三百字;绿色出行从介绍到提出问题有近五百字;就是一个练习题有的也达一两百字，如第83页的第13题。
其次，与原设计相比，教材二次开发探究注重的是知识的综合运用和动脑的设计，以及大脑的思维探索。虽然需要动手进行计算，但单纯的动手操作设计太少。
第三，此教材二次开发设计，青岛新区香江路第一小学的刘慧老师已给六年级一个班的学生讲授过，绝大多数学生能够接受，但缺乏大面积的实验，故教学效果如何还需要实验验证。
最后，考虑到篇幅，没有设计有关练习。教学时可适当配一些相关练习题。
需指出的是，情境创设利用了人教版教材四年级上册的截图。
【本文系滨州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学数学‘综合与实践’领域教材编写与优化研究——以人教版第二学段数学教材为例”（BJK13520-109）成果之一。】
（责编 金 铃）
[关键词]烙饼问题;二次开发设计;教学目标;说明
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0013-04
一、教材的二次开发设计
周六，妈妈将和好的一块面分成体积相等的3小块，擀成了直径和厚度都相同的3张近似圆柱形的饼，想用家里唯一的圆形平底锅烙饼吃。这样的每张饼，在灶火大小一定的情况下，正面和反面各需烙3分钟和2分钟才能烙熟。妈妈在准备烙饼时发现，锅里一次放不下3张饼，最多只能同时烙2张饼，她自言自语地说道：“1张1张地烙，需要15分钟;2张一起烙，另1张单独烙，需要10分钟。这有点浪费时间和燃料，有没有更快把饼烙熟的方法呢？”你能帮帮妈妈吗？
二、教材中安排的恰当位置及原因
1.位置安排
本设计建议安排在六年级下册圆柱的内容之后，仍以“综合与实践”的内容出现。
2.原因分析
首先，此位置安排是考虑到学生已经学习了圆、扇形及圆柱的有关概念、面积和体积的计算等知识，为学生学习与探究烙饼方法奠定了知识基础。上述设计中的第二种烙饼方案，学生虽然计算不出烙饼的具体时间，但3张圆形饼相切且与锅的边缘相切的图形在人教版教材六年级上册的第66页中已经出现，甚至出现了4个圆相切的图形。
其次，此设计及位置安排更能体现“综合与实践”内容设置的要求和目标。与教材设计只涉及简单的加法或乘法，没有数学知识的综合运用相比，更有利于实现课程目标。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“（三）课程内容”中提出：“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题”，“综合与实践……，学生将综合运用‘数与代数’‘图形与几何’‘统计与概率’等知识和方法解决问题”;在总目标的“问题解决”中提出“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题”，“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。”这些要求都充分说明了“综合与实践”的内容设置应注重知识的综合运用，教材的二次开发设计就充分体现了这一点。因饼的厚度、底面面积的计算，既涉及圆、扇形的有关知识，也涉及圆柱的有关知识及体积的计算，还涉及“数与代数”和“图形与几何”两个领域的知识，真正体现了知识的综合运用和知识间的联系。
由上可见，此教材的二次开发设计的位置安排是科学的，有利于实现课程目标。
三、教学目标
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求和上述教材的二次开发设计，提出教学目标如下：
1.通过烙饼这一生活事例，使学生初步体会运筹学在解决现实问题中的作用。
2.让学生从影响烙饼快慢的主要因素出发，抓住问题的可变因素，综合运用圆、圆柱等有关知识，自主探究烙饼的方法，体验解决烙饼问题策略的多样性，培养创新意识，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学的基本活动经验，感悟优化的数学思想。
3.通过烙饼这一生活事例，让学生感受数学与生活，以及数学知识间的紧密联系，认识数学的价值，使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及综合运用数学知识分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。
四、设计说明
1.情境创设既符合实际，又给学生留下了探究的思维空间
首先，情境创设呈现了真实的家庭生活景象。一是绝大多数学生在家庭中都看到过烙饼，比较熟悉。二是饼的正面和反面各需烙3分钟和2分钟的假设，是基于饼擀出来后“这样的每张饼”提出的（而不是任意一张饼的一面都烙3分钟或2分钟），且基本符合“烙饼的反面大约需要烙正面三分之二时间”的生活事实。三是问题的提出也比较自然且符合事实。这是因为，妈妈可能由于比较忙，一时疏忽，擀成的饼不能一锅烙，从而出现一锅烙1张或2张而导致时间和燃料浪费的问题，且有点自责的自言自语，于是就有了改进烙法的想法，问题自然而然呈现了出来。
其次，暗示了影响烙饼快慢的主要因素，给学生留下了广阔的思维与探索空间。一是强调“这样的每张饼”，暗示浪费时间和燃料是由饼的大小（厚度、底面面积）或形状造成的，给学生留下了可以改变饼的大小或形状的思维空间;二是问题“有没有更快把饼烙熟的方法呢？”既没有强调饼的大小，也没有强调饼的形状，更没有说必须烙成3张饼，而是只要尽快烙熟就行，给学生留下了饼的大小、形状、张数均可变的广阔的思维空间。
最后，情境创设中还隐含了必备的前提条件。一是“唯一的圆形平底锅”说明了锅是圆形的，且没有其他锅可用，是唯一不变的;二是“灶火大小一定”。这些假设是进行探究的必要条件，若少了这些条件，学生就有可能提出用一个大锅，或把炉灶火开大的想法。
2.引导语的设计科学，不仅具有启发性，还有利于学生掌握或形成科学有序的思维方法
引导语主要用一男生想问题的方式出现，对学生具有示范效应。当然，也伴有教师的引导。
首先，男生和教师的第一条引导语，目的是启发学生遇到问题时，要从影响问题解决的主要因素和可变因素出发进行思考;抓住各种可变因素进行统筹考虑，进而提出解决问题的方案。
其次，男生的第二条引导语到第四条引导语，目的是引导学生进行科学有序的思考。当要解决的问题中可变因素较多时，所有因素一起变就不好控制，不利于、不便于确定解决问题的方案。因此，引导语就抓住“让饼的厚度变化”这一影响烙饼快慢的主要因素，对其他因素进行有效和合理的控制——让部分因素保持不变，部分因素变化。这既避免了学生的盲目探索，有利于形成科学、有条理的思维，又可让学生领悟处理复杂问题的方法——控制变量法。同时，也有利于教师对课堂的控制，进而实现教学目标。 最后，男生的第五条引导语和教师的第二条引导语，目的是促进学生比较、思考，进而认识到虽然方法多样，但要从时间、资源和实际应用角度考虑，还要优中选优，进而获得最佳的方法，有利于学生领悟统筹与优化思想。
3.探究结果的设计既具有启发性，又具有示范性
学生探究的结果用一女生回答问题的方式给出。其中，第一、四、五、六条探究结果以填空的形式出现，目的是促进学生动脑，应用所学知识解决问题。第二、三条探究结果直接展示，目的是展现思维的模式，对其他探究具有示范性，有利于学生进行其他探究和掌握思维方法。特别值得指出的是，第三条探究结果的设计没有明确的结果，只是给出了估计范围，一方面是因为学生不具备初中数学知识，算不出来;另一方面是告诉学生问题探究不一定有明确的结果，尤其在实际生活中，像烙饼这样的问题，大多数人是不会应用数学知识进行科学计算的，而是灵活应用数学思想与方法，结合估计处理问题。如，人们烙饼时不可能将其擀成圆心角为120°的扇形面饼，也不可能和第三条探究结果一样将饼变厚，而是将这两种方法结合起来，把三张饼变形后使其变薄，且尽量把锅铺满，虽然3.75分钟烙不熟，可也多用不了多少时间。这既体现了数学的应用，也避免了学生在生活中机械地应用数学知识。因为，生活中的大多数问题是不能机械套用数学知识的。这样的设计，有利于学生形成对数学应用的科学认识，能有效避免数学无用论的传播 。
（第一、四、五、六条探究结果填空答案如下：
一、厚度，厚，薄，面积，厚度、底面的面积、形状、张数;
4.烙饼的方法具有开放性，有利于学生形成创新意识，感悟统筹与优化思想方法
教材二次开发设计中的烙饼方法具有开放性，这充分体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标的“问题解决”中提出的，要使学生“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求，也符合前面教学目标的要求。这有利于课程目标及教学目标的实现。
设计抓住了“饼的厚度”这一影响烙饼快慢的主要因素，以及厚度、形状、张数等可变因素，从数量和形状两方面体现了运筹学的实质。烙饼方法的开放性、多样性，为方法的比较，进而优中选优提供了前提条件，有利于学生对优化方法的领会与理解，有利于学生对统筹与优化思想方法的领悟与掌握。这一点最后用教师小结的形式总结了出来，不仅达到了理论的升华，还借助成语说明了运筹学来源于实践及应用的广泛性和重要性。
5.“想一想”的设计有利于学生体会、认识和灵活应用数学知识
“想一想”不只是让学生探讨其他烙饼方法。其中，不一定计算出具体的烙饼时间的提醒，是为了让学生灵活应用数学知識与思想方法，并与实际相结合（如给出将第二、三种方法结合起来的烙法），避免机械地套用数学知识与方法，形成对数学应用的科学认识。
6.设计的不足
首先，虽然六年级的学生具有较强的阅读能力，但设计的文字叙述较多。依据学生的阅读能力，按理问题不大。因为，人教版教材六年级下册不少内容的文字叙述都有几百字。如负数、税率、利率的介绍等都达到两三百字;绿色出行从介绍到提出问题有近五百字;就是一个练习题有的也达一两百字，如第83页的第13题。
其次，与原设计相比，教材二次开发探究注重的是知识的综合运用和动脑的设计，以及大脑的思维探索。虽然需要动手进行计算，但单纯的动手操作设计太少。
第三，此教材二次开发设计，青岛新区香江路第一小学的刘慧老师已给六年级一个班的学生讲授过，绝大多数学生能够接受，但缺乏大面积的实验，故教学效果如何还需要实验验证。
最后，考虑到篇幅，没有设计有关练习。教学时可适当配一些相关练习题。
需指出的是，情境创设利用了人教版教材四年级上册的截图。
【本文系滨州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学数学‘综合与实践’领域教材编写与优化研究——以人教版第二学段数学教材为例”（BJK13520-109）成果之一。】
（责编 金 铃）