论文部分内容阅读
一、题型与考点
（1）{_极坐标与直角坐标的互相转化^极坐标与普通方程的互相转化 ┤ （2）{_参数方程与直角坐标方程互化^参数方程与普通方程互化 ┤
（3）{_参数方程的几何意义^利用参数方程求值域 ┤
二、解题方法及步骤
（1）参数方程与普通方程的互化。化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f（t）（或y=g（t），再代入普通方程F（x，y）=0，求得另一关系y=g（t）（或x=f（t））.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
例1：方程{（x=2^t-2^（-t）@y=2^t+2^（-t） ）┤（t为参数）表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2^tt与2^（-t）互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，x^2-y^2=（2^t-2^（-t） ）^2-（2^t+2^（-t） ）^2=-4，即有y^2-x^2=4，又注意到2^t>0，2^t+2^（-t）≥2√（2^t?2^（-t） ）=2，即y≥2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y^2-x^2=4（y≥2）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B。
（2）极坐标与直角坐标的互化。利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则{（x=ρcosθ@y=ρsinθ）┤或{（ρ^2=x^2+y^2@tgθ=y/x）┤；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2：极坐标方程4ρ?sin^2 θ/2=5表示的曲线是（ ）
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由4ρ?sin^2 θ/2=4ρ?（1-cosθ）/2=2ρ-2ρcosθ=5，化为直角坐标系方程为2√（x^2+y^2 ）-2x=5，化简得y^2=5x+25/4.显然该方程表示抛物线，故选D.
（3）参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线C_1的参数方程为{（x=-2+√10 cosθ@y=√10 sinθ）┤（θ为参数），曲线C_2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.（1）将曲线C_1的参数方程化为普通方程，将曲线C_2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C_1，C_2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由。
解：（1）由{（x=-2+√10 cosθ@y=√10 sinθ）┤得〖（x+2）〗^2+y^2=10，∴曲线C_1的普通方程为〖（x+2）〗^2+y^2=10，∵ρ=2cosθ+6sinθ，∴ρ^2=2ρcosθ+6ρsinθ。∵ρ^2=x^2+y^2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x^2+y^2=2x+6y，即〖（x-1）〗^2+〖（y-3）〗^2=10，∴曲线C_2的直角坐标方程为〖（x-1）〗^2+〖（y-3）〗^2=10.
（2）∵圆C_1的圆心为（-2，0），圆C_2的圆心为（1，3），∴|C_1 C_2 |=√（〖（-2-1）〗^2+〖（0-3）〗^2 ）=3√2<2√10，∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C_1 C_2，∴〖（d/2）〗^2+〖（（3√2）/2）〗^2=〖（√10）〗^2，∴d=√22，∴公共弦长为√22。
（4）利用参数方程求值域
例题4：在曲线C_1：{（x=1+cosθ@y=sinθ）（θ为参数）┤上求一点，使它到直线C_2：{（x=-2√2+1/2 t@y=1-1/2 t）┤（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
解：直线C2化成普通方程是x+y-2√2-1=0，设所求的点为P（1+cosθ，sinθ），则C到直线C2的距离d=（|1+cosθ+sinθ+2√2-1|）/√2=|sin（θ+π/4）+2|，当θ+π/4=3π/2时，即θ=5π/4时，d取最小值1。此时，点P的坐标是（1-√2/2，-√2/2）
（5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5：已知直线l经过点P（1，1），倾斜角a=π/6，①写出直线l的参数方程；②设l与圆x^2+y^2=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。
解（1）直线的参数方程为{（x=1+tcos π/6@y=1+tsin π/6）┤，即{（x=1+√3/2 t@y=1+1/2 t）┤
（2）把直线{（x=1+√3/2 t@y=1+1/2 t）┤代入x^2+y^2=4，得〖（1+√3/2 t）〗^2+〖（1+1/2 t）〗^2=4，t^2+（√3+1）t-2=0，t_1 t_2=-2，則点P到A，B两点的距离之积为2.
（1）{_极坐标与直角坐标的互相转化^极坐标与普通方程的互相转化 ┤ （2）{_参数方程与直角坐标方程互化^参数方程与普通方程互化 ┤
（3）{_参数方程的几何意义^利用参数方程求值域 ┤
二、解题方法及步骤
（1）参数方程与普通方程的互化。化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f（t）（或y=g（t），再代入普通方程F（x，y）=0，求得另一关系y=g（t）（或x=f（t））.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
例1：方程{（x=2^t-2^（-t）@y=2^t+2^（-t） ）┤（t为参数）表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2^tt与2^（-t）互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，x^2-y^2=（2^t-2^（-t） ）^2-（2^t+2^（-t） ）^2=-4，即有y^2-x^2=4，又注意到2^t>0，2^t+2^（-t）≥2√（2^t?2^（-t） ）=2，即y≥2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y^2-x^2=4（y≥2）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B。
（2）极坐标与直角坐标的互化。利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则{（x=ρcosθ@y=ρsinθ）┤或{（ρ^2=x^2+y^2@tgθ=y/x）┤；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2：极坐标方程4ρ?sin^2 θ/2=5表示的曲线是（ ）
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由4ρ?sin^2 θ/2=4ρ?（1-cosθ）/2=2ρ-2ρcosθ=5，化为直角坐标系方程为2√（x^2+y^2 ）-2x=5，化简得y^2=5x+25/4.显然该方程表示抛物线，故选D.
（3）参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线C_1的参数方程为{（x=-2+√10 cosθ@y=√10 sinθ）┤（θ为参数），曲线C_2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.（1）将曲线C_1的参数方程化为普通方程，将曲线C_2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C_1，C_2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由。
解：（1）由{（x=-2+√10 cosθ@y=√10 sinθ）┤得〖（x+2）〗^2+y^2=10，∴曲线C_1的普通方程为〖（x+2）〗^2+y^2=10，∵ρ=2cosθ+6sinθ，∴ρ^2=2ρcosθ+6ρsinθ。∵ρ^2=x^2+y^2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x^2+y^2=2x+6y，即〖（x-1）〗^2+〖（y-3）〗^2=10，∴曲线C_2的直角坐标方程为〖（x-1）〗^2+〖（y-3）〗^2=10.
（2）∵圆C_1的圆心为（-2，0），圆C_2的圆心为（1，3），∴|C_1 C_2 |=√（〖（-2-1）〗^2+〖（0-3）〗^2 ）=3√2<2√10，∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C_1 C_2，∴〖（d/2）〗^2+〖（（3√2）/2）〗^2=〖（√10）〗^2，∴d=√22，∴公共弦长为√22。
（4）利用参数方程求值域
例题4：在曲线C_1：{（x=1+cosθ@y=sinθ）（θ为参数）┤上求一点，使它到直线C_2：{（x=-2√2+1/2 t@y=1-1/2 t）┤（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
解：直线C2化成普通方程是x+y-2√2-1=0，设所求的点为P（1+cosθ，sinθ），则C到直线C2的距离d=（|1+cosθ+sinθ+2√2-1|）/√2=|sin（θ+π/4）+2|，当θ+π/4=3π/2时，即θ=5π/4时，d取最小值1。此时，点P的坐标是（1-√2/2，-√2/2）
（5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5：已知直线l经过点P（1，1），倾斜角a=π/6，①写出直线l的参数方程；②设l与圆x^2+y^2=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。
解（1）直线的参数方程为{（x=1+tcos π/6@y=1+tsin π/6）┤，即{（x=1+√3/2 t@y=1+1/2 t）┤
（2）把直线{（x=1+√3/2 t@y=1+1/2 t）┤代入x^2+y^2=4，得〖（1+√3/2 t）〗^2+〖（1+1/2 t）〗^2=4，t^2+（√3+1）t-2=0，t_1 t_2=-2，則点P到A，B两点的距离之积为2.