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在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而f(x)= x2-6x+6
二、二次函数的单调性,最值与图象
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而f(x)= x2-6x+6
二、二次函数的单调性,最值与图象