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很多时候，学生的课堂生成与教师的预设发生矛盾，往往是由于学生存在着概念空隙与认知盲点所引起。换句话说，课堂中，师生需要通过最近发展区的互动，将新知同化到自己已有的知识结构中去，或将原有的知识结构进行重新组合，旧知顺应新知，才能达成数学实现。
一、寻找逻辑与概念间的空隙
【教学片段1】感知一亿。
师：同学们，刚才的故事中提到了一亿粒米，（板书：100000000）一亿，看到这个数你有什么感觉？你能描述一下一亿有多大吗？
生：1亿相当于10个一千万。
生：1亿相当于100个一百万。
生：1亿就是100000000个一。
师：看来大家对一亿已经有些了解了，那同学们猜一猜，数一亿粒大米可能需要多长时间？
生：30分钟。
生：也许3个小时。
生：我想可能需要3天吧。
【赏析】
柯老师的问题一经提出，学生便接力赛似的答着：“一亿相当于10个一千万。”“一亿相当于100个一百万。”“一亿就是100000000个一。”似乎学生对一亿的大小挺有感觉，可当柯老师接着询问：“同学们猜一猜，数一亿粒大米可能需要多长时间？”学生对一亿的“无知”，一下便暴露了。原来，学生不会把数学知识拉到自己身边，一亿的“逻辑”与一亿的“概念”便产生了空隙。
儿童的概念主要经历三个阶段：一是抽象化阶段，儿童对有关对象确认出某种属性；二是类化阶段，儿童对这些属性进一步抽象，只考虑属性的相似性，忽略其他属性的差异性；三是辨别阶段，儿童不仅认同共同属性，同时还能区分不同属性，初步形成分类能力。为了填补“一亿多大”的“概念空隙”，帮助学生一步步丰盈表征，使得抽象的数字形象化，形象的情景抽象化，终而识别“一亿多大”。所以在接下来的课堂教学中，柯老师组织下列活动便成了必然：第一步，数100粒大米，再根据数100粒大米用的时间，推算出数一亿粒大米要多久；如“教学片段2”。第二步，转化数一亿粒大米的秒数为天数、年数，如“教学片段3”。第三步，先称出100粒大米有多重，再推算出一亿粒大米的重量。以及第四步，课堂现场捕捉学生“数一亿”的素材，开展“数一亿本数学书有多厚”“数一亿枚硬币叠起来有多厚”“一亿个同学手拉手有多长”等研究。
二、顺应已知与新知间的落差
【教学片段2】聚焦于数。
师：老师欣赏你们的大胆猜测，不过这样的猜测缺乏依据。那我们有什么办法能比较确切地知道数一亿粒大米要多长时间呢？
生：数一数并计时。
师：不错，实践出真知。不过根据同学们刚才的猜测，数一亿粒米需要的时间可不少啊！那我们这节课都用来数大米吗？
学生摇头。
师：是的，这可不行啊，那我们该怎么数呢？
生：先看看数100粒大米要多长时间，再根据数100粒大米用的时间，推算出数一亿粒大米要多久。
师：哦，推算，听上去是个好方法，你准备怎么推算？
生：知道了数100粒米的时间，就可以先推算出数1000粒米的时间，再推算出数10000粒……10000000粒米的时间，最后推算出数一亿粒米的时间。
【赏析】
学生并非带着空空的脑袋走进课堂，即使将要学习的内容他们闻所未闻，但在问题解决的过程中，总有过去的解题方法、数学经验、思维策略等，悄然影响着新课的学习。建构主义指出：对数学问题的理解，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程。
学生的这些数学现实是继续学习的基点，但也是继续学习的障碍。学生在日常生活中，有过在一个单位时间里数多少东西的经验，于是四年级的学生自然会生出这样的思考路径：“可以先看1分钟数多少粒大米，然后再算数1亿粒大米需要多少时间。”这种思维不但不是本节课将要学习的知识点，反而干扰了学生对新方法的习得。本节课的主旨应是掌握“先数100粒米，利用数100粒米的时间推算出数100000000粒米的时间。”其实在教学前测与第一次磨课中，学生的第一反应都是前述思维策略，可见，教材的主旨思维是学生的盲点。
因此，教学中，柯老师针对“怎么帮助学生快速联想到先数100粒米”这一数学现实中的盲点，着力组织了两个问题：“数一亿粒米需要的时间可不少啊！那我们这节课都用来数大米吗？”和“那我们该怎么数呢？”这样把思维的重心聚焦在“怎么数”上，而不是算时间来完成题目，于是学生的正确推理得以实现。“教学片段3”的教学也就从“实然”状态趋向了“应然”结果。
【教学片段3】推理。
师：依我们班数得最快的速度计算，数1000粒大米要480秒，怎么想的？
生：1000粒是10个100粒，也就是要数10个48秒。
师：照这样推算，（板书：推算）数10000粒呢？
生：4800秒。
师：好，剩下的请同学来推算，谁的小手举得最快，老师就喊谁回答。
生1：48000秒。
生2：480000秒。
生3：4800000秒。
生4：48000000秒。
教师依次板书学生反馈的时间。
师：原来数一亿粒大米要48000000秒！刚才这位同学猜测数一亿粒大米可能需要3天，那我们就来计算一下数一亿粒大米到底要多少天？
生5：先把秒变成分，再把分变成时，接着把时变成天。
生6：48000000÷60=800000分。
生7：60分钟就是1小时，看800000分里有多少个60分，就是800000÷60约等于13333时。
生8：因为一天有24小时，13333÷24约等于556天。
师：556天大约是多少年？
生：差不多1年半。
师：原来照刚才那样的速度，数一亿粒大米不吃不睡大约要1年半啊！同学们，现在想一想老师能给大家带来一亿粒大米吗？为什么？谁愿意帮老师做一下解释？
三、搭建空隙与盲点间的脚手架
苏联教育家维果茨基提出的最近发展区理论，为数学教师的问题设计提供了路径：启发时，我们问得太难，学生会感到局促茫然；问得简单，则又挫伤了学生挑战的欲望。其实，课堂中我们也时常发现，如果一节课顺风顺水，学生不费吹灰之力就解决了所有的课堂问题，貌似掌握了课堂知识，实质上这节课的教学对于学生思维品质的提升几乎没有帮助。只有一路磕磕绊绊，看似全明白了，但一深究，却漏洞百出，学生再千方百计自圆其说或者自我否定，才能收获真正的成长。
比照理论，回头审视“教学片段3”的教学过程，柯老师提供的“脚手架”具有空间弹性，加之让学生对比自己本有的“30分钟”“3个小时”“3个月”的原始起点，使得学生对真实的答案应该是多少产生好奇。
其实，在日常教学中，也不乏教师待学生推算出“数一亿粒米需要大约48000000秒”后，会立即提出问题：“48000000秒等于多少分钟？”随后紧接着提问：“800000分等于多少时？”“13333时等于多少天？”
两种教法，做了同样数量的题目，学生思维的发展却不一样。让学生计算“48000000秒等于多少分钟？”“800000分等于多少时？”“13333时等于多少天？”之类连串的问题，学生能顺势一下子列出算式，但是“脚手架”过于短促，思维的空间就狭窄。而柯老师提出的“想不想计算一下数一亿粒大米到底要多少天？”学生不能一下子列出一个具体的算式，要想解决这个问题，学生就得自己搭建一些辅助的“脚手架”，思维的空间便能得以延展。这样的好处无疑是学生通过教师的组织，实现了基尔帕特里克的教学愿景：“问题并不是由别人给你的，因为，你必须构建出你自己的问题。”
综上所述，教学中通过探寻学生的数学起点，及时捕捉学生的概念空隙与认知盲点，组织具备一定弹性空间的脚手架，引领学生看见思维的阳光，方是教师角色作为。
（作者单位：江苏省苏州市阳山实验小学校 责任编辑：王彬）
一、寻找逻辑与概念间的空隙
【教学片段1】感知一亿。
师：同学们，刚才的故事中提到了一亿粒米，（板书：100000000）一亿，看到这个数你有什么感觉？你能描述一下一亿有多大吗？
生：1亿相当于10个一千万。
生：1亿相当于100个一百万。
生：1亿就是100000000个一。
师：看来大家对一亿已经有些了解了，那同学们猜一猜，数一亿粒大米可能需要多长时间？
生：30分钟。
生：也许3个小时。
生：我想可能需要3天吧。
【赏析】
柯老师的问题一经提出，学生便接力赛似的答着：“一亿相当于10个一千万。”“一亿相当于100个一百万。”“一亿就是100000000个一。”似乎学生对一亿的大小挺有感觉，可当柯老师接着询问：“同学们猜一猜，数一亿粒大米可能需要多长时间？”学生对一亿的“无知”，一下便暴露了。原来，学生不会把数学知识拉到自己身边，一亿的“逻辑”与一亿的“概念”便产生了空隙。
儿童的概念主要经历三个阶段：一是抽象化阶段，儿童对有关对象确认出某种属性；二是类化阶段，儿童对这些属性进一步抽象，只考虑属性的相似性，忽略其他属性的差异性；三是辨别阶段，儿童不仅认同共同属性，同时还能区分不同属性，初步形成分类能力。为了填补“一亿多大”的“概念空隙”，帮助学生一步步丰盈表征，使得抽象的数字形象化，形象的情景抽象化，终而识别“一亿多大”。所以在接下来的课堂教学中，柯老师组织下列活动便成了必然：第一步，数100粒大米，再根据数100粒大米用的时间，推算出数一亿粒大米要多久；如“教学片段2”。第二步，转化数一亿粒大米的秒数为天数、年数，如“教学片段3”。第三步，先称出100粒大米有多重，再推算出一亿粒大米的重量。以及第四步，课堂现场捕捉学生“数一亿”的素材，开展“数一亿本数学书有多厚”“数一亿枚硬币叠起来有多厚”“一亿个同学手拉手有多长”等研究。
二、顺应已知与新知间的落差
【教学片段2】聚焦于数。
师：老师欣赏你们的大胆猜测，不过这样的猜测缺乏依据。那我们有什么办法能比较确切地知道数一亿粒大米要多长时间呢？
生：数一数并计时。
师：不错，实践出真知。不过根据同学们刚才的猜测，数一亿粒米需要的时间可不少啊！那我们这节课都用来数大米吗？
学生摇头。
师：是的，这可不行啊，那我们该怎么数呢？
生：先看看数100粒大米要多长时间，再根据数100粒大米用的时间，推算出数一亿粒大米要多久。
师：哦，推算，听上去是个好方法，你准备怎么推算？
生：知道了数100粒米的时间，就可以先推算出数1000粒米的时间，再推算出数10000粒……10000000粒米的时间，最后推算出数一亿粒米的时间。
【赏析】
学生并非带着空空的脑袋走进课堂，即使将要学习的内容他们闻所未闻，但在问题解决的过程中，总有过去的解题方法、数学经验、思维策略等，悄然影响着新课的学习。建构主义指出：对数学问题的理解，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程。
学生的这些数学现实是继续学习的基点，但也是继续学习的障碍。学生在日常生活中，有过在一个单位时间里数多少东西的经验，于是四年级的学生自然会生出这样的思考路径：“可以先看1分钟数多少粒大米，然后再算数1亿粒大米需要多少时间。”这种思维不但不是本节课将要学习的知识点，反而干扰了学生对新方法的习得。本节课的主旨应是掌握“先数100粒米，利用数100粒米的时间推算出数100000000粒米的时间。”其实在教学前测与第一次磨课中，学生的第一反应都是前述思维策略，可见，教材的主旨思维是学生的盲点。
因此，教学中，柯老师针对“怎么帮助学生快速联想到先数100粒米”这一数学现实中的盲点，着力组织了两个问题：“数一亿粒米需要的时间可不少啊！那我们这节课都用来数大米吗？”和“那我们该怎么数呢？”这样把思维的重心聚焦在“怎么数”上，而不是算时间来完成题目，于是学生的正确推理得以实现。“教学片段3”的教学也就从“实然”状态趋向了“应然”结果。
【教学片段3】推理。
师：依我们班数得最快的速度计算，数1000粒大米要480秒，怎么想的？
生：1000粒是10个100粒，也就是要数10个48秒。
师：照这样推算，（板书：推算）数10000粒呢？
生：4800秒。
师：好，剩下的请同学来推算，谁的小手举得最快，老师就喊谁回答。
生1：48000秒。
生2：480000秒。
生3：4800000秒。
生4：48000000秒。
教师依次板书学生反馈的时间。
师：原来数一亿粒大米要48000000秒！刚才这位同学猜测数一亿粒大米可能需要3天，那我们就来计算一下数一亿粒大米到底要多少天？
生5：先把秒变成分，再把分变成时，接着把时变成天。
生6：48000000÷60=800000分。
生7：60分钟就是1小时，看800000分里有多少个60分，就是800000÷60约等于13333时。
生8：因为一天有24小时，13333÷24约等于556天。
师：556天大约是多少年？
生：差不多1年半。
师：原来照刚才那样的速度，数一亿粒大米不吃不睡大约要1年半啊！同学们，现在想一想老师能给大家带来一亿粒大米吗？为什么？谁愿意帮老师做一下解释？
三、搭建空隙与盲点间的脚手架
苏联教育家维果茨基提出的最近发展区理论，为数学教师的问题设计提供了路径：启发时，我们问得太难，学生会感到局促茫然；问得简单，则又挫伤了学生挑战的欲望。其实，课堂中我们也时常发现，如果一节课顺风顺水，学生不费吹灰之力就解决了所有的课堂问题，貌似掌握了课堂知识，实质上这节课的教学对于学生思维品质的提升几乎没有帮助。只有一路磕磕绊绊，看似全明白了，但一深究，却漏洞百出，学生再千方百计自圆其说或者自我否定，才能收获真正的成长。
比照理论，回头审视“教学片段3”的教学过程，柯老师提供的“脚手架”具有空间弹性，加之让学生对比自己本有的“30分钟”“3个小时”“3个月”的原始起点，使得学生对真实的答案应该是多少产生好奇。
其实，在日常教学中，也不乏教师待学生推算出“数一亿粒米需要大约48000000秒”后，会立即提出问题：“48000000秒等于多少分钟？”随后紧接着提问：“800000分等于多少时？”“13333时等于多少天？”
两种教法，做了同样数量的题目，学生思维的发展却不一样。让学生计算“48000000秒等于多少分钟？”“800000分等于多少时？”“13333时等于多少天？”之类连串的问题，学生能顺势一下子列出算式，但是“脚手架”过于短促，思维的空间就狭窄。而柯老师提出的“想不想计算一下数一亿粒大米到底要多少天？”学生不能一下子列出一个具体的算式，要想解决这个问题，学生就得自己搭建一些辅助的“脚手架”，思维的空间便能得以延展。这样的好处无疑是学生通过教师的组织，实现了基尔帕特里克的教学愿景：“问题并不是由别人给你的，因为，你必须构建出你自己的问题。”
综上所述，教学中通过探寻学生的数学起点，及时捕捉学生的概念空隙与认知盲点，组织具备一定弹性空间的脚手架，引领学生看见思维的阳光，方是教师角色作为。
（作者单位：江苏省苏州市阳山实验小学校 责任编辑：王彬）