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【摘 要】烙饼问题是人教版教材四年级上册第八单元数学广角（优化）例2的教学内容。3个饼的交替烙法总是难以真正发现，运用图示表征题意、寻找方法、辨别优化、拓展延伸等化解了难点，让学生的学习真正发生，使学生在不同要求的图示表征中有所悟、有所想、有所思。
【关键词】图式表征；数学广角；教学难点
烙饼问题是人教版教材四年级上册第八单元数学广角（优化）例2的教学内容。其内容是：“一个锅每次最多只能烙2张饼，但饼的两面都要烙，每面需要3分钟，那么怎样烙3张饼才能让我们尽快吃上饼呢？”其目的是希望学生能合理利用锅的空间，让烙饼的时间最短，以此来培养学生的优化意识。笔者查找过相关教学资料、观看过教学视频和数次现场的观摩课，发现“烙饼问题”的教学课堂上会有两种处理方式：第一种，教师会请做正确的学生说说自己的想法，然后其他同学尝试着去操作，显然大部分学生只是模仿，并不知其中的内涵。第二种，教师会主动提出疑问：“有没有比12分钟更少的？”或直接问，“9分钟有没有可能？”此时学生会东张西望寻找只用9分钟的同学在哪里，他是怎么操作的。并没有继续动手再烙找方法，因为凭学生个体的独立思考是难以突破的。
“一个锅每次最多只能烙2张饼，但饼的两面都要烙，每面需要3分钟，那么怎样烙3张饼才能让我们尽快吃上饼呢？”烙1个、2个饼不管学生动手摆与不摆，学生都不成问题，但是3个饼学生再怎么用交替法摆还是出不来。
最后笔者决定用图示法让学生经历并悟到它能帮助我们解决问题，使学生在尋找方法的过程中有所惑、有所思、有所悟。
一、用图示表征题意
理解题意是正确解题的前提，对于“烙饼”学生既陌生又熟悉，熟悉的是大街小巷烙饼店很多，有吃过，也有部分学生可能见过烙饼的全过程，但从数学的角度考虑时间问题可能还是第一次，那么读懂题意就非常关键。
题目：“每次最多只能烙2张饼。”学生可能会想为什么只能烙2张，“两面都要烙，每面3分钟。”学生会想这又是什么意思。“爸爸、妈妈和我每人1张，共3张。怎样才能尽快吃上饼？”这个学生觉得好像不成问题，早点烙熟就是了呗。
这个问题的素材“烙饼”是非常现实的一个情境，但相关信息与烙饼要求与实际确实一点都不相符。平时烙饼考虑更多的是口味，肉多还是咸菜多，甜的还是咸的，软一点还是焦一点。所以看似贴近生活实际的情境实则相差甚远，需要教师引起关注。先注重理解题意，就拿第一个数学信息来说，如果没有锅和饼的图式表征，学生的问题会很多，上面已作阐述不再重复，所以结合锅的大小与饼的个数的关系，配上直观操作图明白两面都要烙的意思，一切尽在图示表征下理解。于是慢慢地剥离了生活烙饼情境，走向数学问题的思考“怎样才能尽快吃上饼”，实则是思考怎样烙3个饼花的时间最少。
二、用图示表征寻找方法
我们所看过的课，基本是让学生动手烙一烙，文章前面也谈过烙1个、2个都不成问题，3个再怎么摆烙都是问题。就像郜舒竹老师所说“手工操作越多，脑力劳动越少”。那么，这节课，可以不让学生动手摆一摆，而用图式表征烙饼过程。
教学基本步骤如下：
1.烙1个饼，教师示范并在表格里用图示记录过程及时间。
2.烙2个饼，学生自己独立在表格里用图示记录过程及时间。
3.教师出示不同的2个饼的烙法。
4.比较异同点。
思考：以上是两种合理的不同烙法，有什么不一样？第一种1张1张烙，第二种2张同时烙，第二种比第一种花的时间少。
5.请在第一种上调整，使其也只用6分钟。可能出现以下几种情况：
第一种：划掉2正2反，画在第一次第二次的后面；第二种直接用箭头表示。两种都给予肯定，教师可否想过，一定会有学生曾经历过1正和1反放在一起，哪怕你没有发现，因为此时更关注充分利用空间、省时而操作。让学生重新经历修改调整的过程，其意图是延长了思考历程，有利于思考力的提高与思维的缜密性。不管对与错不做更多讲解，把更多的时间放在师生、生生探讨和质疑烙3个饼的教学环节上。
6.自己在表格上图示表征3个饼的烙法，巡视发现有以下三种烙法。
出示第一种烙法，首先肯定饼是烙熟了，花的时间也是比较少的，因为能一起烙的已经尽力了。
出示第二种烙法，不急着评价，引导学生发现用的时间更少了，不知可否，要求学生自己琢磨，能否从中得到一点启发。如有想法在自己的表格上修改调整。
第三种烙法先不出示，是因为怕打乱了正在思考的学生思维。
这样安排教学，相信当学生直面眼下的具体图示时，必然会有所观察、有所比较、有所思考、有所尝试。给予充分的时间确实有很多学生还是能找出最佳方法并能说明理由。让刚刚找到新方法的学生说说他的思考历程。一个学生回答如下：老师，我横着看觉得3正和3反不可能在一起，竖着看想想2反和3反换一下就可以了。于是一石激起千层浪，换位的可多了，但始终坚持一个原则，同一个饼的两个面不能同时烙。在这个自我修改、调整、交流对话的过程中学生收获颇多，有感谢帮助修改第二种方法的，也有感谢对其他方法提出改进的，也有表扬善于认真分析他人方法的，当然不忘表扬讲出思考全过程的。烙3个饼很难突破，教师不应急于求成，只有让学生单独经历，与难点相遇，与自己对话，才能留下思考的痕迹。用图示的优越性，是图示比动手摆一摆更有效，因为图示显性地展示了3个饼的6个面，而3个饼再怎么摆放最多只能看到3个面，6个面清晰地摆在眼前有利于学生进行排列组合。给予足够的时间很多学生自己能找出最佳方法，而不是教师或优秀学生先展示，因为个别学生的方法并不是学生自己思考的成果，而我们需要的是他们在不知道方法的情况下自己能摸索出一种原创性的方法，这才是数学课最本真的意义。
三、用图示表征辨别优化
独立表征烙4个饼的过程。
此时，刚学会3个饼交替烙法的学生是无比兴奋，充满信心和自豪感。发现大部分学生用交替法烙4个饼，他们烙得很投入，很辛苦，此现象很正常。让学生自己动手，先让他们尝试一下刚学会的好方法能激发学习兴趣，因为交替法很新鲜，很神奇，能很好地节省时间，学生烙好后特有成就感，此时先给予大力肯定。再要求前2个不用交替法烙，会不会遇到麻烦，最后稍作比较自然而然选择不完全交替法烙了。那么这时候把所有的偶数个饼先解决，再烙5、7……让学生自己烙一烙，再比较发现，奇数个饼只要先拿出3个交替烙，其余做偶数个饼处理即可。
四、用图示表征解决拓展题
其实烙饼问题是有规律的，是有公式的，记住公式可以解决数据更大的问题。但我们的教学不急着总结烙饼的方法，这节课就希望学生有图式表征的意识，用自己的方法解决与例题不一样的烙饼习题，不在于饼的个数的繁多，在于图示表征方法的迁移和亲身体会图式表征的意义。
问题：如果一个锅最多烙3个饼，请问烙4、5、6个需多少时间？
烙5个饼，有学生在空白表格里认认真真地记录，有学生在4个的基础上填补，也有学生不画图就知道答案，烙6个饼画图的人更少了。总之，先让学生自主用图示表征，在表征的过程中经历思考、调整、修改并慢慢发现规律，没发现规律也没事，因为学习真正发生了！
参考文献：
[1]李海林.美国中小学课堂观察[M].北京：教育科学出版社，2015.
[2]钟启泉.课堂研究[M].上海：华东师范大学出版社，2016.
（浙江省永嘉县教师发展中心 325100
浙江省永嘉县少年艺术学校 325100）
【关键词】图式表征；数学广角；教学难点
烙饼问题是人教版教材四年级上册第八单元数学广角（优化）例2的教学内容。其内容是：“一个锅每次最多只能烙2张饼，但饼的两面都要烙，每面需要3分钟，那么怎样烙3张饼才能让我们尽快吃上饼呢？”其目的是希望学生能合理利用锅的空间，让烙饼的时间最短，以此来培养学生的优化意识。笔者查找过相关教学资料、观看过教学视频和数次现场的观摩课，发现“烙饼问题”的教学课堂上会有两种处理方式：第一种，教师会请做正确的学生说说自己的想法，然后其他同学尝试着去操作，显然大部分学生只是模仿，并不知其中的内涵。第二种，教师会主动提出疑问：“有没有比12分钟更少的？”或直接问，“9分钟有没有可能？”此时学生会东张西望寻找只用9分钟的同学在哪里，他是怎么操作的。并没有继续动手再烙找方法，因为凭学生个体的独立思考是难以突破的。
“一个锅每次最多只能烙2张饼，但饼的两面都要烙，每面需要3分钟，那么怎样烙3张饼才能让我们尽快吃上饼呢？”烙1个、2个饼不管学生动手摆与不摆，学生都不成问题，但是3个饼学生再怎么用交替法摆还是出不来。
最后笔者决定用图示法让学生经历并悟到它能帮助我们解决问题，使学生在尋找方法的过程中有所惑、有所思、有所悟。
一、用图示表征题意
理解题意是正确解题的前提，对于“烙饼”学生既陌生又熟悉，熟悉的是大街小巷烙饼店很多，有吃过，也有部分学生可能见过烙饼的全过程，但从数学的角度考虑时间问题可能还是第一次，那么读懂题意就非常关键。
题目：“每次最多只能烙2张饼。”学生可能会想为什么只能烙2张，“两面都要烙，每面3分钟。”学生会想这又是什么意思。“爸爸、妈妈和我每人1张，共3张。怎样才能尽快吃上饼？”这个学生觉得好像不成问题，早点烙熟就是了呗。
这个问题的素材“烙饼”是非常现实的一个情境，但相关信息与烙饼要求与实际确实一点都不相符。平时烙饼考虑更多的是口味，肉多还是咸菜多，甜的还是咸的，软一点还是焦一点。所以看似贴近生活实际的情境实则相差甚远，需要教师引起关注。先注重理解题意，就拿第一个数学信息来说，如果没有锅和饼的图式表征，学生的问题会很多，上面已作阐述不再重复，所以结合锅的大小与饼的个数的关系，配上直观操作图明白两面都要烙的意思，一切尽在图示表征下理解。于是慢慢地剥离了生活烙饼情境，走向数学问题的思考“怎样才能尽快吃上饼”，实则是思考怎样烙3个饼花的时间最少。
二、用图示表征寻找方法
我们所看过的课，基本是让学生动手烙一烙，文章前面也谈过烙1个、2个都不成问题，3个再怎么摆烙都是问题。就像郜舒竹老师所说“手工操作越多，脑力劳动越少”。那么，这节课，可以不让学生动手摆一摆，而用图式表征烙饼过程。
教学基本步骤如下：
1.烙1个饼，教师示范并在表格里用图示记录过程及时间。
2.烙2个饼，学生自己独立在表格里用图示记录过程及时间。
3.教师出示不同的2个饼的烙法。
4.比较异同点。
思考：以上是两种合理的不同烙法，有什么不一样？第一种1张1张烙，第二种2张同时烙，第二种比第一种花的时间少。
5.请在第一种上调整，使其也只用6分钟。可能出现以下几种情况：
第一种：划掉2正2反，画在第一次第二次的后面；第二种直接用箭头表示。两种都给予肯定，教师可否想过，一定会有学生曾经历过1正和1反放在一起，哪怕你没有发现，因为此时更关注充分利用空间、省时而操作。让学生重新经历修改调整的过程，其意图是延长了思考历程，有利于思考力的提高与思维的缜密性。不管对与错不做更多讲解，把更多的时间放在师生、生生探讨和质疑烙3个饼的教学环节上。
6.自己在表格上图示表征3个饼的烙法，巡视发现有以下三种烙法。
出示第一种烙法，首先肯定饼是烙熟了，花的时间也是比较少的，因为能一起烙的已经尽力了。
出示第二种烙法，不急着评价，引导学生发现用的时间更少了，不知可否，要求学生自己琢磨，能否从中得到一点启发。如有想法在自己的表格上修改调整。
第三种烙法先不出示，是因为怕打乱了正在思考的学生思维。
这样安排教学，相信当学生直面眼下的具体图示时，必然会有所观察、有所比较、有所思考、有所尝试。给予充分的时间确实有很多学生还是能找出最佳方法并能说明理由。让刚刚找到新方法的学生说说他的思考历程。一个学生回答如下：老师，我横着看觉得3正和3反不可能在一起，竖着看想想2反和3反换一下就可以了。于是一石激起千层浪，换位的可多了，但始终坚持一个原则，同一个饼的两个面不能同时烙。在这个自我修改、调整、交流对话的过程中学生收获颇多，有感谢帮助修改第二种方法的，也有感谢对其他方法提出改进的，也有表扬善于认真分析他人方法的，当然不忘表扬讲出思考全过程的。烙3个饼很难突破，教师不应急于求成，只有让学生单独经历，与难点相遇，与自己对话，才能留下思考的痕迹。用图示的优越性，是图示比动手摆一摆更有效，因为图示显性地展示了3个饼的6个面，而3个饼再怎么摆放最多只能看到3个面，6个面清晰地摆在眼前有利于学生进行排列组合。给予足够的时间很多学生自己能找出最佳方法，而不是教师或优秀学生先展示，因为个别学生的方法并不是学生自己思考的成果，而我们需要的是他们在不知道方法的情况下自己能摸索出一种原创性的方法，这才是数学课最本真的意义。
三、用图示表征辨别优化
独立表征烙4个饼的过程。
此时，刚学会3个饼交替烙法的学生是无比兴奋，充满信心和自豪感。发现大部分学生用交替法烙4个饼，他们烙得很投入，很辛苦，此现象很正常。让学生自己动手，先让他们尝试一下刚学会的好方法能激发学习兴趣，因为交替法很新鲜，很神奇，能很好地节省时间，学生烙好后特有成就感，此时先给予大力肯定。再要求前2个不用交替法烙，会不会遇到麻烦，最后稍作比较自然而然选择不完全交替法烙了。那么这时候把所有的偶数个饼先解决，再烙5、7……让学生自己烙一烙，再比较发现，奇数个饼只要先拿出3个交替烙，其余做偶数个饼处理即可。
四、用图示表征解决拓展题
其实烙饼问题是有规律的，是有公式的，记住公式可以解决数据更大的问题。但我们的教学不急着总结烙饼的方法，这节课就希望学生有图式表征的意识，用自己的方法解决与例题不一样的烙饼习题，不在于饼的个数的繁多，在于图示表征方法的迁移和亲身体会图式表征的意义。
问题：如果一个锅最多烙3个饼，请问烙4、5、6个需多少时间？
烙5个饼，有学生在空白表格里认认真真地记录，有学生在4个的基础上填补，也有学生不画图就知道答案，烙6个饼画图的人更少了。总之，先让学生自主用图示表征，在表征的过程中经历思考、调整、修改并慢慢发现规律，没发现规律也没事，因为学习真正发生了！
参考文献：
[1]李海林.美国中小学课堂观察[M].北京：教育科学出版社，2015.
[2]钟启泉.课堂研究[M].上海：华东师范大学出版社，2016.
（浙江省永嘉县教师发展中心 325100
浙江省永嘉县少年艺术学校 325100）