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摘要：本文首先证明了Black-Scholes微分方程只是含贴现的费曼-卡茨定理的一个特殊形式，含贴现的费曼-卡茨定理是Black-Scholes微分方程的必要条件。然后从含贴现的费曼-卡茨定理出发来研究Black-Scholes微分方程的基本假设条件。
【关键词】Black-Scholes微分方程基本假设条件 含贴现的费曼-卡茨定理
1973年，Black和Scholes基于以下基本假设推导出了基于不支付红利的股票的欧式看涨期权价格所遵循的偏微分方程：1、股票价格服从几何布朗运动，且期望收益率和波动率为常数；2、允许使用全部所得卖空衍生证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是高度可分的；4、在衍生证券的有效期内没有红利支付；5、不存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的；7、无风险利率为常数且对所有到期日都相同。
（1）
在分析Black-Scholes微分方程假设条件之前，我们可以先看下含贴现的费曼-卡茨定理。
含贴现的费曼-卡茨定理：考虑随机微分方程
（2）
设是博雷尔可测函数，利率是常数，给定，定义函数
（我们假定对于所有的t和x ）
则满足偏微分方程
（3）
通过比较（1）和（3），我们发现在偏微分方程的表现形式上，差别仅仅在于（1）中，衍生证券价格对基础资产价格的偏导数系数为无风险利率，而（3）中衍生证券价格相对于基础资产价格的偏导数系数为基础资产的收益率。造成这种差别的原因在于：在（1）中，衍生资产价格所服从的随机过程并不是一个鞅过程，而（3）中衍生证券价格所服从的随机过程是一个鞅过程。对股票这种需要支付一定成本的基础资产来说，现实世界中的收益率不管为多少，在风险中性世界里收益率均为无风险收益率。
我们可以通过拉东-尼可迪姆导数来改变这个随机过程的概率分布函数，在转换的过程中，波动率并不发生变化，而将收益率由变化为无风险利率，则基础资产在风险中性世界里所服从的随机过程就为：
下面，我们以含贴现的费曼-卡茨定理假设出发，来分析Black-Scholes偏微分方程的基本假设条件。
假设1中，我们假定股票价格服从几何布朗运动，也就是说对股票价格取对数差分后得到的收益率服从正态分布。这里面蕴含的意义包括：1、如果假定股票价格服从正态分布，则该正态分布的期望为0，也即从理论上说股票价格可以取负值，根据股票这个经济变量的经济意义，这很显然是不可能的；2、根据计量经济学，股票价格序列很显然是一个非平稳的时间序列。而对于一个非平稳的时间序列来说，我们所估计出的分布参数在经济学上并无实际意义。3、收益率服从正态分布，这显然是出于简化问题的考虑。因为计量经济学也证明了股票的收益率序列并不服从于正态分布。4、考虑几何布朗运动，即我们采用的是几何收益率。几何收益率对应于金融中的复利，这既符合经济本质，也在较长的期限内比算术收益率更稳定。
关于假设2，允许使用全部所得卖空衍生证券，这个假设是为了保证在构造一个无风险的组合时，不必使用外币融资，通过自融资策略即可实施。以无风险利率对投资组合的价值进行贴现，得到的必然是一个鞅过程。这也使得基于不支付红利的股票的欧式看涨期权与亚式期权等路径依赖性的期权相区别，因为路径依赖性的期权要么没有解析解，要么解析解的形式非常复杂。
关于假设3，没有交易费用和税收是为了消除市场摩擦对期权价格的影响。根据分离定理，最优风险证券组合的确定与投资者的风险偏好、效用函数或无差异曲线无关，投资者的投资决策与融资决策无关。
关于假设4，在衍生证券的有效期内没有红利支付。根据含贴现的费曼-卡茨定理，此假设并无必要。默顿也指出，只要假定在有效期内红利是连续支付的，那么可以得到一个连续红利率。
关于假设5，不存在无风险套利机会，即不存在不承受风险就获利这样的投资机会，这也意味着投资者如果期望获得较高的收益，就必须承担更大的风险。这就排除了基础资产价格存在风险但不能进行动态套期保值活动的可能性。
关于假设6，证券交易是连续的，这个假设是有意义的，但根据含贴现的费曼-卡茨定理，这个假设并非必须。证券交易是连续的，那么证券价格所服从的随机过程更加渐进服从于几何正态分布，我们也可以更方便应用动态套期保值，使投资组合在一个极短的时间段内处于无风险状态，从而可以应用风险中性定价理论，而风险中性定价就意味着此时的贴现过程是一个鞅过程。
关于假设7，无风险利率为常数且对所有到期日都相同，根据含贴现的费曼-卡茨定理，此假设也非必须。无风险利率可以不为常数，甚至可以是一个随机过程，无风险利率对所有到期日都相同在实际中也很难做到。只要满足以无风险利率对期权价格进行贴现后的随机过程是一个鞅过程的条件就可以了。
综上所述，推导Black-Scholes微分方程必须满足的条件：必须能保证一个由基础资产和基于该基础资产的期权组成的自融资投资组合，在进行动态套期保值后几乎时时处于无风险状态，处于风险状态时具有零勒贝格测度，从而保证期权价格以合适的贴现率贴现后所服从的随机过程必须为一个鞅。
参考文献
[1]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生工具（第三版）[M] .北京：清华大学出版社.
[2]史蒂文·E·施里夫.金融随机分析（第二卷）[M] .上海：上海财经大学出版社，2008.
[3]邵宇.微观金融学及其数学基础[M] .北京：清华大学出版社，2003.
作者简介：李国勇（1978-），男，河南省西峡县人，任职于西藏大学财经学院，研究方向：资产定价。
（责任编辑：刘晶晶）
【关键词】Black-Scholes微分方程基本假设条件 含贴现的费曼-卡茨定理
1973年，Black和Scholes基于以下基本假设推导出了基于不支付红利的股票的欧式看涨期权价格所遵循的偏微分方程：1、股票价格服从几何布朗运动，且期望收益率和波动率为常数；2、允许使用全部所得卖空衍生证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是高度可分的；4、在衍生证券的有效期内没有红利支付；5、不存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的；7、无风险利率为常数且对所有到期日都相同。
（1）
在分析Black-Scholes微分方程假设条件之前，我们可以先看下含贴现的费曼-卡茨定理。
含贴现的费曼-卡茨定理：考虑随机微分方程
（2）
设是博雷尔可测函数，利率是常数，给定，定义函数
（我们假定对于所有的t和x ）
则满足偏微分方程
（3）
通过比较（1）和（3），我们发现在偏微分方程的表现形式上，差别仅仅在于（1）中，衍生证券价格对基础资产价格的偏导数系数为无风险利率，而（3）中衍生证券价格相对于基础资产价格的偏导数系数为基础资产的收益率。造成这种差别的原因在于：在（1）中，衍生资产价格所服从的随机过程并不是一个鞅过程，而（3）中衍生证券价格所服从的随机过程是一个鞅过程。对股票这种需要支付一定成本的基础资产来说，现实世界中的收益率不管为多少，在风险中性世界里收益率均为无风险收益率。
我们可以通过拉东-尼可迪姆导数来改变这个随机过程的概率分布函数，在转换的过程中，波动率并不发生变化，而将收益率由变化为无风险利率，则基础资产在风险中性世界里所服从的随机过程就为：
下面，我们以含贴现的费曼-卡茨定理假设出发，来分析Black-Scholes偏微分方程的基本假设条件。
假设1中，我们假定股票价格服从几何布朗运动，也就是说对股票价格取对数差分后得到的收益率服从正态分布。这里面蕴含的意义包括：1、如果假定股票价格服从正态分布，则该正态分布的期望为0，也即从理论上说股票价格可以取负值，根据股票这个经济变量的经济意义，这很显然是不可能的；2、根据计量经济学，股票价格序列很显然是一个非平稳的时间序列。而对于一个非平稳的时间序列来说，我们所估计出的分布参数在经济学上并无实际意义。3、收益率服从正态分布，这显然是出于简化问题的考虑。因为计量经济学也证明了股票的收益率序列并不服从于正态分布。4、考虑几何布朗运动，即我们采用的是几何收益率。几何收益率对应于金融中的复利，这既符合经济本质，也在较长的期限内比算术收益率更稳定。
关于假设2，允许使用全部所得卖空衍生证券，这个假设是为了保证在构造一个无风险的组合时，不必使用外币融资，通过自融资策略即可实施。以无风险利率对投资组合的价值进行贴现，得到的必然是一个鞅过程。这也使得基于不支付红利的股票的欧式看涨期权与亚式期权等路径依赖性的期权相区别，因为路径依赖性的期权要么没有解析解，要么解析解的形式非常复杂。
关于假设3，没有交易费用和税收是为了消除市场摩擦对期权价格的影响。根据分离定理，最优风险证券组合的确定与投资者的风险偏好、效用函数或无差异曲线无关，投资者的投资决策与融资决策无关。
关于假设4，在衍生证券的有效期内没有红利支付。根据含贴现的费曼-卡茨定理，此假设并无必要。默顿也指出，只要假定在有效期内红利是连续支付的，那么可以得到一个连续红利率。
关于假设5，不存在无风险套利机会，即不存在不承受风险就获利这样的投资机会，这也意味着投资者如果期望获得较高的收益，就必须承担更大的风险。这就排除了基础资产价格存在风险但不能进行动态套期保值活动的可能性。
关于假设6，证券交易是连续的，这个假设是有意义的，但根据含贴现的费曼-卡茨定理，这个假设并非必须。证券交易是连续的，那么证券价格所服从的随机过程更加渐进服从于几何正态分布，我们也可以更方便应用动态套期保值，使投资组合在一个极短的时间段内处于无风险状态，从而可以应用风险中性定价理论，而风险中性定价就意味着此时的贴现过程是一个鞅过程。
关于假设7，无风险利率为常数且对所有到期日都相同，根据含贴现的费曼-卡茨定理，此假设也非必须。无风险利率可以不为常数，甚至可以是一个随机过程，无风险利率对所有到期日都相同在实际中也很难做到。只要满足以无风险利率对期权价格进行贴现后的随机过程是一个鞅过程的条件就可以了。
综上所述，推导Black-Scholes微分方程必须满足的条件：必须能保证一个由基础资产和基于该基础资产的期权组成的自融资投资组合，在进行动态套期保值后几乎时时处于无风险状态，处于风险状态时具有零勒贝格测度，从而保证期权价格以合适的贴现率贴现后所服从的随机过程必须为一个鞅。
参考文献
[1]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生工具（第三版）[M] .北京：清华大学出版社.
[2]史蒂文·E·施里夫.金融随机分析（第二卷）[M] .上海：上海财经大学出版社，2008.
[3]邵宇.微观金融学及其数学基础[M] .北京：清华大学出版社，2003.
作者简介：李国勇（1978-），男，河南省西峡县人，任职于西藏大学财经学院，研究方向：资产定价。
（责任编辑：刘晶晶）