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近年来,创新型数学试题已逐渐成为研究热点,这符合我国当前为提高科学技术的自主创新能力而提出的“建设创新型国家”重大战略任务的要求.因此,中考数学命题非常重视以创新意识为立意,命制适量的创新型试题来校验考生的创新意识,即对新颖的信息、情境的设问,能选择有效的方法和手段分析、处理信息,综合与灵活地运用所学的数学知识、思想和方法,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,并创造性地分析和解决问题.考生对数学问题的理解、观察、探究、猜测、抽象、概括、证明、表述,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融合的程度越高,显示出考生的创新意识越强.中考数学命题通过设计创新型试题来考查学生的创新意识,有助于突破“记公式、背题型、练套路”的教学模式,从而摆脱题海战术的困扰,真正实施素质教育和创新教育.下面结合2009年中考数学试题谈谈创新意识立意的考查,略作抛砖引玉,教学中以引起重视.
1 巧设探索情境,考查探究意识
“探究”,英文名inquiry,起源于拉丁文的in或inward(在…之中)和quaerere(质询,寻找)[1].《辞海》(1999年版)的解释是,探究是指“深入探讨、反复研究.”在科学活动中,探究是发现问题和问题解决的基本途径,有广义与狭义之分.狭义的探究专指科学探究或科学研究,广义的探究指一切独立解决问题的活动.而数学教学活动中的探究一般是指广义的.数学探究作为新课标所倡导的学习方式,在中考中已有所体现.一般是在试题中创设出探索性问题情境,然后让考生在短时间内经历探究过程,这个过程应该包括学生自己主动地制订计划、观察问题、分析问题、处理数据、大胆假设、尝试探究、提出猜想、证明猜想、检验结论、应用结论、综合评价等,最终解决问题.
例1 (浙江省嘉兴市第24题)如图1,已知A,B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
解析 (1)本小问可以先用x表示出BC的长,然后在△ABC中利用三角形边的关系即可求出x的范围为1 (2)利用分类讨论的思想,分别假设△ABC的三边为直角三角形的斜边时,利用勾股定理得到x的关系式,求出x,并利用上问结论进行验证.
(3)先作辅助线:在△ABC中,作CD⊥AB于D,并设CD=h,然后分别讨论点D在AB和MA上的情形,见图2和图3:
1 巧设探索情境,考查探究意识
“探究”,英文名inquiry,起源于拉丁文的in或inward(在…之中)和quaerere(质询,寻找)[1].《辞海》(1999年版)的解释是,探究是指“深入探讨、反复研究.”在科学活动中,探究是发现问题和问题解决的基本途径,有广义与狭义之分.狭义的探究专指科学探究或科学研究,广义的探究指一切独立解决问题的活动.而数学教学活动中的探究一般是指广义的.数学探究作为新课标所倡导的学习方式,在中考中已有所体现.一般是在试题中创设出探索性问题情境,然后让考生在短时间内经历探究过程,这个过程应该包括学生自己主动地制订计划、观察问题、分析问题、处理数据、大胆假设、尝试探究、提出猜想、证明猜想、检验结论、应用结论、综合评价等,最终解决问题.
例1 (浙江省嘉兴市第24题)如图1,已知A,B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
解析 (1)本小问可以先用x表示出BC的长,然后在△ABC中利用三角形边的关系即可求出x的范围为1
(3)先作辅助线:在△ABC中,作CD⊥AB于D,并设CD=h,然后分别讨论点D在AB和MA上的情形,见图2和图3: