论文部分内容阅读
在小数产生的历史上，是经历了一段逐步抽象的漫长过程的，而每一次的提升都是一次“异中求同”的过程，也是一次次丰富内涵的过程，越是抽象就越具有普适性和一般性。只要找到适当的方式进行表征与演绎，让学生经历概念抽象的过程，就能够慢慢“拎”出概念的本质。而对于数的概念，最容易理解和被接受的方式就是借助几何直观。洪老师以直观图形为载体，帮助学生在逐步经历抽象、提炼、升华小数的过程中，丰富概念的内涵、构建概念的体系、感悟概念的本质，让小数的本质变得直观易懂，学生也逐步领悟到不带“量”的小数更具有一般性，感悟到不是为了抽象而抽象，而是为了需求而抽象，真正全面而又深刻地理解了概念的本质。本文以洪菲菲老师执教的“认识小数”一课为例，谈谈如何合理运用几何直观，有效助力概念教学。
【教学片段1】
【赏析】
在生活中，学生对于小数有了一定的认识，知道以“元”为单位的小数和以“米”为单位的小数的具体含义。这样的认识虽然清晰，却只能帮助学生从生活的层面认识小数，并不能促使学生真正从数学的层面认识小数。所以拓展小数认知的维度是非常有意义的，一方面，作为“小数体系”的起始概念，小数的认识就是整个知识体系的“根”，认识得越是充分、完整，后期知识体系的构建就越是稳固;另一方面，在数学上，小数和分数可以看成是一体两翼，“同一个量”可以用分数表示，也可以用小数表示，而分数作为学生已经学过的知识，能够为小数的学习提供支持，拉近小数和学生的距离，更好地帮助学生理解小数。单纯从数的外在形式上看，学生是无法将分数和小数建立起联系的。如果采用直接传授的教学方式，学生虽然能够轻松记忆，却只知其然而不知其所以然，这样的概念空有形式，缺乏有力的支撑，很难深入人心，更难发展学生的数学思维。其实，概念背后往往是丰富的内涵，只有在分数和小数间搭建起桥梁，外显两者的联系，让学生经历概念产生的过程，明白概念背后的道理，才能让概念从单调走向丰富、从静止走向生动、从被动记忆走向自主构建。在这里，教师借助涂色的长方形，以直观图形作为载体，表示出0.1元，让学生在观察图形的过程中推理发现：表示0.1元的涂色部分的大小和表示 元的涂色部分大小是一样的，得出 的结论。整个过程有理有据，将小数的认识从生活的层面拓展到数学的层面，极大丰富了小数的内涵，初步帮助学生建立起小数的概念。
【教学片段2】
师：刚才我们把1米平均分成10份，其中的几份可以用十分之几米和零点几米来表示。如果我们换一个单位，也把它平均分成10份，你还能用分数和小数表示出其中的一部分吗？这里有一条线段，平均分成了10份，请你选择一个计量单位，然后用分数和小数表示出指定的部分。（如图1）
学生回答，教师展示学生作品。（如图2）
【赏析】
教学中，学生能够从 中类推得出 ，借助米尺也可以直观验证这个结论。对于学生而言，这个迁移的过程深化了对小数的认识。但仅凭这两个单位，并不能完全让学生真正认识到“同一个量可以用分数表示，就可以用小数表示”。狭隘的学习材料甚至会让部分学生产生误解：认为只有采用人民币单位和米制单位时，小数才能和分数画上等号。这就使得学生对小数的认识不够全面，分数和小数间的联系不能完全得到沟通，而这个问题又必须到四年级下册学习完“小数的意义”后才能得到解决。因此这期间会在很大程度上限制学生理解并有意识地使用小数。学生一旦脱离具体情境，便会优先选择使用分数，而不一定会使用小数，这实际上已经反映出了其对概念的理解存在偏差。只有直面存在的问题，才能让学生更全面地把握小数的概念。从人民币单位、米制单位到学生自己填单位，由扶到放，在纵向“数学化”的过程中，让学生反复经历由分数到小数的转化，逐渐丰盈对小数的认识。再以丰富的直观模型作为支撑，帮助学生推理、理解，促进学生更进一步厘清分数和小数的关系。同时伴随着单位不断增加，“量”的范围不断得到扩充，学生能够慢慢感受并发现无论加上什么样的单位，同一個量，既可以用小数表示也可以用分数表示，全面沟通了分数和小数的联系。概念体系的逐步扩张是要建立在一定的感悟之上的，这样才能让知识展现出张力，虽然可以加上的单位有很多，但在这“多”的背后始终有一根看不见的“主线”牢牢牵引着所有的知识，这就是概念的本质。因此只有在丰富的体验中，才能让学生逐渐感受到概念背后的相同点。
【教学片段3】
师：现在，老师把第一条线段中的0.4千米拿出来（持“0.4千米”的手牌）。如果把“0.4千米”放到第二条线段的这儿（指着第二条线段上0.4千克的位置）可以吗？如果放到第三条线段上的这里（指着第三条线段上0.4元的位置）可以吗？为什么？
生：不行，因为单位不一样，所以不能放。
师：既然是因为单位不同，那咱们就去掉单位。（图略）
师：现在，0.4可以放在第二条线段上了吗？放在第三条线段上呢？
生：可以。
师：那我们就把三条线段合起来。（如图3）
师：没有了单位，你还能在这条线段上找到其他分数和小数吗？谁来试一试？
【赏析】
小数作为“数与代数”知识体系中重要的一部分，是和分数、整数、负数共存的，伴随着数系的不断扩张，数的种类会不断地增加，如果不能适时地帮助学生建立起知识体系，将知识结构化，就会严重影响学生对于数的正确理解。在本节课前面的教学环节中，“小数的意义”已经呼之欲出，但在教学中并不能直接给出小数的具体概念，这说明此阶段学生对于小数的理解只要达到一种“意会”的层次就行了，这也是本节课最难以把握的地方。用何种方式让学生自己感悟到十分之几的数就是零点几，让小数自然而然地从具体的情境中剥离出来？在这里洪老师以“一个带单位的小数放到其他数轴上行不行”为问题，“迫使”学生思考解决这个问题的方法。在问题的驱动下有序推动学生思维前进，自然而然就会产生去掉单位的需求，层层深入，从“有量”到“无量”，抽象出表示小数的几何线段，获得数轴的雏形。学生在这个抽象的过程中感受到这样的小数更具有一般性与普适性，适用于任何情境。整个教学过程在顾及低年级学生思维特点的同时，也很巧妙地将小数体系结构化，提升了学生对小数的认识深度。
（作者单位：福建省厦门市集美区杏滨小学 责任编辑：王彬）
【教学片段1】
【赏析】
在生活中，学生对于小数有了一定的认识，知道以“元”为单位的小数和以“米”为单位的小数的具体含义。这样的认识虽然清晰，却只能帮助学生从生活的层面认识小数，并不能促使学生真正从数学的层面认识小数。所以拓展小数认知的维度是非常有意义的，一方面，作为“小数体系”的起始概念，小数的认识就是整个知识体系的“根”，认识得越是充分、完整，后期知识体系的构建就越是稳固;另一方面，在数学上，小数和分数可以看成是一体两翼，“同一个量”可以用分数表示，也可以用小数表示，而分数作为学生已经学过的知识，能够为小数的学习提供支持，拉近小数和学生的距离，更好地帮助学生理解小数。单纯从数的外在形式上看，学生是无法将分数和小数建立起联系的。如果采用直接传授的教学方式，学生虽然能够轻松记忆，却只知其然而不知其所以然，这样的概念空有形式，缺乏有力的支撑，很难深入人心，更难发展学生的数学思维。其实，概念背后往往是丰富的内涵，只有在分数和小数间搭建起桥梁，外显两者的联系，让学生经历概念产生的过程，明白概念背后的道理，才能让概念从单调走向丰富、从静止走向生动、从被动记忆走向自主构建。在这里，教师借助涂色的长方形，以直观图形作为载体，表示出0.1元，让学生在观察图形的过程中推理发现：表示0.1元的涂色部分的大小和表示 元的涂色部分大小是一样的，得出 的结论。整个过程有理有据，将小数的认识从生活的层面拓展到数学的层面，极大丰富了小数的内涵，初步帮助学生建立起小数的概念。
【教学片段2】
师：刚才我们把1米平均分成10份，其中的几份可以用十分之几米和零点几米来表示。如果我们换一个单位，也把它平均分成10份，你还能用分数和小数表示出其中的一部分吗？这里有一条线段，平均分成了10份，请你选择一个计量单位，然后用分数和小数表示出指定的部分。（如图1）
学生回答，教师展示学生作品。（如图2）
【赏析】
教学中，学生能够从 中类推得出 ，借助米尺也可以直观验证这个结论。对于学生而言，这个迁移的过程深化了对小数的认识。但仅凭这两个单位，并不能完全让学生真正认识到“同一个量可以用分数表示，就可以用小数表示”。狭隘的学习材料甚至会让部分学生产生误解：认为只有采用人民币单位和米制单位时，小数才能和分数画上等号。这就使得学生对小数的认识不够全面，分数和小数间的联系不能完全得到沟通，而这个问题又必须到四年级下册学习完“小数的意义”后才能得到解决。因此这期间会在很大程度上限制学生理解并有意识地使用小数。学生一旦脱离具体情境，便会优先选择使用分数，而不一定会使用小数，这实际上已经反映出了其对概念的理解存在偏差。只有直面存在的问题，才能让学生更全面地把握小数的概念。从人民币单位、米制单位到学生自己填单位，由扶到放，在纵向“数学化”的过程中，让学生反复经历由分数到小数的转化，逐渐丰盈对小数的认识。再以丰富的直观模型作为支撑，帮助学生推理、理解，促进学生更进一步厘清分数和小数的关系。同时伴随着单位不断增加，“量”的范围不断得到扩充，学生能够慢慢感受并发现无论加上什么样的单位，同一個量，既可以用小数表示也可以用分数表示，全面沟通了分数和小数的联系。概念体系的逐步扩张是要建立在一定的感悟之上的，这样才能让知识展现出张力，虽然可以加上的单位有很多，但在这“多”的背后始终有一根看不见的“主线”牢牢牵引着所有的知识，这就是概念的本质。因此只有在丰富的体验中，才能让学生逐渐感受到概念背后的相同点。
【教学片段3】
师：现在，老师把第一条线段中的0.4千米拿出来（持“0.4千米”的手牌）。如果把“0.4千米”放到第二条线段的这儿（指着第二条线段上0.4千克的位置）可以吗？如果放到第三条线段上的这里（指着第三条线段上0.4元的位置）可以吗？为什么？
生：不行，因为单位不一样，所以不能放。
师：既然是因为单位不同，那咱们就去掉单位。（图略）
师：现在，0.4可以放在第二条线段上了吗？放在第三条线段上呢？
生：可以。
师：那我们就把三条线段合起来。（如图3）
师：没有了单位，你还能在这条线段上找到其他分数和小数吗？谁来试一试？
【赏析】
小数作为“数与代数”知识体系中重要的一部分，是和分数、整数、负数共存的，伴随着数系的不断扩张，数的种类会不断地增加，如果不能适时地帮助学生建立起知识体系，将知识结构化，就会严重影响学生对于数的正确理解。在本节课前面的教学环节中，“小数的意义”已经呼之欲出，但在教学中并不能直接给出小数的具体概念，这说明此阶段学生对于小数的理解只要达到一种“意会”的层次就行了，这也是本节课最难以把握的地方。用何种方式让学生自己感悟到十分之几的数就是零点几，让小数自然而然地从具体的情境中剥离出来？在这里洪老师以“一个带单位的小数放到其他数轴上行不行”为问题，“迫使”学生思考解决这个问题的方法。在问题的驱动下有序推动学生思维前进，自然而然就会产生去掉单位的需求，层层深入，从“有量”到“无量”，抽象出表示小数的几何线段，获得数轴的雏形。学生在这个抽象的过程中感受到这样的小数更具有一般性与普适性，适用于任何情境。整个教学过程在顾及低年级学生思维特点的同时，也很巧妙地将小数体系结构化，提升了学生对小数的认识深度。
（作者单位：福建省厦门市集美区杏滨小学 责任编辑：王彬）