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摘 要：轨迹问题综合考查了学生的逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，是学生能力学习的重点之一。本文分别对直接法、定义法、代入法、参数法进行了例题分析。
关键词：几何 曲线 轨迹
解析几何主要研究两类问题，一是根据条件确定曲线方程，二是利用方程研究曲线的几何性质。可见研究轨迹问题的必要性和重要性。轨迹问题综合考查了学生的逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，所以它也是学生能力学习的重点之一。
一、直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面的知识推出等量关系，求轨迹方程时可用直接法。
例1：过点P（2，4）作互相垂直的直线L 、L ，若L 交x轴于A，L 交y轴于B，求线段AB中点的轨迹方程。
分析：设M(x，y)为所求轨迹上任意一点，利用L ⊥L ，由k k ＝-1，求解。
解：设AB中点为M(x，y)
二、定义法
如果能够确定动点的轨迹满足某个已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
例2：已知圆(x＋4) ＋y ＝25的圆心为M ，圆(x－4) ＋y ＝1的圆心为M ，一动圆与这两个圆都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
分析：由两圆外切可得P点到两定点的距离差为定值，这与双曲线的定义相符。
∴动圆圆心P的轨迹是以M 、M 为焦点的双曲线的右支，
三、代入法
如果轨迹点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出x、y、a、b的关系式，利用x、y表示a、b，把a、b代入已知曲线方程便得到动点P的轨迹方程，此法为代入法。
例3：如图，已知P（4，0）是圆x ＋y ＝36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。
分析：动点Q与AB两点的变化有关，由矩形的性质知Q与定点P及AB的中点R有关，因此可先求出R点的轨迹方程，再转化为点Q的轨迹方程。
解：设AB的中点为R(x ，y )，则Rt△ABO中，
所以Q点的轨迹方程为x ＋y ＝56。
四、参数法
如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的曲线可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。
例4：已知抛物线C：y ＝4x，O为坐标原点，动直线 L：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。
分析：中点M (x，y)的横纵坐标可表示为（ ， ），很容易通过联立方程组用参数k表示。再消参可解。
解：设中点M坐标为(x，y)，则x＝ ，y＝
注意：求曲线轨迹时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”问题，即考虑求出的曲线轨迹上的点是否都是满足条件的，这是“纯粹性”问题；满足条件的点是否都在轨迹上，这是“完备性”问题。以上例题中都有涉及，大家在计算时一定要注意。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：几何 曲线 轨迹
解析几何主要研究两类问题，一是根据条件确定曲线方程，二是利用方程研究曲线的几何性质。可见研究轨迹问题的必要性和重要性。轨迹问题综合考查了学生的逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，所以它也是学生能力学习的重点之一。
一、直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面的知识推出等量关系，求轨迹方程时可用直接法。
例1：过点P（2，4）作互相垂直的直线L 、L ，若L 交x轴于A，L 交y轴于B，求线段AB中点的轨迹方程。
分析：设M(x，y)为所求轨迹上任意一点，利用L ⊥L ，由k k ＝-1，求解。
解：设AB中点为M(x，y)
二、定义法
如果能够确定动点的轨迹满足某个已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
例2：已知圆(x＋4) ＋y ＝25的圆心为M ，圆(x－4) ＋y ＝1的圆心为M ，一动圆与这两个圆都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
分析：由两圆外切可得P点到两定点的距离差为定值，这与双曲线的定义相符。
∴动圆圆心P的轨迹是以M 、M 为焦点的双曲线的右支，
三、代入法
如果轨迹点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出x、y、a、b的关系式，利用x、y表示a、b，把a、b代入已知曲线方程便得到动点P的轨迹方程，此法为代入法。
例3：如图，已知P（4，0）是圆x ＋y ＝36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。
分析：动点Q与AB两点的变化有关，由矩形的性质知Q与定点P及AB的中点R有关，因此可先求出R点的轨迹方程，再转化为点Q的轨迹方程。
解：设AB的中点为R(x ，y )，则Rt△ABO中，
所以Q点的轨迹方程为x ＋y ＝56。
四、参数法
如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的曲线可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。
例4：已知抛物线C：y ＝4x，O为坐标原点，动直线 L：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。
分析：中点M (x，y)的横纵坐标可表示为（ ， ），很容易通过联立方程组用参数k表示。再消参可解。
解：设中点M坐标为(x，y)，则x＝ ，y＝
注意：求曲线轨迹时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”问题，即考虑求出的曲线轨迹上的点是否都是满足条件的，这是“纯粹性”问题；满足条件的点是否都在轨迹上，这是“完备性”问题。以上例题中都有涉及，大家在计算时一定要注意。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”