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[摘 要]课堂关注的是思维能力的提升，落脚点是数学化的学习过程和数学建模。从“植树问题”的角度对“间隔排列”这一课进行整体设计，引导学生在找规律中明确间隔的意义，在分类中理解间隔的内涵，在探究中寻找间隔的本质。
[关键词]规律；思维；建模
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0018-02
“间隔排列”是苏教版教材三年级上册的教学内容，被安排在“解决问题策略”这一单元的末尾，属于数与代数领域中四项基本课程内容之一的“探索规律”。
教材安排了五个层次的学习活动：通过对情境图的观察初步感知间隔排列这一现象；通过观察、填表、比较、归纳等活动，探索间隔排列的两种物体数量之间的关系，初步发现规律；通过提问“为什么每排两种物体的数量都相差1”引领学生深入思考、细致分析；操作并思考“如果把正方形和圆一个隔一个排成一行，正方形有10个，圆最少有几个？最多呢？”，通过操作进一步完善对间隔排列的两种物体间数量关系的认识；回顾与反思，总结所获得的知识，提炼习得的数学方法与思想。
教材编排强调学生的主动参与、经历过程、体验探索、积累经验、收获方法、领悟思想。
教材中提供的“间隔排列”的教学素材可以向两方面拓展和延伸：一是“植树问题”，二是“周期问题”。
从下表可以看出，教材更倾向于“植树问题”，那么设计这节课时能否从“植树问题”的角度整体考虑？教学能否做到深入浅出，从而适应三年级学生的年龄特点和学习心理呢？
为了解三年级学生目前的知识积累程度和思维能力水平，我选取直属学校的三个班级共152人，以及乡镇学校的两个班级共98人进行学前调研，结果如下。
[问题1]听说过“植树问题”吗？
乡镇学校：听说过的占18%；直属学校：听说过的占25%。在教师初步解释名词后，表示见过此类题型或现象的学生各增加约40%。
[问题2]请说说下面两个图形按怎样的规律排列？（图略）
近100%的学生能找到规律，但语言表述不太完整；能用到“间隔”一词的不到5%，少数学生能用“一个隔一个”来描述，有学生描述为“一个正方形和一个三角形一组一组出现的”。此题城乡没有显著差异。
[问题3]下面三种排列方式有什么不一样的地方？（图略）
1.能说出图（1）（2）是一直线排列，以及图（3）是围成一个圈的学生不少，有少数学生发现第（3）种排列是没有“头”的。此题城乡没有显著差异。
2.在比较数量上，70%左右的学生能发现图（1）的排列比图（2）的排列多一个三角形，但很少有学生能把观察的视角投向对比每组中三角形和正方形的个数，或者是找出三幅图的数据之间的联系。在语言的描述上，直属学校明显优于乡镇学校。
上述结果表明，三年级是学生发展思维水平的关键期和上升期，可以尝试从整体出发的教学设计。
基于以上思考，我对这节课进行重新设计，以“植树问题”为知识背景，先把“一一间隔”的排列规律分为“两端相同”“两端不同”“两端相连”三種情况，整体呈现在学生面前，再引导学生通过“画一画”“数一数”“圈一圈”探寻三种间隔排列中的规律及规律存在的原因。在整个学习过程中关注学生数学思维，引导学生在观察、比较、探索、推理、归纳的过程中自主建构数学模型。下面择取部分课堂实录与大家分享。
1.画画，初步发现规律
师（带领学生一起画正方形和三角形，板书如：□△□△□）：你能按照这里出现的规律接着往后画吗？
师：看来大家都画对了，这说明大家都找到了规律。说一说你找到了怎样的规律。
师：像这样，两个图形一个隔着一个排列，数学上叫“一一间隔”。
2.判断，深入提炼概念
师：下面这个图形是不是一一间隔呢？
生1：不是一一间隔。
师：为什么？
生1：图形画歪了，不是在一条直线上。
生2：我认为是一一间隔。因为正方形和三角形还是一个间隔着一个排列的。
师：说得真好，掌握了规律的本质才能做出正确的判断。这是一一间隔排列。
师（出示图形：）：这是一一间隔吗？
生（齐）：是。
师：这可是和前面两个不一样了，正方形和三角形都围成一个圈。
生3：但它们还是一个隔着一个排列的。
师：两个图形或者是两个物体进行排列，不管排成的是直线、曲线，还是围成一个圈，只要是一个间隔着一个排列，就是一一间隔了。
1.比较，进行分类
师：这两幅作品都是一一间隔，而且都排列成一条直线了，那有没有不一样的地方呢？
生1：个数不一样。
生2：一个是两边都是正方形，一个的两边不一样。
师：对，正如你们所说的，两边的图形相同的一一间隔排列，数学上称之为“两端相同”。
2.判断，引出第三类
师：看来，同样是一一间隔排列，有两端相同的情况，也有两端不同的情况。请判断下面物体的排列属于哪一类。
生1：③是两端不同。
师：请你来指一指两端分别在哪里。
（生1挑选一个作为开始，另一个作为结尾）
生2：我认为③没有开始和结尾。
师：像这种情况，两端已经连在一起，形成了一个封闭的图形。（板书：两端相连，封闭）
师：其实“两端相连”的情况和“两端不同”的情况是有联系的。（播放动画：“两端不同”的情况弯曲变成一个圆，从而变化成“两端相同”的情况。）
1.合作研究
PPT出示研究内容：一一间隔排列的两个物体，个数之间有怎样的关系？
指导研究方法：画一画、数一数、写一写结论。
小组合作完成表格：
2.集体分享
生1：我们小组通过研究发现，当“两端相同”时，两个图形的个数相差1个；当“两端不同”时，两个图形的个数一样多；当“两端相连”时，图形的个数也一样。
师：看来，不管你画的是什么图形，也不管你画的图形的个数有多少个，我们都得出了同样的结论，正如刚才他们小组汇报的那样。
3.一一对应思想
师： “一一间隔”排列有这么三种情况，为什么能得到这些结论呢？
生1：因为可以把一个正方形和一个三角形看作一组。（生1一边说一边在作品上圈一圈）
师：真不错，把每一个正方形和一个三角形组成一组，相当于每一个正方形和每一个三角形对应起来了。数学上把这种方法叫作“一一对应”。（板书：一一对应）
……
综上，“整体思维、重在建模”一直是本节课设计的核心思想，不同水平的学生在本节课中体验着数学建模带来的力量，享受着思维磨炼后带来的成功的喜悦，这也正是我设计这节课所期盼的。
（责编 金 铃）
[关键词]规律；思维；建模
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0018-02
“间隔排列”是苏教版教材三年级上册的教学内容，被安排在“解决问题策略”这一单元的末尾，属于数与代数领域中四项基本课程内容之一的“探索规律”。
读教材编排：淡化知识，重视经验
教材安排了五个层次的学习活动：通过对情境图的观察初步感知间隔排列这一现象；通过观察、填表、比较、归纳等活动，探索间隔排列的两种物体数量之间的关系，初步发现规律；通过提问“为什么每排两种物体的数量都相差1”引领学生深入思考、细致分析；操作并思考“如果把正方形和圆一个隔一个排成一行，正方形有10个，圆最少有几个？最多呢？”，通过操作进一步完善对间隔排列的两种物体间数量关系的认识；回顾与反思，总结所获得的知识，提炼习得的数学方法与思想。
教材编排强调学生的主动参与、经历过程、体验探索、积累经验、收获方法、领悟思想。
读数学本身：结构明显，系统清晰
教材中提供的“间隔排列”的教学素材可以向两方面拓展和延伸：一是“植树问题”，二是“周期问题”。
从下表可以看出，教材更倾向于“植树问题”，那么设计这节课时能否从“植树问题”的角度整体考虑？教学能否做到深入浅出，从而适应三年级学生的年龄特点和学习心理呢？
读学生经验：能力具备，差异存在
为了解三年级学生目前的知识积累程度和思维能力水平，我选取直属学校的三个班级共152人，以及乡镇学校的两个班级共98人进行学前调研，结果如下。
[问题1]听说过“植树问题”吗？
乡镇学校：听说过的占18%；直属学校：听说过的占25%。在教师初步解释名词后，表示见过此类题型或现象的学生各增加约40%。
[问题2]请说说下面两个图形按怎样的规律排列？（图略）
近100%的学生能找到规律，但语言表述不太完整；能用到“间隔”一词的不到5%，少数学生能用“一个隔一个”来描述，有学生描述为“一个正方形和一个三角形一组一组出现的”。此题城乡没有显著差异。
[问题3]下面三种排列方式有什么不一样的地方？（图略）
1.能说出图（1）（2）是一直线排列，以及图（3）是围成一个圈的学生不少，有少数学生发现第（3）种排列是没有“头”的。此题城乡没有显著差异。
2.在比较数量上，70%左右的学生能发现图（1）的排列比图（2）的排列多一个三角形，但很少有学生能把观察的视角投向对比每组中三角形和正方形的个数，或者是找出三幅图的数据之间的联系。在语言的描述上，直属学校明显优于乡镇学校。
上述结果表明，三年级是学生发展思维水平的关键期和上升期，可以尝试从整体出发的教学设计。
试整体设计：关注思维，重在建模
基于以上思考，我对这节课进行重新设计，以“植树问题”为知识背景，先把“一一间隔”的排列规律分为“两端相同”“两端不同”“两端相连”三種情况，整体呈现在学生面前，再引导学生通过“画一画”“数一数”“圈一圈”探寻三种间隔排列中的规律及规律存在的原因。在整个学习过程中关注学生数学思维，引导学生在观察、比较、探索、推理、归纳的过程中自主建构数学模型。下面择取部分课堂实录与大家分享。
一、规律，明确“一一间隔”的意义
1.画画，初步发现规律
师（带领学生一起画正方形和三角形，板书如：□△□△□）：你能按照这里出现的规律接着往后画吗？
师：看来大家都画对了，这说明大家都找到了规律。说一说你找到了怎样的规律。
师：像这样，两个图形一个隔着一个排列，数学上叫“一一间隔”。
2.判断，深入提炼概念
师：下面这个图形是不是一一间隔呢？
生1：不是一一间隔。
师：为什么？
生1：图形画歪了，不是在一条直线上。
生2：我认为是一一间隔。因为正方形和三角形还是一个间隔着一个排列的。
师：说得真好，掌握了规律的本质才能做出正确的判断。这是一一间隔排列。
师（出示图形：）：这是一一间隔吗？
生（齐）：是。
师：这可是和前面两个不一样了，正方形和三角形都围成一个圈。
生3：但它们还是一个隔着一个排列的。
师：两个图形或者是两个物体进行排列，不管排成的是直线、曲线，还是围成一个圈，只要是一个间隔着一个排列，就是一一间隔了。
二、分类，理解“一一间隔”的内容
1.比较，进行分类
师：这两幅作品都是一一间隔，而且都排列成一条直线了，那有没有不一样的地方呢？
生1：个数不一样。
生2：一个是两边都是正方形，一个的两边不一样。
师：对，正如你们所说的，两边的图形相同的一一间隔排列，数学上称之为“两端相同”。
2.判断，引出第三类
师：看来，同样是一一间隔排列，有两端相同的情况，也有两端不同的情况。请判断下面物体的排列属于哪一类。
生1：③是两端不同。
师：请你来指一指两端分别在哪里。
（生1挑选一个作为开始，另一个作为结尾）
生2：我认为③没有开始和结尾。
师：像这种情况，两端已经连在一起，形成了一个封闭的图形。（板书：两端相连，封闭）
师：其实“两端相连”的情况和“两端不同”的情况是有联系的。（播放动画：“两端不同”的情况弯曲变成一个圆，从而变化成“两端相同”的情况。）
三、研究，寻找“一一间隔”的本质
1.合作研究
PPT出示研究内容：一一间隔排列的两个物体，个数之间有怎样的关系？
指导研究方法：画一画、数一数、写一写结论。
小组合作完成表格：
2.集体分享
生1：我们小组通过研究发现，当“两端相同”时，两个图形的个数相差1个；当“两端不同”时，两个图形的个数一样多；当“两端相连”时，图形的个数也一样。
师：看来，不管你画的是什么图形，也不管你画的图形的个数有多少个，我们都得出了同样的结论，正如刚才他们小组汇报的那样。
3.一一对应思想
师： “一一间隔”排列有这么三种情况，为什么能得到这些结论呢？
生1：因为可以把一个正方形和一个三角形看作一组。（生1一边说一边在作品上圈一圈）
师：真不错，把每一个正方形和一个三角形组成一组，相当于每一个正方形和每一个三角形对应起来了。数学上把这种方法叫作“一一对应”。（板书：一一对应）
……
综上，“整体思维、重在建模”一直是本节课设计的核心思想，不同水平的学生在本节课中体验着数学建模带来的力量，享受着思维磨炼后带来的成功的喜悦，这也正是我设计这节课所期盼的。
（责编 金 铃）