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最小值问题，是近年来中考的热点问题，其变化多端，形式多样。但就其实质来说，不过是两个基本公理1：两点之间，线段最短 公理2：垂线段最短的的应用。本文，拟就其中一类最小值问题——“将军饮马”进行探索和总结。
数学来源于生活，又服务于生活。唐朝诗人李欣的《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边一点，饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？
建立数学模型如下图，问题归结为：在直线l上求一点C，使CA+CB的值最小。
可以看到：在问题中，有一条定直线和两个定点以及一个动点。动点的运动轨迹是定直线。为了分析方便，我们简称：一线两定点。
对于这类求“共点线段和最小”的问题中，通过翻折定点A，把线段AC转化为DC即可应用公理：两点之间，线段最短，并求解。如右上图所示，线段BD与直线l的交点C即为所求的点，此时CA+CB的值最小。这类问题是求最小值的常见模型，常常称之为“将军饮马”问题。它最早见于北师大版七年级数学（下）5.3简单的轴对称图形的问题解决。但它的应用贯穿于整个初中数学。
理解数学模型的实质，有助于我们在多变的数学题中，抓住问题的本质而不迷失方向，找到正确的解题途径。
下面我从几个变式，来探究和归纳该类问题的本质。
变式1：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点。则DN+MN的最小值为多少？
图2
与基本模型比较，背景变成了正方形，图形变得更复杂了，似乎不是“将军饮马”模型了。
但其实质呢？ 我们用基本图形分离法来分析一下：
①定直线：动点N的运动轨迹是正方形的对角线AC ②定点： 点D和点M
其实质依然是“将军饮马”问题。如图2所示，1.作定点M关于直线AC的对称点E 2.连接DE，交直线AC于点N 3.此时，DN+MN的值最小。
解题策略为：“对称” +“两点之间，线段最短”
变式2：点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小
特点：两线一定点
这里，涉及到两个动点和两条定直线，问题更复杂了。能转化为“将军饮马”模型吗？ 如何转化呢？
探究第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2
第二步：连结P1P2，交OM、ON于点A、点B
根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短，即△ABP周长最短。
策略：两次对称
变式3：如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
特点：两定点，两定直线 简称：两线两定点。
与“将军饮马”模型不同！有内在的联系吗？
我们可以首先作出点A关于直线ON的对称点E（EC=EA）；在观察点E，B与直线OM的关系，问题就又是一个“将军饮马模型”！
因此，解题策略为：两次对称+ “将军饮马模型”。
拓展一下，把问题变式为求四边形周长最小的问题：
如上图，点A，B为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形ACDB的周长最小.其解法完全一样。
可见：要实现数学问题的“举一反三”，必须抓住问题的实质。
从以上变式中，我们发现：“将军饮马”问题的本质在于：作定点的对称点，利用轴对称的性质，把折线段（含周长）之和转化为一条线段，利用线段的最值，就能解决问题。
再看下面的拓展：
变式4：（2016春·常州期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 .
特点：一线一定点 如何探究呢？
从对称性入手分析：①点F的对称点H在一定在直线AC上，问题演变为：DE+EH的最小值问题，很明显，当D、E、F三点共线时，其和最小；
②但是，因为F的变化，相应的点H的位置也发生着变化，DH的长度是个变量。
什么时候DH 最小呢？显然，DH⊥AC时，利用垂线段最短。
因此，策略为：“对称+将军饮马模型”+垂线段最短
变式5：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值。
特点：没有定点了。三个点都是动点，应该如何探究呢？
尝试探究如下：
将点D视为定点，问题转化为两线一定点问题了。
①先作出△DEF的最小值对应的线段 ；
②而后研究 随着点D的位置变化过程中的最小值即可；
那么，点D在何處时， 最小呢？
我们仍然从对称性入手，可知：无论点D位置在何处，点C对线段 的张角不变，即 的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得 最小，只需要 = =CD最小即可.
显然当CD⊥AB时，有垂线段最短，从而内接三角形△DEF的周长最小。
我们再进行一个变式：
变式6：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
因为CD、EF是定长，问题转化为：在直线OA上求两点E，F，使线段和（DE+CF）最短的问题。
DE、CF不共点，我们把C沿着与OA平行的直线平移到G，使CG=EF，这样，CF=GE，问题就又转化为“将军饮马模型”了。
其策略为：“平移+将军饮马模型”。
由此可见：在求运动轨迹为直线的折线段之和最短时，最为关键的思路是：作出定点的对称点，利用两个最短公理，把折线段变直，是解题的突破口。
对称是解决折线和最短的重要方法。因此，在角、等边三角形、正方形和抛物线等具有轴对称性质的图象中，都可以看到类似于“将军饮马”求最小值的问题，贯穿于初中数学的学习之中。
利用“将军饮马”的解题思路和化归思想，我们还可以探究以下两类问题：（1）两条线段上速度不同时的最短时间问题（2）动点轨迹轨迹是圆弧的最值问题（3）动点轨迹不清晰的问题
囿于篇幅，本文不加以讨论。
从以上的变式探究中，我们既可以感受到数学的灵活性、综合性，这是数学学习的困难之处，但更能感受到数学极强的科学性、规律性。尤其是一些重要基本模式的拓展和探究，它既能锻炼思维，巩固知识，提炼方法，更能让我们在纷繁复杂的变化中，揭示数学知识的本质特性，找到解决复杂问题的思路和方向，提升自己应对综合问题的自信和能力，这是数学学习的重要方式之一。
数学来源于生活，又服务于生活。唐朝诗人李欣的《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边一点，饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？
建立数学模型如下图，问题归结为：在直线l上求一点C，使CA+CB的值最小。
可以看到：在问题中，有一条定直线和两个定点以及一个动点。动点的运动轨迹是定直线。为了分析方便，我们简称：一线两定点。
对于这类求“共点线段和最小”的问题中，通过翻折定点A，把线段AC转化为DC即可应用公理：两点之间，线段最短，并求解。如右上图所示，线段BD与直线l的交点C即为所求的点，此时CA+CB的值最小。这类问题是求最小值的常见模型，常常称之为“将军饮马”问题。它最早见于北师大版七年级数学（下）5.3简单的轴对称图形的问题解决。但它的应用贯穿于整个初中数学。
理解数学模型的实质，有助于我们在多变的数学题中，抓住问题的本质而不迷失方向，找到正确的解题途径。
下面我从几个变式，来探究和归纳该类问题的本质。
变式1：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点。则DN+MN的最小值为多少？
图2
与基本模型比较，背景变成了正方形，图形变得更复杂了，似乎不是“将军饮马”模型了。
但其实质呢？ 我们用基本图形分离法来分析一下：
①定直线：动点N的运动轨迹是正方形的对角线AC ②定点： 点D和点M
其实质依然是“将军饮马”问题。如图2所示，1.作定点M关于直线AC的对称点E 2.连接DE，交直线AC于点N 3.此时，DN+MN的值最小。
解题策略为：“对称” +“两点之间，线段最短”
变式2：点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小
特点：两线一定点
这里，涉及到两个动点和两条定直线，问题更复杂了。能转化为“将军饮马”模型吗？ 如何转化呢？
探究第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2
第二步：连结P1P2，交OM、ON于点A、点B
根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短，即△ABP周长最短。
策略：两次对称
变式3：如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
特点：两定点，两定直线 简称：两线两定点。
与“将军饮马”模型不同！有内在的联系吗？
我们可以首先作出点A关于直线ON的对称点E（EC=EA）；在观察点E，B与直线OM的关系，问题就又是一个“将军饮马模型”！
因此，解题策略为：两次对称+ “将军饮马模型”。
拓展一下，把问题变式为求四边形周长最小的问题：
如上图，点A，B为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形ACDB的周长最小.其解法完全一样。
可见：要实现数学问题的“举一反三”，必须抓住问题的实质。
从以上变式中，我们发现：“将军饮马”问题的本质在于：作定点的对称点，利用轴对称的性质，把折线段（含周长）之和转化为一条线段，利用线段的最值，就能解决问题。
再看下面的拓展：
变式4：（2016春·常州期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 .
特点：一线一定点 如何探究呢？
从对称性入手分析：①点F的对称点H在一定在直线AC上，问题演变为：DE+EH的最小值问题，很明显，当D、E、F三点共线时，其和最小；
②但是，因为F的变化，相应的点H的位置也发生着变化，DH的长度是个变量。
什么时候DH 最小呢？显然，DH⊥AC时，利用垂线段最短。
因此，策略为：“对称+将军饮马模型”+垂线段最短
变式5：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值。
特点：没有定点了。三个点都是动点，应该如何探究呢？
尝试探究如下：
将点D视为定点，问题转化为两线一定点问题了。
①先作出△DEF的最小值对应的线段 ；
②而后研究 随着点D的位置变化过程中的最小值即可；
那么，点D在何處时， 最小呢？
我们仍然从对称性入手，可知：无论点D位置在何处，点C对线段 的张角不变，即 的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得 最小，只需要 = =CD最小即可.
显然当CD⊥AB时，有垂线段最短，从而内接三角形△DEF的周长最小。
我们再进行一个变式：
变式6：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
因为CD、EF是定长，问题转化为：在直线OA上求两点E，F，使线段和（DE+CF）最短的问题。
DE、CF不共点，我们把C沿着与OA平行的直线平移到G，使CG=EF，这样，CF=GE，问题就又转化为“将军饮马模型”了。
其策略为：“平移+将军饮马模型”。
由此可见：在求运动轨迹为直线的折线段之和最短时，最为关键的思路是：作出定点的对称点，利用两个最短公理，把折线段变直，是解题的突破口。
对称是解决折线和最短的重要方法。因此，在角、等边三角形、正方形和抛物线等具有轴对称性质的图象中，都可以看到类似于“将军饮马”求最小值的问题，贯穿于初中数学的学习之中。
利用“将军饮马”的解题思路和化归思想，我们还可以探究以下两类问题：（1）两条线段上速度不同时的最短时间问题（2）动点轨迹轨迹是圆弧的最值问题（3）动点轨迹不清晰的问题
囿于篇幅，本文不加以讨论。
从以上的变式探究中，我们既可以感受到数学的灵活性、综合性，这是数学学习的困难之处，但更能感受到数学极强的科学性、规律性。尤其是一些重要基本模式的拓展和探究，它既能锻炼思维，巩固知识，提炼方法，更能让我们在纷繁复杂的变化中，揭示数学知识的本质特性，找到解决复杂问题的思路和方向，提升自己应对综合问题的自信和能力，这是数学学习的重要方式之一。