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[摘要] 选取2001年~2006年数据，运用马尔科夫转移概率矩阵方法，建立一个预测青海省各地区人均GDP在数年之后发展变化的预测模型，并利用一步转移概率矩阵和基期对青海省各地区20年后的变化情况进行预测。
[关键词] 人均GDP 马尔科夫链 预测
一、马尔可夫过程和马尔可夫预测法概念
我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认为，还存在另外一种情况，人们要了解事物未来的发展状态，只须知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。马尔可夫预测方法可以进行人力资源需求预测。它的基本思想是找出过去人事变动的规律，以此来推测未来的人事变动趋势。马尔可夫预测法基本原理是对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫过程的重要特征是“无后效性”。事物第n次出现的状态，只与其第n-1次的状态有关，它与以前的状态无关。举一个通俗例子说：池塘里有三片荷叶和一只青蛙，假设青蛙只在荷叶上跳来跳去。若现在青蛙在荷叶Ａ上，那么下一时刻青蛙要么在原荷叶Ａ上跳动，要么跳到荷叶Ｂ上，或荷叶Ｃ上。青蛙究竟处在何种状态上，只与当前状态有关，而与以前位于哪一片荷叶上并无关系。这种性质，就是无后效性。
所谓“无后效性”，是指过去对未来无后效，而不是指现在对未来无后效。马尔可夫链是与马尔可夫过程紧密相关的一个概念。马尔可夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔可夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值，只与现在的状态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。因此，运用马尔可夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。马尔可夫预测法就是应用马尔可夫链来预测市场未来变化状态。
设随机时间序列满足如下条件：
1°每个随机变量只取非负整数值；
2°对任意的非负整数及，当时，有
则称为马尔柯夫链。
所可能取到的每一个值称为状态。
二、马尔柯夫预测步骤
由定义可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率:
在概率论中，条件概率表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态转移概率。式中条件概率的含义是，某系统在时刻处于状态的条件下，到时刻处于状态的概率。
定义称为步转移概率。
定义与上面定义类似，称
为步转移概率矩阵。
步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
从状态转移概率矩阵的性质可知，2步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求出。
三、青海省各地区人均GDP实证分析
根据青海省统计年鉴，青海省各地区2001年～2006年人均GDP见表1。
表1 青海省各地区2001年～2006年人均GDP
现在国内的学者对小康的评判标准意见尚未统一。世界银行《1990年世界发展报告》中按照人均GDP 将各国家(地市)分别划为贫困、温饱、小康、富裕和发达型国家(地市)5种类型。国家统计局提出采用12项指标来评判小康，其中人均 GDP 和恩格尔系数是两项核心指标。为了简化分析，在这里主要按人均GDP这一个指标来分析。根据青海省的实际情况和国内比较普遍的观点，按照如下标准划分为以下5种状态：
（1）S1—贫困（人均GDP300美元以下）；（2）S2—温饱（人均GDP300美元～800美元）；（3）S3—小康（人均GDP800美元～1500美元）；（4）S4—富裕（人均GDP1500美元～3000美元）；（5）S5—发达（人均GDP3000美元以上）。
根据马尔可夫链的定义和性质，考察特定年份的一组各地市人均GDP情况，它是一个封闭的系统，其变化也是一个随机过程，而且具备“无后效性”的性质，因此可以视为以年为变化单位的一个马尔可夫链。
各地区（市）按照人均GDP情况分为贫困地区、温饱地市区、小康地区、富裕地区和发达地区等5种，分类方法同上所述，见表2。我们计算的方法是将人民币按照当年不同的汇率兑换成美元计算，一般取当年12月底人民币对美元的汇率。
表2 青海省各地区2001—2006年人均GDP类型统计
上表显示的是：2001年青海省贫困地区没有，温饱地区6个，小康地区1个（海南州），富裕地区1个（海西州）；2002年青海省贫困地区没有，温饱地区6个，小康地区1个（海南州），富裕地区1个（海西州）；2003年青海省贫困地区没有，温饱地区5个，小康地区2个（海南州、西宁市），富裕地区1个（海西州）；2004年青海省贫困地区没有，温饱地区4个，小康地区3个（黄南州、西宁市、海北州），富裕地区0个，发达地区1个（海西州）；2005年青海省贫困地区没有，温饱地区3个，小康地区4个（西宁市、海南州、海南州、海北州），富裕地区0个，发达地区1个（海西州）；2006年青海省贫困地区没有，温饱地区3个，小康地区3个（黄南州、海南州、海北州），富裕地区1个（西宁市），发达地区1个（海西州）。
对2001年～2002年，2002年～2003年，2003年～2004年，2004年～2005年，2005年～2006年的状态转移矩阵求平均。
对上述状态转移矩阵求极限，由于只存在一种吸收状态——发达地区，求极限的结果肯定是最后所有的地区全部变为吸收状态的发达地区。
设表示第K年各种人均GDP状态的地区数，表示2003-2006年4年间平均的各地区人均GDP的状态数。
第K年的各种人均GDP状态的地区数，根据状态转移对对20年以后人均GDP进行分析。在20年后，青海省人均GDP状态的地区数为：
由计算可知：按目前变化情况，20年后，按照人均各地分配计算，青海省没有贫困地区，有0.494968各地区为温饱地区，0.321265个地区为小康地区，0.729911个地区为富裕地区，6.453857个地区为发达地区。
结合表1情况我们分析出，20年后依据人均GDP计算，青海省大部分地区进入发达地区。全省不到20%的地区处于发达水平以下，温饱地区占6%左右，没有贫困地区。说明青海省在20年后人均GDP将有较大程度提高，从国内生产总值总量上大部分地区应该进入发达地区行列。
参考文献：
刘思峰 党耀国：预测方法与技术（M）.高等教育出版社, 2005年8月
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
[关键词] 人均GDP 马尔科夫链 预测
一、马尔可夫过程和马尔可夫预测法概念
我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认为，还存在另外一种情况，人们要了解事物未来的发展状态，只须知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。马尔可夫预测方法可以进行人力资源需求预测。它的基本思想是找出过去人事变动的规律，以此来推测未来的人事变动趋势。马尔可夫预测法基本原理是对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫过程的重要特征是“无后效性”。事物第n次出现的状态，只与其第n-1次的状态有关，它与以前的状态无关。举一个通俗例子说：池塘里有三片荷叶和一只青蛙，假设青蛙只在荷叶上跳来跳去。若现在青蛙在荷叶Ａ上，那么下一时刻青蛙要么在原荷叶Ａ上跳动，要么跳到荷叶Ｂ上，或荷叶Ｃ上。青蛙究竟处在何种状态上，只与当前状态有关，而与以前位于哪一片荷叶上并无关系。这种性质，就是无后效性。
所谓“无后效性”，是指过去对未来无后效，而不是指现在对未来无后效。马尔可夫链是与马尔可夫过程紧密相关的一个概念。马尔可夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔可夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值，只与现在的状态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。因此，运用马尔可夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。马尔可夫预测法就是应用马尔可夫链来预测市场未来变化状态。
设随机时间序列满足如下条件：
1°每个随机变量只取非负整数值；
2°对任意的非负整数及，当时，有
则称为马尔柯夫链。
所可能取到的每一个值称为状态。
二、马尔柯夫预测步骤
由定义可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率:
在概率论中，条件概率表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态转移概率。式中条件概率的含义是，某系统在时刻处于状态的条件下，到时刻处于状态的概率。
定义称为步转移概率。
定义与上面定义类似，称
为步转移概率矩阵。
步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
从状态转移概率矩阵的性质可知，2步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求出。
三、青海省各地区人均GDP实证分析
根据青海省统计年鉴，青海省各地区2001年～2006年人均GDP见表1。
表1 青海省各地区2001年～2006年人均GDP
现在国内的学者对小康的评判标准意见尚未统一。世界银行《1990年世界发展报告》中按照人均GDP 将各国家(地市)分别划为贫困、温饱、小康、富裕和发达型国家(地市)5种类型。国家统计局提出采用12项指标来评判小康，其中人均 GDP 和恩格尔系数是两项核心指标。为了简化分析，在这里主要按人均GDP这一个指标来分析。根据青海省的实际情况和国内比较普遍的观点，按照如下标准划分为以下5种状态：
（1）S1—贫困（人均GDP300美元以下）；（2）S2—温饱（人均GDP300美元～800美元）；（3）S3—小康（人均GDP800美元～1500美元）；（4）S4—富裕（人均GDP1500美元～3000美元）；（5）S5—发达（人均GDP3000美元以上）。
根据马尔可夫链的定义和性质，考察特定年份的一组各地市人均GDP情况，它是一个封闭的系统，其变化也是一个随机过程，而且具备“无后效性”的性质，因此可以视为以年为变化单位的一个马尔可夫链。
各地区（市）按照人均GDP情况分为贫困地区、温饱地市区、小康地区、富裕地区和发达地区等5种，分类方法同上所述，见表2。我们计算的方法是将人民币按照当年不同的汇率兑换成美元计算，一般取当年12月底人民币对美元的汇率。
表2 青海省各地区2001—2006年人均GDP类型统计
上表显示的是：2001年青海省贫困地区没有，温饱地区6个，小康地区1个（海南州），富裕地区1个（海西州）；2002年青海省贫困地区没有，温饱地区6个，小康地区1个（海南州），富裕地区1个（海西州）；2003年青海省贫困地区没有，温饱地区5个，小康地区2个（海南州、西宁市），富裕地区1个（海西州）；2004年青海省贫困地区没有，温饱地区4个，小康地区3个（黄南州、西宁市、海北州），富裕地区0个，发达地区1个（海西州）；2005年青海省贫困地区没有，温饱地区3个，小康地区4个（西宁市、海南州、海南州、海北州），富裕地区0个，发达地区1个（海西州）；2006年青海省贫困地区没有，温饱地区3个，小康地区3个（黄南州、海南州、海北州），富裕地区1个（西宁市），发达地区1个（海西州）。
对2001年～2002年，2002年～2003年，2003年～2004年，2004年～2005年，2005年～2006年的状态转移矩阵求平均。
对上述状态转移矩阵求极限，由于只存在一种吸收状态——发达地区，求极限的结果肯定是最后所有的地区全部变为吸收状态的发达地区。
设表示第K年各种人均GDP状态的地区数，表示2003-2006年4年间平均的各地区人均GDP的状态数。
第K年的各种人均GDP状态的地区数，根据状态转移对对20年以后人均GDP进行分析。在20年后，青海省人均GDP状态的地区数为：
由计算可知：按目前变化情况，20年后，按照人均各地分配计算，青海省没有贫困地区，有0.494968各地区为温饱地区，0.321265个地区为小康地区，0.729911个地区为富裕地区，6.453857个地区为发达地区。
结合表1情况我们分析出，20年后依据人均GDP计算，青海省大部分地区进入发达地区。全省不到20%的地区处于发达水平以下，温饱地区占6%左右，没有贫困地区。说明青海省在20年后人均GDP将有较大程度提高，从国内生产总值总量上大部分地区应该进入发达地区行列。
参考文献：
刘思峰 党耀国：预测方法与技术（M）.高等教育出版社, 2005年8月
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”