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摘要:随着素质教育的全面展开,一类以现实社会中的生产、生活为背景的问题,愈来愈受到命题者的青睐和关注.近年来在中考高考中加大了对应用性问题的考查力度。由于这类问题涉及的领域十分广泛,要求解题者须有较强的阅读理解能力,以及运用数学知识分析、解决实际问题的能力,即数学建模能力.如果学生未能正确掌握应用性问题的建模方法,就会茫无头绪,如堕煙海.那么如何引导学生提高数学应用性问题的解题能力呢?笔者根据自已的一些教学实践,来探讨这方面的一些常见解法。
关键词: 建模 应用性问题 数学建模
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0058-01
1 构建几何模型求解
例1、在一条河的同侧有两个村庄:张庄和李庄.两村庄计划于河岸上共建一座水电站,供两村使用,如何设计水电站的位置,使送电到两村使用的电线用料最省?
分析:通过测量得到数据后,探究如下:
1、构建平面几何模型:已知直线l同侧两侧点A、B,试在e上求一点,使P到A、B距离之和最小(如图1).
2、构建立体几何模型:已知平面α同则两点A、B,试在α上求一点P,使P到A、B距离之和最小(如图2).
3、构建解析几何模型:已知直线l:ax+by+c=0(ab≠0)上求一点,使它到两点A、B距离之和最小(如图3).
2 构建函数模型求解
例2、如图4所示,某公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个喷水管OA,O恰好在水面中心,OA=1.25m,由水管顶端A处的喷水头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大的高度2.25m.
①如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致于落到池外?
②若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达到多少m?
分析:由于题目给定的水流图形是一支抛物线,显然应当建立二次函数作为数学模型,解答此类问题通常要注意的关键点是:引入适当的坐标系;充分利用曲线上特殊点的坐标;充分利用曲线的对称性等.
解:(1)如图4,建立直角坐标系,设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点为C,
根据题意有A(0,1.25),C(x,0),
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25,将A(0,1.25)代入上式,
求得a=-1,当y=-(x-1)2+2.25时,解得x1=2.5,x2=-0.5(舍),
水池的半径至少要2.5米.
由于抛物线开口与(1)相同,可设此抛物线为y=-(x+m)2+k
将点A(0,1.25),C(3.5,0)分别代入上式得方程组:
解之得:
,
所以此时水流最大高度达3.7米.
图4
3 构建三角函数模型求解
例3、已知某海滨浴场的海浪高度是y(米),时间t(0≤t≤24,单位:小时),记作:y=f(t)
下表是某日各时的浪高数据:
当海浪高于1米时才能对冲浪爱好者开放,求出一天内的上午8时至晚上20时之间,有多少时间可供冲浪爱好者运动?
分析:依据以上数据画图,确定数学模型,写出其函数解析式。
解:根据所提供的数据作图如下:
由图象可知,该函数模型为y=Acosωt+b,
其中A=(1.5-0.5)=,b=(1.5+0.5),T=12,ω=
该函数的解析式为:y=cost+1;
由y=cost+1>1得:cost>0
解得:2kπ- 当k=1时t∈(9,15),满足题意;
因此,9时~15时,有6小时可供冲浪爱好者进行运动.
4 构造数列模型求解
例4、职工小李年初向银行贷款2万元用于购房.银行为了了推动住房改革,贷款的优惠年利率为10%,按复利计算.若这笔贷款分10次等额还清,每年一次,10年还清,并且从贷款后次年年初开始归还,问每年需还贷款多少元(精确到1元).
分析:本题是一种“分期付款”问题.解决这一类问题时要有一定的阅读理解能力,能读懂题意,构建数学模型.在本题中要读懂以下几点:
①按复利计算(与银行的实际计息不一样),利率为10%;
②年初贷款,而还款是在贷款后次年初开始;
③分10次等额还款,每年年初一次,10年还清。
解法1:设每年需还贷款为x元,则:
第1次还贷款为x元,9年后价值为1.19x元,
第2次还贷款为x元,8年后价值为1.18x元,
……
第10次还贷款为x元,价值为x元,
10次存款到期总价值为x+1.1x+1.12x+....+1.19x=x=10(1.110-1)x,2万元存款10年后的本息为20000×1.110元.
∴10x(1.110-1)=20000×1.110,又计算得1.110≈2.593742,故x≈3254.9,所以每年应还款3255元.
解法2:设每年需还贷款x元,各年还款后的欠款数组成数列{an},则有递推式ak+1=1.1ak-x,且a0=20000,a10=0,
将递式改写为ak+1-10x=1.1(ak-10x),
{an-10x}组成首项为20000-10x,公比为1.1的等比数列.
由a10=0,1.110≈2.593742算得x≈3254.9.所以每年应还款3255元.
5 构造不等式模型求解
例5、甲、乙两位好朋友,在某一段时间内他们相约到一个商店去卖4次糖果,假设糖果的价格是变化的,而他们购买的方式是:
甲每次总是买一斤糖果,乙每次只买一元钱糖果.如果计算每人平均每斤糖果花多少钱,谁少谁就合算,试问这两人的两种买果方式,哪一种合算?试说明理由.
分析:这是一条与学生生活联系比较密切的题目,这类型的问题要运用不等式的基本性质来解决.
解:假设每次糖果的单价为a1,a2,a3,a4(ai>0,i=1,2,3,4)(元/斤),
甲每次买1斤糖果,共花去(a1+a2+a3+a4)元,
因此,甲平均每斤糖果的价格为:A=元.
又因为乙每次只买1元钱糖果,共花去4元,每次买得的糖果依次为,,,斤,因此乙平均每斤糖果的价格为:b=,由于A=>>0,
=(+++)>>0
两式相乘得:>1即A>B,故乙每次只买一元钱糖果合算.
从以上的几个例子可以看出,解应用性问题的主要思路是把实际问题通过审题、分析、联想、转化、抽象等一系列过程建立数学模型,然后运用数学知识进行解答,得出数学结果,最后返回到实际问题.因此审题与联想是解决应用性问题的基本步骤,熟练掌握数学的基本知识与技能,正确构造数学模型,提高分析问题与解决问题的能力是解决应用性问题的关键.总之,应用题与社会生活越贴近,就越能使学生体验到数学在现实世界的应用,使学生产生新鲜感,促使学生运用数学知识解决实际问题的欲望,从而激发学生学习数学的热情,增强学习的浓厚兴趣.
参考文献:
1.杨克荣:图形变换在最短路径中的运用. 初中数学教与学. 2002.8
2.江思容:应用问题的建模方法. 初中数学教与学. 2002.12
3.黄雪忠:分期付款的解决方案. 中学生数理化(高中版).2002 .1-2
关键词: 建模 应用性问题 数学建模
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0058-01
1 构建几何模型求解
例1、在一条河的同侧有两个村庄:张庄和李庄.两村庄计划于河岸上共建一座水电站,供两村使用,如何设计水电站的位置,使送电到两村使用的电线用料最省?
分析:通过测量得到数据后,探究如下:
1、构建平面几何模型:已知直线l同侧两侧点A、B,试在e上求一点,使P到A、B距离之和最小(如图1).
2、构建立体几何模型:已知平面α同则两点A、B,试在α上求一点P,使P到A、B距离之和最小(如图2).
3、构建解析几何模型:已知直线l:ax+by+c=0(ab≠0)上求一点,使它到两点A、B距离之和最小(如图3).
2 构建函数模型求解
例2、如图4所示,某公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个喷水管OA,O恰好在水面中心,OA=1.25m,由水管顶端A处的喷水头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大的高度2.25m.
①如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致于落到池外?
②若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达到多少m?
分析:由于题目给定的水流图形是一支抛物线,显然应当建立二次函数作为数学模型,解答此类问题通常要注意的关键点是:引入适当的坐标系;充分利用曲线上特殊点的坐标;充分利用曲线的对称性等.
解:(1)如图4,建立直角坐标系,设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点为C,
根据题意有A(0,1.25),C(x,0),
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25,将A(0,1.25)代入上式,
求得a=-1,当y=-(x-1)2+2.25时,解得x1=2.5,x2=-0.5(舍),
水池的半径至少要2.5米.
由于抛物线开口与(1)相同,可设此抛物线为y=-(x+m)2+k
将点A(0,1.25),C(3.5,0)分别代入上式得方程组:
解之得:
,
所以此时水流最大高度达3.7米.
图4
3 构建三角函数模型求解
例3、已知某海滨浴场的海浪高度是y(米),时间t(0≤t≤24,单位:小时),记作:y=f(t)
下表是某日各时的浪高数据:
当海浪高于1米时才能对冲浪爱好者开放,求出一天内的上午8时至晚上20时之间,有多少时间可供冲浪爱好者运动?
分析:依据以上数据画图,确定数学模型,写出其函数解析式。
解:根据所提供的数据作图如下:
由图象可知,该函数模型为y=Acosωt+b,
其中A=(1.5-0.5)=,b=(1.5+0.5),T=12,ω=
该函数的解析式为:y=cost+1;
由y=cost+1>1得:cost>0
解得:2kπ-
因此,9时~15时,有6小时可供冲浪爱好者进行运动.
4 构造数列模型求解
例4、职工小李年初向银行贷款2万元用于购房.银行为了了推动住房改革,贷款的优惠年利率为10%,按复利计算.若这笔贷款分10次等额还清,每年一次,10年还清,并且从贷款后次年年初开始归还,问每年需还贷款多少元(精确到1元).
分析:本题是一种“分期付款”问题.解决这一类问题时要有一定的阅读理解能力,能读懂题意,构建数学模型.在本题中要读懂以下几点:
①按复利计算(与银行的实际计息不一样),利率为10%;
②年初贷款,而还款是在贷款后次年初开始;
③分10次等额还款,每年年初一次,10年还清。
解法1:设每年需还贷款为x元,则:
第1次还贷款为x元,9年后价值为1.19x元,
第2次还贷款为x元,8年后价值为1.18x元,
……
第10次还贷款为x元,价值为x元,
10次存款到期总价值为x+1.1x+1.12x+....+1.19x=x=10(1.110-1)x,2万元存款10年后的本息为20000×1.110元.
∴10x(1.110-1)=20000×1.110,又计算得1.110≈2.593742,故x≈3254.9,所以每年应还款3255元.
解法2:设每年需还贷款x元,各年还款后的欠款数组成数列{an},则有递推式ak+1=1.1ak-x,且a0=20000,a10=0,
将递式改写为ak+1-10x=1.1(ak-10x),
{an-10x}组成首项为20000-10x,公比为1.1的等比数列.
由a10=0,1.110≈2.593742算得x≈3254.9.所以每年应还款3255元.
5 构造不等式模型求解
例5、甲、乙两位好朋友,在某一段时间内他们相约到一个商店去卖4次糖果,假设糖果的价格是变化的,而他们购买的方式是:
甲每次总是买一斤糖果,乙每次只买一元钱糖果.如果计算每人平均每斤糖果花多少钱,谁少谁就合算,试问这两人的两种买果方式,哪一种合算?试说明理由.
分析:这是一条与学生生活联系比较密切的题目,这类型的问题要运用不等式的基本性质来解决.
解:假设每次糖果的单价为a1,a2,a3,a4(ai>0,i=1,2,3,4)(元/斤),
甲每次买1斤糖果,共花去(a1+a2+a3+a4)元,
因此,甲平均每斤糖果的价格为:A=元.
又因为乙每次只买1元钱糖果,共花去4元,每次买得的糖果依次为,,,斤,因此乙平均每斤糖果的价格为:b=,由于A=>>0,
=(+++)>>0
两式相乘得:>1即A>B,故乙每次只买一元钱糖果合算.
从以上的几个例子可以看出,解应用性问题的主要思路是把实际问题通过审题、分析、联想、转化、抽象等一系列过程建立数学模型,然后运用数学知识进行解答,得出数学结果,最后返回到实际问题.因此审题与联想是解决应用性问题的基本步骤,熟练掌握数学的基本知识与技能,正确构造数学模型,提高分析问题与解决问题的能力是解决应用性问题的关键.总之,应用题与社会生活越贴近,就越能使学生体验到数学在现实世界的应用,使学生产生新鲜感,促使学生运用数学知识解决实际问题的欲望,从而激发学生学习数学的热情,增强学习的浓厚兴趣.
参考文献:
1.杨克荣:图形变换在最短路径中的运用. 初中数学教与学. 2002.8
2.江思容:应用问题的建模方法. 初中数学教与学. 2002.12
3.黄雪忠:分期付款的解决方案. 中学生数理化(高中版).2002 .1-2