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在几何画板中。要把一个水平放置的正方形绕右下角的顶点旋转一个角度。直接对图形进行旋转变换即可轻松实现，但是，如果要让正方形在直线上连续滚动形成流畅的动画，再直接操作圖形，就会非常繁琐甚至难以实现。本文介绍一种通过“以数算形”实现这一动画的思路。供方家指正。
1 方形车轮的滚动
情境：车轮为什么是圆的？面对这一问题我们通常会想，如果车轮不是圆的，比如是方形的会怎样？
任务：制作动画，实现正方形在直线上的连续滚动。
思路分析：为简化步骤，设正方形的边长为1，且正方形在数轴的正半轴上滚动。设置一个连续变化的角度参数。构造算式计算出正方形在数轴上的关键位置处的顶点坐标。利用参数的变化驱动顶点的移动和旋转。顶点再驱动正方形的连续旋转从而产生滚动效果。
制作步骤：
（1）制作控制参数变化的按钮。
新建画板，新建角度参数t=500°，计算t-t，顺序选择参数t和计算值t-t，构建移动按钮，把速度设为“高速”。设置按钮标签为“归位”并勾选“在自定义工具中使用标签”。选择参数t创建动画按钮。设置动画方向为“增加”，改变数值的方式为“连续的”，速度为45单位每秒，范围为0到1350，动画标签设为“向右”，勾选“在自定义工具中使用标签”。再次创建标签为“向左”的参数动画按钮。设置动画方向为“减少”，其余同“向右”。选择参数t和三个按钮，创建自定义工具[参数按钮]。
（2）构造算式。
（3）绘制图形。
创建坐标系，隐藏坐标网格。选择x轴和计算值k，使用[绘图]菜单中的[在轴上绘制点]命令得到点（k，0）把该点标签设为A，同法绘制点B（k-1，0）。标记点A为旋转中心，标记算式β为旋转角度，把点B按标记的角度旋转得到点B’，画线段AB’，以AB’为边构造正方形AB’A’B’’隐藏点B和各点的标签。隐藏辅助对象，单击“归位”按钮，参数t变为0，绘制的正方形移到原点处。单击“向右”按钮，则正方形在数轴上连续向右滚动。
（4）构造轨迹。
构造正方形的中心G。选择参数t和点G构造轨迹。借助此轨迹，我们可以感受方轮汽车在乎直路径上行进时的颠簸情景。体会现实生活中的车轮为什么是圆的？如图2，构造轨迹与y轴的交点M，参照图2在y轴上取一点N，过N画x轴的平行线，过G画y轴的平行线，两线交于点H，顺序选择点G、H标记向量，选择正方形并按标记的向量平移得到一个新的正方形。当以G为中心的正方形颠簸前行时。以H为中心的正方形则会平稳随行。
（6）如图3，把以G、H为中心的正方形水平平移一定的距离作为汽车的另一个车轮。绘制或粘贴一个与两轮关联的汽车图案，追踪车轮H的四边，启动动画按钮“向右”或“向左”。感受上车的颠簸和下车车轮路径的曲折。
（2）步骤（5）中的路径，也可以通过两次构造GH与正方形交点的轨迹的方法实现。读者不妨自主尝试。
（3）以上方法虽然操作简单、动画效果也是连续的。但实际上顶点A一直作为旋转中心并未离开过x轴，因而无法追踪其轨迹，顶点B’虽然可被追踪，但其轨迹并不是连续的。下面，我们改变顶点的定义方式，实现更为逼真的正方形的滚动。
2 方形车轮的顶点轨迹
情境1：探讨方形车轮在直线上滚动时，某个顶点的轨迹。
情境2：单位正方形在数轴上滚动一周时，其某个顶点划过的路径长度是多少？
任务：制作动画，当正方形在直线上滚动时，展示其顶点的轨迹。
思路分析：设单位正方形在x轴的正半轴上顺时针滚动，四个顶点的起始坐标为A（0，0），月（0，1），C（1，1），D（1，0）。不难发现，正方形的滚动其实是以右下角的顶点为中心的旋转变换。每次旋转90°，每旋转4个90°为一个周期，循环往复。进一步探究发现。在第一个循环中。四个顶点的坐标和旋转的次数n之间的对应关系如表1.
表中的数据具有这样的特点：纵坐标值只有两个值即0和1，横坐标虽有变化。但也是n的值加上0或1，这样，对某一个顶点来说，就可用一个含n的式子统一表达n=0，1，2，3时的横（或纵）坐标，从而动态地把此点绘制出来。
制作步骤：
（1）构建参数。
（4）追踪顶点，创建轨迹。
隐藏辅助对象，单击“归位”按钮，再单击“向右”按钮，观察动画效果，选择某个顶点，追踪该顶点，再次启动动画按钮，查看顶点轨迹。选择点A和参数t，构造轨迹，选择点B和参数t，构造轨迹，利用轨迹属性窗口调整轨迹显示范围，如图6所示。
结束语：本文介绍的“以数算形”的思路可迁移至不同的课件制作情境，比如钟表指针的旋转、大于周角的角度的绘制、点和圆位置关系的判定等，这些看似纯几何的问题，其实都需要借助于数值计算来实现，是数形结合思想在课件制作中的体现。本文介绍的方法中。最核心的步骤是数学建模——构造算式，这些算式巧妙使用了取整函数trunc（x）和符号函数sgn（x），把变化的参数值映射为动态的可控的整数，把动态的整数映射为刻画图形顶点的坐标，体现了数学运算的力量，体现了整体思想和转化思想的魅力。数学课件制作是数学思想的技术表达，是教师学科素养和技术素养的综合体现，也是数学教师需要修炼的关键能力。
1 方形车轮的滚动
情境：车轮为什么是圆的？面对这一问题我们通常会想，如果车轮不是圆的，比如是方形的会怎样？
任务：制作动画，实现正方形在直线上的连续滚动。
思路分析：为简化步骤，设正方形的边长为1，且正方形在数轴的正半轴上滚动。设置一个连续变化的角度参数。构造算式计算出正方形在数轴上的关键位置处的顶点坐标。利用参数的变化驱动顶点的移动和旋转。顶点再驱动正方形的连续旋转从而产生滚动效果。
制作步骤：
（1）制作控制参数变化的按钮。
新建画板，新建角度参数t=500°，计算t-t，顺序选择参数t和计算值t-t，构建移动按钮，把速度设为“高速”。设置按钮标签为“归位”并勾选“在自定义工具中使用标签”。选择参数t创建动画按钮。设置动画方向为“增加”，改变数值的方式为“连续的”，速度为45单位每秒，范围为0到1350，动画标签设为“向右”，勾选“在自定义工具中使用标签”。再次创建标签为“向左”的参数动画按钮。设置动画方向为“减少”，其余同“向右”。选择参数t和三个按钮，创建自定义工具[参数按钮]。
（2）构造算式。
（3）绘制图形。
创建坐标系，隐藏坐标网格。选择x轴和计算值k，使用[绘图]菜单中的[在轴上绘制点]命令得到点（k，0）把该点标签设为A，同法绘制点B（k-1，0）。标记点A为旋转中心，标记算式β为旋转角度，把点B按标记的角度旋转得到点B’，画线段AB’，以AB’为边构造正方形AB’A’B’’隐藏点B和各点的标签。隐藏辅助对象，单击“归位”按钮，参数t变为0，绘制的正方形移到原点处。单击“向右”按钮，则正方形在数轴上连续向右滚动。
（4）构造轨迹。
构造正方形的中心G。选择参数t和点G构造轨迹。借助此轨迹，我们可以感受方轮汽车在乎直路径上行进时的颠簸情景。体会现实生活中的车轮为什么是圆的？如图2，构造轨迹与y轴的交点M，参照图2在y轴上取一点N，过N画x轴的平行线，过G画y轴的平行线，两线交于点H，顺序选择点G、H标记向量，选择正方形并按标记的向量平移得到一个新的正方形。当以G为中心的正方形颠簸前行时。以H为中心的正方形则会平稳随行。
（6）如图3，把以G、H为中心的正方形水平平移一定的距离作为汽车的另一个车轮。绘制或粘贴一个与两轮关联的汽车图案，追踪车轮H的四边，启动动画按钮“向右”或“向左”。感受上车的颠簸和下车车轮路径的曲折。
（2）步骤（5）中的路径，也可以通过两次构造GH与正方形交点的轨迹的方法实现。读者不妨自主尝试。
（3）以上方法虽然操作简单、动画效果也是连续的。但实际上顶点A一直作为旋转中心并未离开过x轴，因而无法追踪其轨迹，顶点B’虽然可被追踪，但其轨迹并不是连续的。下面，我们改变顶点的定义方式，实现更为逼真的正方形的滚动。
2 方形车轮的顶点轨迹
情境1：探讨方形车轮在直线上滚动时，某个顶点的轨迹。
情境2：单位正方形在数轴上滚动一周时，其某个顶点划过的路径长度是多少？
任务：制作动画，当正方形在直线上滚动时，展示其顶点的轨迹。
思路分析：设单位正方形在x轴的正半轴上顺时针滚动，四个顶点的起始坐标为A（0，0），月（0，1），C（1，1），D（1，0）。不难发现，正方形的滚动其实是以右下角的顶点为中心的旋转变换。每次旋转90°，每旋转4个90°为一个周期，循环往复。进一步探究发现。在第一个循环中。四个顶点的坐标和旋转的次数n之间的对应关系如表1.
表中的数据具有这样的特点：纵坐标值只有两个值即0和1，横坐标虽有变化。但也是n的值加上0或1，这样，对某一个顶点来说，就可用一个含n的式子统一表达n=0，1，2，3时的横（或纵）坐标，从而动态地把此点绘制出来。
制作步骤：
（1）构建参数。
（4）追踪顶点，创建轨迹。
隐藏辅助对象，单击“归位”按钮，再单击“向右”按钮，观察动画效果，选择某个顶点，追踪该顶点，再次启动动画按钮，查看顶点轨迹。选择点A和参数t，构造轨迹，选择点B和参数t，构造轨迹，利用轨迹属性窗口调整轨迹显示范围，如图6所示。
结束语：本文介绍的“以数算形”的思路可迁移至不同的课件制作情境，比如钟表指针的旋转、大于周角的角度的绘制、点和圆位置关系的判定等，这些看似纯几何的问题，其实都需要借助于数值计算来实现，是数形结合思想在课件制作中的体现。本文介绍的方法中。最核心的步骤是数学建模——构造算式，这些算式巧妙使用了取整函数trunc（x）和符号函数sgn（x），把变化的参数值映射为动态的可控的整数，把动态的整数映射为刻画图形顶点的坐标，体现了数学运算的力量，体现了整体思想和转化思想的魅力。数学课件制作是数学思想的技术表达，是教师学科素养和技术素养的综合体现，也是数学教师需要修炼的关键能力。