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长期的课堂教学实践使我们认识到：倘若在课堂教学中注重数学素材的揭示、教给学生数学知识的同时，还能揭示知识的发生过程，揭示解题方法和规律的抽象概括过程，让学生较为深入地领悟数学的内涵（即“数学味”），一定能促进学生数学素养的全面提升。
要让数学课有“数学味”，不是一种简单的技巧，它不像“泡汤”一样，只要把“数学”放到汤碗里搅拌一下，就会出现“数学”的味道，而应该对数学学科的内涵进行系统思考，并进行“智慧加工”，使之逐渐弥漫出“数学”的芳香，从而润泽学生的数学素养。
一、融进课标，浸入教材，找寻“数学味”的配方
从教材的构成体系来看，数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的、易于被发现的“明河流”和数学内涵构成的、具有潜在价值的“暗河流”， 它们是骨架与血脉的关系。有了数学内涵作灵魂，各种具体的数学知识才不会是孤立的、零散的东西。正因为有了数学内涵，“游离”状态的知识才会凝结成优化的知识结构，形成一个有机的整体。我们只有做到“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西”（苏步青），充分挖掘教材中的灵魂——数学内涵，用数学内涵引领我们的课堂教学，才能高屋建瓴，提挈整个知识体系，进行再创造、再建构。
比如，一年级上册“1-5的认识”(苏教版)，教材首先提供了一幅参观动物园的主题图，然后利用集合思想来描述主题图中1、2、3、4、5，引导学生正确建立“1-5”各数的概念。教材蕴涵着从不同的角度对数进行抽象的数学思想：第一个集合图是一只完整的大象，第二个集合虽然也是完整的两只河马，但是一大一小，这说明计算物体个数不考虑物体的大小。第三个集合，已经不是完整的小鹿而是三只小鹿的头。这说明，在确定一个集合的元素有多少时，不需要用完整的物体来表示，可以用物体的一个部分来表示，但这一部分必须是和物体存在一一对应的关系。第四个集合，表示的不再是地上的物体，而是天上飘浮的云，这说明对数的抽象无处不在，世界上到处充满数。第五个集合，四个学生和一个老师的头像，表明元素的多少与物体的属性没有关系。只有意识到这些“内涵”，我们的教学才能走得更远，才能更具生长力。
从教学层次设计分析，数学课堂教学设计应分宏观设计和微观设计，我们的教学设计应充分从这两个层面进行分析、思考。无论哪个层次上的设计，其目的都是为了让学生“参与”到获得和发展认知的数学活动过程中去。因此，教学设计不能只停留在数学认识过程中的“还原”，更应该有数学内涵的飞跃和创造。
以空间与图形领域中“图形与位置”（苏教版）内容的安排为例。这部分内容主要包括二年级用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，五年级用“数对”表示方格图上点的位置，以及六年级用“方向和距离”表示平面图上点的位置。上述内容中所蕴含的数学内涵主线是“依据小学生的年龄特点和认知水平，让他们逐步感知数与平面图形上点的关系，培养符号感，体会数形结合的基本方法和价值”。其中，用“第几排第几个” 等方式描述物体的位置，主要着眼于学生已有的生活经验；用“有序数对”表示方格图上点的位置，则是对生活经验的提炼，也是对感性认识的提升；用“方向和距离”确定平面图上点的位置，其基本思想与用“数对”表示点的位置是类似的，但它引导学生从不同角度丰富对相关数学内涵的认识。因此，这就需要我们搞清楚不同内容应概括怎样的共性，相似内容应该区别怎样的个性，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学内涵作为核心指导，有了深刻的数学内涵作指导，才能设计出智慧灵动的教学思路，才能引发学生创造性的思维活动。
二、关注过程，强化思维，品尝“数学味”的芳香
数学的内涵往往呈隐蔽形式，沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，积累数学活动经验，提升数学思考的能力。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习。我们应该引导学生在经历数学学习的过程中去感受和理解数学内涵，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平。
在“用数对确定位置”一课的教学中，我引导学生经历教学过程，努力使学生获得有价值的思维空间，体验到数学思考的价值魅力。
在学生掌握到用数对描述位置的基本方法后，我创设了这样的问题，引发学生的数学思考：
“小明到公园游玩，他现在的位置是（3，4），你能在方格中找到这个点吗？”“小明向东走了4格，你能找到他现在的位置吗？”在得出小明现在所在的位置是（7，4）之后——
师：小明在运动之前的位置是（3，4），现在的位置是（7，4），你能看出这两个数对之间的联系吗？
生1：我看出这两个数对的后一个数都是4。
生2：后一个数之所以没有变化，是因为他运动的前后都在同一行，所以后一个数都是4。
生3：我看出了前一个数由3变成了7，是因为他向东走了4格。
生4：用3加上4就是7了。
师：不简单！假如小明向东走了20格，他的位置是多少？如果向东走了50格，位置又怎么表示呢？
师：这次，小明不是这样运动的，他运动后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的吗？
生1：我认为小明是向北走的。
生2：我同意他的意见，而且是走了16格。
师：看得出，同学们对方格图上点的位置变化已经掌握得比较清晰了。咱们的思考不妨再深入一点，以这个点（3，4）为例，你是怎么找到这个点的？
师：你认为哪几根线可以决定这个点的位置？（生分别指出表示第3列的直线和表示第4行的直线）
师：咱们的思考不妨再深入一点，这两根线又是由哪些线决定的呢？（生感受到问题很有意思，非常兴奋）
经过短暂思考，有学生指向最左边和最下面的两条线。
师：其实，有了这两条红色的线，也就能决定图中任何一点的位置。没想到，我这一带，竟带出了一群中学生，这一知识咱们在中学的学习中将要进一步研究。
在此片段中，教师采取数形结合的方式，抓住运动前后数对的变化，引导学生分析、对比、想象、概括，得出了数对的变化规律，有机地训练了学生观察、对比、抽象、概括等多元的数学能力。教师让学生在方格图中找点，体会找点的方法，再通过“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”，感悟纵横交叉两条线的作用，进而推衍横轴和纵轴在确定位置中的作用，进一步渗透了坐标思想。课上一句“这一带，竟带出了一群中学生”，润物无声的思想渗透，让学生在感受符号体系的过程中恰当地生成和渗透相应的数学价值，帮助学生建立起大数学的宏观视野。
三、触及思想，有机渗透，探问“数学味”的精髓
“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神指的就是数学思想。从哲学角度来看，“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的反映。而所谓数学思想，是人们对数学研究统一的本质性认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义和相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。由此看来，数学思想是数学内涵的核心，它决定了数学的经验基础、思考核心、发展目标。
从宏观角度看，小学数学思想按研究层次不同大致可分为以下几类：一为哲学的（包括逻辑的）思想，如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；二为科学的思想，如试验法、图表法、假设法等；三为数学的思想，如化归法、递推法、列举筛选法等。前者应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想，但在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想。
数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、质疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。
比如，教学“三角形三边关系”，在学生已经初步掌握了“两边之和大于第三边”这一规律后，教师设计了这样一个问题来驱动学生的思维向思想层面“跃升”：
“有两根小棒，一根长7厘米，另一根长9厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，用拼的方法，你能将它围成一个三角形吗？”
学生带着这样的“任务”去思考，一会儿后——
生1：老师，不可以把短棒剪成两根，因为“两边之和大于第三边”是指较短的两边之和应该大于第三边，只能把长棒剪成两段。
生2：老师，我把长棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。
生3：老师，他说错了，不可以分成1和8，因为，这样分的话，两条短边是1和7，长边是8，这样两边之和就等于第三边了。
师：了不起，不仅找出了答案，而且还洞察到其中的细微之处。相信同学们对今天所学的规律理解更为透彻了！
师：让我们把这几种情况画下来，可以吗？（如图）
师：除了这几种情况外，还有其他可能吗？
生：（迟疑地）老师，剪开的两条边的长度还可以是小数吗？
师：明白他的意思吗？能不能举一些例子？
生1：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。
生2：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.9和7.1。
生3：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。
……
师：这些都可以拼成三角形吗？
生：能！这些都能满足“两边之和大于第三边”的条件。
师：太好了，你认为一共有多少种可能呢？
生：无数种。
师：让我们把这些可能也用图表示出来。想象一下，如果把这些点都描出来，这幅图像什么？
生：像鸟巢。
生：像国家大剧院。
“无限这一主题不应被看成与小学数学完全无关的，如何能够通过有关的内容帮助学生建立起关于无限的一些认识，就是小学数学的重要目标。”（郑毓信《数学思维与小学数学》），在上述教学中，三角形三边之间的关系在多种可能性中不断地被强化，被“结构”，由边的长度（整数、一位小数、两位小数甚至于更多位小数）可能性的拓展，在学生脑中渐次形成一个“无数”点的集合，这不就是“极限思想”的有机渗透吗？
不仅如此，两条不断变化着的短边的长度与固定的长边之间，形成了一个a+b>c（其中a ＜c， b＜ c）的不等关系，不也正好渗透了函数思想吗？
四、纵横贯通，有机融合，调节“数学味”的温度
与“数学化”相对的是“生活化”。 数学“生活化”要不要？回答是肯定的！数学走向生活，这是教育的诉求，纯粹例题式的教学起点，对于学生来说，不具有可攀性。于是，我们需要各种生活情境，需要借取现实素材。
但在这个过程中，我们不能遗漏一点：即使最简单的数学，也是抽象的产物。有人问得好：你见过纯粹的三角形而不是三角形物体吗？你见过没有大小的点，没有宽度的线吗？你能说出的那些数字，又在哪儿真实地看见过？所有这一切，都是从现实原形中提取出的“理想化”的思维产物。
从现实原形中提取出的“理想化”思维产物的过程，就是“数学化”的过程。“数学味”与“数学化”是密不可分的。
“数学化”是荷兰数学家弗赖登塔尔教育思想的核心，有横向数学化和纵向数学化之分。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。可以这样说，“横向数学化”生成生活与数学的联系，“纵向数学化”生成抽象数学知识之间的联系。
弗赖登塔尔认为如果用二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着四种不同的哲学观：一是缺少横向数学化，也缺少纵向数学化，是机械主义；二是横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；三是横向数学化不足，但纵向数学化被培养走来，是结构主义；四是横向数学化和纵向数学化都得到成长，是现实主义。
数学课程改革倡导现实主义的教学，“横向数学化”和“纵向数学化”要均衡发展。
例如，教学“减法的意义”这一内容，刚开始时，我们这么教：
出示情境图。
师：请同学们认真观察这两幅图，说一说，从图中你看到了什么？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。
师：你真棒！谁再来说一说？
生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个小朋友。
师：太好了，你知道怎么列式吗？
生：5-2=3。
老师满意地点点头，板书：5-2=3。
接着教学减号及其读法。
在“数学味”课堂理念的支配下，我们可以组织这样的教学：
出示情境图。
师：仔细观察这两幅图，从图上你看到了什么？
生：我看到了5个小朋友在浇花。
生：有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。
师：你能把两幅图连起来说一说吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。
师：同学们观察得很仔细，描述得很具体！你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下几个？
师：对！大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？
（师在行走间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）
师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个，从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用一个算式来表示，那就是——
生：5减2等于3。
师：这里的5表示什么？2、3又表示什么？
师：同学们说得真好，在生活中存在着许多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？
生：有5只糖包，吃掉2只，还剩3只。
生：有5条小鱼，游走2条，还剩3条。
……
这两个教学片段，所体现的教学着力点是不一样的，第一个片断，属于“就事论事”式的简单教学，老师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，在生活情境的牵引下得出了一道算式，在这里，“5-2=3”是对生活中某一个场面的算术表征，仅是一道算式而已。而第二个片断，除了教学充分展开以外，更主要的是实现了“生活味”和“数学味”的有机融合，不仅关注了生活，而且渗透了初步的数学建模思想，既关注了横向数学化，又实现了纵向数学化。且这种教学并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切的，由生活中具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，而后通过思维能力发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“数学”（模型）意义。
(作者单位：江苏省南京师范大学附属小学)
责任编辑 孙恭伟
E-mail:sungongw@126.com
要让数学课有“数学味”，不是一种简单的技巧，它不像“泡汤”一样，只要把“数学”放到汤碗里搅拌一下，就会出现“数学”的味道，而应该对数学学科的内涵进行系统思考，并进行“智慧加工”，使之逐渐弥漫出“数学”的芳香，从而润泽学生的数学素养。
一、融进课标，浸入教材，找寻“数学味”的配方
从教材的构成体系来看，数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的、易于被发现的“明河流”和数学内涵构成的、具有潜在价值的“暗河流”， 它们是骨架与血脉的关系。有了数学内涵作灵魂，各种具体的数学知识才不会是孤立的、零散的东西。正因为有了数学内涵，“游离”状态的知识才会凝结成优化的知识结构，形成一个有机的整体。我们只有做到“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西”（苏步青），充分挖掘教材中的灵魂——数学内涵，用数学内涵引领我们的课堂教学，才能高屋建瓴，提挈整个知识体系，进行再创造、再建构。
比如，一年级上册“1-5的认识”(苏教版)，教材首先提供了一幅参观动物园的主题图，然后利用集合思想来描述主题图中1、2、3、4、5，引导学生正确建立“1-5”各数的概念。教材蕴涵着从不同的角度对数进行抽象的数学思想：第一个集合图是一只完整的大象，第二个集合虽然也是完整的两只河马，但是一大一小，这说明计算物体个数不考虑物体的大小。第三个集合，已经不是完整的小鹿而是三只小鹿的头。这说明，在确定一个集合的元素有多少时，不需要用完整的物体来表示，可以用物体的一个部分来表示，但这一部分必须是和物体存在一一对应的关系。第四个集合，表示的不再是地上的物体，而是天上飘浮的云，这说明对数的抽象无处不在，世界上到处充满数。第五个集合，四个学生和一个老师的头像，表明元素的多少与物体的属性没有关系。只有意识到这些“内涵”，我们的教学才能走得更远，才能更具生长力。
从教学层次设计分析，数学课堂教学设计应分宏观设计和微观设计，我们的教学设计应充分从这两个层面进行分析、思考。无论哪个层次上的设计，其目的都是为了让学生“参与”到获得和发展认知的数学活动过程中去。因此，教学设计不能只停留在数学认识过程中的“还原”，更应该有数学内涵的飞跃和创造。
以空间与图形领域中“图形与位置”（苏教版）内容的安排为例。这部分内容主要包括二年级用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，五年级用“数对”表示方格图上点的位置，以及六年级用“方向和距离”表示平面图上点的位置。上述内容中所蕴含的数学内涵主线是“依据小学生的年龄特点和认知水平，让他们逐步感知数与平面图形上点的关系，培养符号感，体会数形结合的基本方法和价值”。其中，用“第几排第几个” 等方式描述物体的位置，主要着眼于学生已有的生活经验；用“有序数对”表示方格图上点的位置，则是对生活经验的提炼，也是对感性认识的提升；用“方向和距离”确定平面图上点的位置，其基本思想与用“数对”表示点的位置是类似的，但它引导学生从不同角度丰富对相关数学内涵的认识。因此，这就需要我们搞清楚不同内容应概括怎样的共性，相似内容应该区别怎样的个性，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学内涵作为核心指导，有了深刻的数学内涵作指导，才能设计出智慧灵动的教学思路，才能引发学生创造性的思维活动。
二、关注过程，强化思维，品尝“数学味”的芳香
数学的内涵往往呈隐蔽形式，沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，积累数学活动经验，提升数学思考的能力。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习。我们应该引导学生在经历数学学习的过程中去感受和理解数学内涵，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平。
在“用数对确定位置”一课的教学中，我引导学生经历教学过程，努力使学生获得有价值的思维空间，体验到数学思考的价值魅力。
在学生掌握到用数对描述位置的基本方法后，我创设了这样的问题，引发学生的数学思考：
“小明到公园游玩，他现在的位置是（3，4），你能在方格中找到这个点吗？”“小明向东走了4格，你能找到他现在的位置吗？”在得出小明现在所在的位置是（7，4）之后——
师：小明在运动之前的位置是（3，4），现在的位置是（7，4），你能看出这两个数对之间的联系吗？
生1：我看出这两个数对的后一个数都是4。
生2：后一个数之所以没有变化，是因为他运动的前后都在同一行，所以后一个数都是4。
生3：我看出了前一个数由3变成了7，是因为他向东走了4格。
生4：用3加上4就是7了。
师：不简单！假如小明向东走了20格，他的位置是多少？如果向东走了50格，位置又怎么表示呢？
师：这次，小明不是这样运动的，他运动后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的吗？
生1：我认为小明是向北走的。
生2：我同意他的意见，而且是走了16格。
师：看得出，同学们对方格图上点的位置变化已经掌握得比较清晰了。咱们的思考不妨再深入一点，以这个点（3，4）为例，你是怎么找到这个点的？
师：你认为哪几根线可以决定这个点的位置？（生分别指出表示第3列的直线和表示第4行的直线）
师：咱们的思考不妨再深入一点，这两根线又是由哪些线决定的呢？（生感受到问题很有意思，非常兴奋）
经过短暂思考，有学生指向最左边和最下面的两条线。
师：其实，有了这两条红色的线，也就能决定图中任何一点的位置。没想到，我这一带，竟带出了一群中学生，这一知识咱们在中学的学习中将要进一步研究。
在此片段中，教师采取数形结合的方式，抓住运动前后数对的变化，引导学生分析、对比、想象、概括，得出了数对的变化规律，有机地训练了学生观察、对比、抽象、概括等多元的数学能力。教师让学生在方格图中找点，体会找点的方法，再通过“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”，感悟纵横交叉两条线的作用，进而推衍横轴和纵轴在确定位置中的作用，进一步渗透了坐标思想。课上一句“这一带，竟带出了一群中学生”，润物无声的思想渗透，让学生在感受符号体系的过程中恰当地生成和渗透相应的数学价值，帮助学生建立起大数学的宏观视野。
三、触及思想，有机渗透，探问“数学味”的精髓
“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神指的就是数学思想。从哲学角度来看，“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的反映。而所谓数学思想，是人们对数学研究统一的本质性认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义和相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。由此看来，数学思想是数学内涵的核心，它决定了数学的经验基础、思考核心、发展目标。
从宏观角度看，小学数学思想按研究层次不同大致可分为以下几类：一为哲学的（包括逻辑的）思想，如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；二为科学的思想，如试验法、图表法、假设法等；三为数学的思想，如化归法、递推法、列举筛选法等。前者应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想，但在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想。
数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、质疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。
比如，教学“三角形三边关系”，在学生已经初步掌握了“两边之和大于第三边”这一规律后，教师设计了这样一个问题来驱动学生的思维向思想层面“跃升”：
“有两根小棒，一根长7厘米，另一根长9厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，用拼的方法，你能将它围成一个三角形吗？”
学生带着这样的“任务”去思考，一会儿后——
生1：老师，不可以把短棒剪成两根，因为“两边之和大于第三边”是指较短的两边之和应该大于第三边，只能把长棒剪成两段。
生2：老师，我把长棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。
生3：老师，他说错了，不可以分成1和8，因为，这样分的话，两条短边是1和7，长边是8，这样两边之和就等于第三边了。
师：了不起，不仅找出了答案，而且还洞察到其中的细微之处。相信同学们对今天所学的规律理解更为透彻了！
师：让我们把这几种情况画下来，可以吗？（如图）
师：除了这几种情况外，还有其他可能吗？
生：（迟疑地）老师，剪开的两条边的长度还可以是小数吗？
师：明白他的意思吗？能不能举一些例子？
生1：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。
生2：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.9和7.1。
生3：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。
……
师：这些都可以拼成三角形吗？
生：能！这些都能满足“两边之和大于第三边”的条件。
师：太好了，你认为一共有多少种可能呢？
生：无数种。
师：让我们把这些可能也用图表示出来。想象一下，如果把这些点都描出来，这幅图像什么？
生：像鸟巢。
生：像国家大剧院。
“无限这一主题不应被看成与小学数学完全无关的，如何能够通过有关的内容帮助学生建立起关于无限的一些认识，就是小学数学的重要目标。”（郑毓信《数学思维与小学数学》），在上述教学中，三角形三边之间的关系在多种可能性中不断地被强化，被“结构”，由边的长度（整数、一位小数、两位小数甚至于更多位小数）可能性的拓展，在学生脑中渐次形成一个“无数”点的集合，这不就是“极限思想”的有机渗透吗？
不仅如此，两条不断变化着的短边的长度与固定的长边之间，形成了一个a+b>c（其中a ＜c， b＜ c）的不等关系，不也正好渗透了函数思想吗？
四、纵横贯通，有机融合，调节“数学味”的温度
与“数学化”相对的是“生活化”。 数学“生活化”要不要？回答是肯定的！数学走向生活，这是教育的诉求，纯粹例题式的教学起点，对于学生来说，不具有可攀性。于是，我们需要各种生活情境，需要借取现实素材。
但在这个过程中，我们不能遗漏一点：即使最简单的数学，也是抽象的产物。有人问得好：你见过纯粹的三角形而不是三角形物体吗？你见过没有大小的点，没有宽度的线吗？你能说出的那些数字，又在哪儿真实地看见过？所有这一切，都是从现实原形中提取出的“理想化”的思维产物。
从现实原形中提取出的“理想化”思维产物的过程，就是“数学化”的过程。“数学味”与“数学化”是密不可分的。
“数学化”是荷兰数学家弗赖登塔尔教育思想的核心，有横向数学化和纵向数学化之分。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。可以这样说，“横向数学化”生成生活与数学的联系，“纵向数学化”生成抽象数学知识之间的联系。
弗赖登塔尔认为如果用二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着四种不同的哲学观：一是缺少横向数学化，也缺少纵向数学化，是机械主义；二是横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；三是横向数学化不足，但纵向数学化被培养走来，是结构主义；四是横向数学化和纵向数学化都得到成长，是现实主义。
数学课程改革倡导现实主义的教学，“横向数学化”和“纵向数学化”要均衡发展。
例如，教学“减法的意义”这一内容，刚开始时，我们这么教：
出示情境图。
师：请同学们认真观察这两幅图，说一说，从图中你看到了什么？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。
师：你真棒！谁再来说一说？
生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个小朋友。
师：太好了，你知道怎么列式吗？
生：5-2=3。
老师满意地点点头，板书：5-2=3。
接着教学减号及其读法。
在“数学味”课堂理念的支配下，我们可以组织这样的教学：
出示情境图。
师：仔细观察这两幅图，从图上你看到了什么？
生：我看到了5个小朋友在浇花。
生：有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。
师：你能把两幅图连起来说一说吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。
师：同学们观察得很仔细，描述得很具体！你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下几个？
师：对！大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？
（师在行走间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）
师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个，从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用一个算式来表示，那就是——
生：5减2等于3。
师：这里的5表示什么？2、3又表示什么？
师：同学们说得真好，在生活中存在着许多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？
生：有5只糖包，吃掉2只，还剩3只。
生：有5条小鱼，游走2条，还剩3条。
……
这两个教学片段，所体现的教学着力点是不一样的，第一个片断，属于“就事论事”式的简单教学，老师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，在生活情境的牵引下得出了一道算式，在这里，“5-2=3”是对生活中某一个场面的算术表征，仅是一道算式而已。而第二个片断，除了教学充分展开以外，更主要的是实现了“生活味”和“数学味”的有机融合，不仅关注了生活，而且渗透了初步的数学建模思想，既关注了横向数学化，又实现了纵向数学化。且这种教学并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切的，由生活中具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，而后通过思维能力发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“数学”（模型）意义。
(作者单位：江苏省南京师范大学附属小学)
责任编辑 孙恭伟
E-mail:sungongw@126.com