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[摘 要] 分割等腰三角形的问题在中考中经常出现，对其进行研究有利于中考复习. 本文对一个三角形分割成2个等腰三角形的条件、分法，得出了一些结论.
[关键词] 等腰三角形；分割；结论
引例 浙教版八年级上P63有这样一个探究活动：有甲、乙两个三角形. 甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°. 你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数.
类似地，分割等腰三角形的问题在其他省市的中考中也经常出现，如2014宁波25题、2008宁波21题等. 对一个三角形分割成2个等腰三角形的条件、分法，我们有以下一些结论：
引理1 若一个三角形能被分割成2个等腰三角形，则分割的必定是三角形的两个较大角中的一个，且分割线过三角形的顶点.
引理2 若一个三角形能被分割成2个等腰三角形，则这个三角形必是直角三角形或有一个角是另一个角的2倍（称这个三角形是2倍角三角形），或有一个角是另一个角的3倍（称这个三角形是3倍角三角形）.
引理3 分割线形成的一对邻补角不能同时作分割成的2个等腰三角形的底角.
引理4 若一个三角形是直角三角形，一般分直角，分割线是斜边上的中线.
引理5 若一个三角形是2倍角三角形，且一倍角小于45°，一般分第三个角. 分割线是它们的公共腰.
引理6 若一个三角形是3倍角三角形，通常分3倍角. 把3倍角分成1 ∶ 2的两部分.
特别地，当α=22.5°，∠A=90°时，由引理4，也可分∠A，故22.5°、67.5°、90°的三角形有两种不同的分法.
除了当α=22.5°、∠A=90°时有两种不同的分法外，是否还有一些三角形，它可以分割成2个等腰三角形，并且有2种不同的分法呢（若不同分法中各三角形全等视作同一种分法）？
显然这样的三角形必定是直角三角形或2倍角三角形或3倍角三角形.
一、若这个三角形是直角三角形，由上已知，当三个角分别是22.5°、67.5°、90°时，有两种不同的分法.
二、若这个三角形是2倍角三角形，设△ABC中∠B=2∠C=2α.
因为α<45°，所以第三角为180°-3α>α，由引理1，分割线可以过顶点A或顶点B.
第一种情况：分割线过顶点A，△ADC中底角有2种情况（因为∠ADC>∠B>∠C），如图1、2所示.
如图1：△ABD中，∠B=∠ADB即为一般分法，此外，
（1）若△ABD中，∠BAD=∠B=2α，则：2α 2α 2α=180°，得α=30°，此时这个三角形是30°，60°，90°的三角形，△ABD是等边三角形，与2倍角三角形一般分法重合，不符合；
（2）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，同样得到30°，60°，90°的三角形，不符合.
如图2：（3）同理△ABD中，只可∠B=∠BAD，则∠B=∠BAD =2α，得2α 2α=90°-，α=20°，这个三角形的度数是20°，40°，120°，符合.
第二种情况：分割线过顶点B，△BDC中底角有3种情况，如图3、4、5所示.
如图3：（4）若△ABD中，∠A=∠ABD，则180°-3α=α，得α=45°，由引理4，一倍角小于45°，不符合；
（5）若△ABD中，∠A=∠ADB，则180°-3α=2α，得α=36°，此时，∠A=∠ABC=72°，△ABC是等腰三角形，过顶点A的分割线与过顶点B的分割线分得的2个等腰三角形分别全等，不符合；
（6）在△ABD中，∠ABD=∠ADB这种情况显然不成立.
如图4：（7）由引理3，∠BDC、∠ADB，不能同时作为底角，故△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-3α=-90°，得α=°，但α=°>45°，由引理5，不符合.
如图5：（8）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，则108°-3α=4α-180°，得α=°>45，同样不符合.
综上，当△ABC是2倍角三角形时，符合的只有三内角为20°，40°，120°的三角形.
三、若这个三角形是3倍角三角形，设△ABC中∠ABC=3∠C=3α.
因为∠ABC>∠C，由引理1知分割线可以过顶点B. 当0°<α≤36°时，则180°-4α≥α，即△ABC中，∠BAC≥∠C，此时分割线还可以过顶点A；当36°<α<45°时，则180°-4α<α，即△ABC中，∠A<∠ACB，此时分割线还可以过顶点C.
第一种情况：分割线过顶点B，此时△BDC中底角有3种情况，如图6、7、8所示.
如图6：△ABD中，∠ABD=∠ADB，即为一般分法，此外，
（1）若△ABD中∠A=∠ABD，则∠A=2α，得2α 2α 2α=180°，得α=30°，此时△ABC的度数分别是30°，60°，90°，与3倍角三角形一般分法重合，不符合；
（2）若△ABD中∠A=∠ADB，同样得30°，60°，90°的三角形，不符合.
如图7：（3）由引理3，△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-4α=5α-180°，得α=40°，符合，这个三角形的度数是40°，120°，20°（但在2倍三角形中已找到）.
如图8：（4）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-4α=-90°，得α=36°，此时△ABC是等腰三角形，过顶点A与过顶点B分得的三角形全等，不符合.
第二种情况：分割线过顶点A（0°<α≤36°），此时△ADC中底角有2种情况（因为∠ADC>∠B>∠C），分别如图9、10所示. 如图9：（5）若△ABD中，∠BAD=∠B =3α，则3α 3α 2α=180°，得α=22.5°，则△ABC的度数为22.5°，67.5°，90°，符合（但在直角三角形中已经找到）；
（6）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，则3α 2α 2α=180°，得α=°，虽然符合0<α≤36°，但此时△ABC是等腰三角形，不符合；
（7）在△ABD中，∠ABD=∠ADB这种情况显然不存在.
如图10：（8）由引理3，△ABD中只可∠BAD=∠B=3α，则3α 3α=90°-，得α=°，此时这个三角形的度数是：° ，° ，°，符合.
第三种情况：分割线过顶点C（36°<α<45°），此时△BDC中底角有2种情况（因为∠B >∠ACB>∠DCB），分别如图11、12所示.
如图11：（9）由引理3，△ADC中只可∠A=∠ACD，则180°-4α=7α-180°，得α=°<36°，与题设不符合.
如图12：（10）同理，△ADC中只可∠A=∠ACD，则180°-4α=-90°，得α=°.
满足36°<°<45°，此时这个三角形的度数是：°，°，° ，符合（但在（8）中已经找到）.
由此，我们找到了符合要求的三角形共有3个，其内角分别是：22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°.
这三种三角形的2 种分法分别如下图所示：
（1）22.5°，67.5°，90°
（2）20°，40°，120°
（3）°，°，°
那么这些三角形有什么特征呢？
（1） 22.5°，67.5°，90°既是3倍角三角形，又是直角三角形；
（2） 20°，40°，120°既是2倍角三角形，又是3倍角三角形；
（3）°，°，°的角度比1 ∶ 3 ∶ 9，既可以把°看做一倍角，又可以把°看做一倍角.
我们把这些三角形称为具有双重性的三角形.通常双重性三角形有2种不同的分法，但如下双重性三角形的两种分法不符合我们的要求：
（1）30°，60°，90°，既是2倍角三角形，也是3倍角三角形，也是直角三角形，但每种分法的分割线重合；
（2）45°，45°，90°，既有2倍角，又是直角三角形，但不满足2倍三角形中一倍角小于45°；
（3）36°，72°，72°，角度比是1 ∶ 2 ∶ 2，但这是个等腰三角形，2种分法分得的三角形全等；
（4）36°，36°，108°，角度比是1 ∶ 1 ∶ 3，同样是等腰三角形；
（5）°，°，°，角度比1 ∶ 3 ∶ 3，同样是等腰三角形；
（6）°，°，° ，角度比是1 ∶ 2 ∶ 4，但°>45°；
（7）°，°，°，角度比是2 ∶ 3 ∶ 6，但°>45°.
结论1：如果一个三角形能分割成2个等腰三角形而且有2种不同的分法，那么这个三角形的内角度数必须同时满足2倍或3倍或构成直角三角形，同时还要满足一倍角<45°，而且又不能是等腰三角形.
结论2：一个三角形能分割成2个等腰三角形，且有2种不同分法的只有3种三角形：
22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°，它们具有双重性.
[关键词] 等腰三角形；分割；结论
引例 浙教版八年级上P63有这样一个探究活动：有甲、乙两个三角形. 甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°. 你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数.
类似地，分割等腰三角形的问题在其他省市的中考中也经常出现，如2014宁波25题、2008宁波21题等. 对一个三角形分割成2个等腰三角形的条件、分法，我们有以下一些结论：
引理1 若一个三角形能被分割成2个等腰三角形，则分割的必定是三角形的两个较大角中的一个，且分割线过三角形的顶点.
引理2 若一个三角形能被分割成2个等腰三角形，则这个三角形必是直角三角形或有一个角是另一个角的2倍（称这个三角形是2倍角三角形），或有一个角是另一个角的3倍（称这个三角形是3倍角三角形）.
引理3 分割线形成的一对邻补角不能同时作分割成的2个等腰三角形的底角.
引理4 若一个三角形是直角三角形，一般分直角，分割线是斜边上的中线.
引理5 若一个三角形是2倍角三角形，且一倍角小于45°，一般分第三个角. 分割线是它们的公共腰.
引理6 若一个三角形是3倍角三角形，通常分3倍角. 把3倍角分成1 ∶ 2的两部分.
特别地，当α=22.5°，∠A=90°时，由引理4，也可分∠A，故22.5°、67.5°、90°的三角形有两种不同的分法.
除了当α=22.5°、∠A=90°时有两种不同的分法外，是否还有一些三角形，它可以分割成2个等腰三角形，并且有2种不同的分法呢（若不同分法中各三角形全等视作同一种分法）？
显然这样的三角形必定是直角三角形或2倍角三角形或3倍角三角形.
一、若这个三角形是直角三角形，由上已知，当三个角分别是22.5°、67.5°、90°时，有两种不同的分法.
二、若这个三角形是2倍角三角形，设△ABC中∠B=2∠C=2α.
因为α<45°，所以第三角为180°-3α>α，由引理1，分割线可以过顶点A或顶点B.
第一种情况：分割线过顶点A，△ADC中底角有2种情况（因为∠ADC>∠B>∠C），如图1、2所示.
如图1：△ABD中，∠B=∠ADB即为一般分法，此外，
（1）若△ABD中，∠BAD=∠B=2α，则：2α 2α 2α=180°，得α=30°，此时这个三角形是30°，60°，90°的三角形，△ABD是等边三角形，与2倍角三角形一般分法重合，不符合；
（2）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，同样得到30°，60°，90°的三角形，不符合.
如图2：（3）同理△ABD中，只可∠B=∠BAD，则∠B=∠BAD =2α，得2α 2α=90°-，α=20°，这个三角形的度数是20°，40°，120°，符合.
第二种情况：分割线过顶点B，△BDC中底角有3种情况，如图3、4、5所示.
如图3：（4）若△ABD中，∠A=∠ABD，则180°-3α=α，得α=45°，由引理4，一倍角小于45°，不符合；
（5）若△ABD中，∠A=∠ADB，则180°-3α=2α，得α=36°，此时，∠A=∠ABC=72°，△ABC是等腰三角形，过顶点A的分割线与过顶点B的分割线分得的2个等腰三角形分别全等，不符合；
（6）在△ABD中，∠ABD=∠ADB这种情况显然不成立.
如图4：（7）由引理3，∠BDC、∠ADB，不能同时作为底角，故△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-3α=-90°，得α=°，但α=°>45°，由引理5，不符合.
如图5：（8）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，则108°-3α=4α-180°，得α=°>45，同样不符合.
综上，当△ABC是2倍角三角形时，符合的只有三内角为20°，40°，120°的三角形.
三、若这个三角形是3倍角三角形，设△ABC中∠ABC=3∠C=3α.
因为∠ABC>∠C，由引理1知分割线可以过顶点B. 当0°<α≤36°时，则180°-4α≥α，即△ABC中，∠BAC≥∠C，此时分割线还可以过顶点A；当36°<α<45°时，则180°-4α<α，即△ABC中，∠A<∠ACB，此时分割线还可以过顶点C.
第一种情况：分割线过顶点B，此时△BDC中底角有3种情况，如图6、7、8所示.
如图6：△ABD中，∠ABD=∠ADB，即为一般分法，此外，
（1）若△ABD中∠A=∠ABD，则∠A=2α，得2α 2α 2α=180°，得α=30°，此时△ABC的度数分别是30°，60°，90°，与3倍角三角形一般分法重合，不符合；
（2）若△ABD中∠A=∠ADB，同样得30°，60°，90°的三角形，不符合.
如图7：（3）由引理3，△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-4α=5α-180°，得α=40°，符合，这个三角形的度数是40°，120°，20°（但在2倍三角形中已找到）.
如图8：（4）同理，△ABD中只可∠A=∠ABD，则180°-4α=-90°，得α=36°，此时△ABC是等腰三角形，过顶点A与过顶点B分得的三角形全等，不符合.
第二种情况：分割线过顶点A（0°<α≤36°），此时△ADC中底角有2种情况（因为∠ADC>∠B>∠C），分别如图9、10所示. 如图9：（5）若△ABD中，∠BAD=∠B =3α，则3α 3α 2α=180°，得α=22.5°，则△ABC的度数为22.5°，67.5°，90°，符合（但在直角三角形中已经找到）；
（6）若△ABD中，∠BAD=∠ADB=2α，则3α 2α 2α=180°，得α=°，虽然符合0<α≤36°，但此时△ABC是等腰三角形，不符合；
（7）在△ABD中，∠ABD=∠ADB这种情况显然不存在.
如图10：（8）由引理3，△ABD中只可∠BAD=∠B=3α，则3α 3α=90°-，得α=°，此时这个三角形的度数是：° ，° ，°，符合.
第三种情况：分割线过顶点C（36°<α<45°），此时△BDC中底角有2种情况（因为∠B >∠ACB>∠DCB），分别如图11、12所示.
如图11：（9）由引理3，△ADC中只可∠A=∠ACD，则180°-4α=7α-180°，得α=°<36°，与题设不符合.
如图12：（10）同理，△ADC中只可∠A=∠ACD，则180°-4α=-90°，得α=°.
满足36°<°<45°，此时这个三角形的度数是：°，°，° ，符合（但在（8）中已经找到）.
由此，我们找到了符合要求的三角形共有3个，其内角分别是：22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°.
这三种三角形的2 种分法分别如下图所示：
（1）22.5°，67.5°，90°
（2）20°，40°，120°
（3）°，°，°
那么这些三角形有什么特征呢？
（1） 22.5°，67.5°，90°既是3倍角三角形，又是直角三角形；
（2） 20°，40°，120°既是2倍角三角形，又是3倍角三角形；
（3）°，°，°的角度比1 ∶ 3 ∶ 9，既可以把°看做一倍角，又可以把°看做一倍角.
我们把这些三角形称为具有双重性的三角形.通常双重性三角形有2种不同的分法，但如下双重性三角形的两种分法不符合我们的要求：
（1）30°，60°，90°，既是2倍角三角形，也是3倍角三角形，也是直角三角形，但每种分法的分割线重合；
（2）45°，45°，90°，既有2倍角，又是直角三角形，但不满足2倍三角形中一倍角小于45°；
（3）36°，72°，72°，角度比是1 ∶ 2 ∶ 2，但这是个等腰三角形，2种分法分得的三角形全等；
（4）36°，36°，108°，角度比是1 ∶ 1 ∶ 3，同样是等腰三角形；
（5）°，°，°，角度比1 ∶ 3 ∶ 3，同样是等腰三角形；
（6）°，°，° ，角度比是1 ∶ 2 ∶ 4，但°>45°；
（7）°，°，°，角度比是2 ∶ 3 ∶ 6，但°>45°.
结论1：如果一个三角形能分割成2个等腰三角形而且有2种不同的分法，那么这个三角形的内角度数必须同时满足2倍或3倍或构成直角三角形，同时还要满足一倍角<45°，而且又不能是等腰三角形.
结论2：一个三角形能分割成2个等腰三角形，且有2种不同分法的只有3种三角形：
22.5°，67.5°，90°；20°，40°，120°；°，°，°，它们具有双重性.