例说转化思想在立体几何中的应用

• 作 者: 祁重文
• 出 处: 甘肃教育
• 发表日期: 2009年8期
• 关键词: 转化思想 立体几何 图形 符号 维度 动 静 变量 不变量

　　〔关键词〕 转化思想；立体几何；图形；符号；维度；
　　 动；静；变量；不变量
　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463（2009）04（B）—0021—01
　　
　　 一、图形与符号的转化
　　 图形与符号是数学命题在“形”与“数”两方面的重要载体.符号是立体几何推理的工具，而推理得出的结论又是直观图画法的依据.因此，图形与符号的相互转化，在立体几何解题中起着重要的作用.
　　 例1已知，α∩β=l，a?奂α，b?奂β，a∩b=A，试判定点A与l的位置关系，并画出直观图.
　　简解：因为a∩b=A， 所以A∈a，A∈b.又a?奂α，b?奂β，所以A∈α∩β.
　　已知α∩β=l，所以根据公理2，A∈l.于是，据此画出直观图（如图1所示）.
　　 二、维度的转化——由高到低
　　 从高维到低维的转化，在解决立体几何的问题中涉及面极为广泛.如：空间图形与它的截面图、三视图、平面展开图的相互转化，可以化繁为简.
　　 例2如图2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为l，高为8.则一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为多少？
　　 简解：把三棱柱沿棱AA1展开，便得到了如图3的矩形.自A点出发，沿三棱柱的侧面绕行两周后到达A1点的路线长度就是AM+A1M的长度.要求最短，也就是AM+A1M的长度最小，实际上就是求M点的位置.
　　 我们容易得出AM+A1M≥10.当M取AA1的中点时，AM+A1M取到最小值10.
　　 三、“动”与“静”的转化
　　 “动”与“静”是事物状态表现的两个侧面，在数学解题中，尤其在立体几何题中除了固定的线线、线面、面面关系外，还渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给“静态”的立体几何赋予了新的活力，新的亮点.
　　 例3若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）.
　　 分析：当AC⊥平面BCD时，问题就化为点P到AB和BC距离相等的点的轨迹.显然，P点的轨迹是∠ABC的平分线.于是排除（A）、（B）.
　　 当AC不垂直平面BCD时，如图4，设P到平面DBC、边BC、边AB的距离分别为h、dBC、dAB，A-BC-D的大小 四、变量与不变量的转换
　　 变量与不变量的相互转换，在立体几何中将平面图形折叠成空间图形的问题中应用广泛.只要把握住折叠前后的不变量，就找到了求解空间问题的切入点和关键.
　　 例4将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线AC被折成折线AEFGC，求∠EFG.