一“数”之变 异彩纷呈

• 作 者: 冯菁菁 高浩
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2014年21期
• 关键词: 数列 解法 等比数列 迭代法 等差数列 题目

　　以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究，发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈，写下来与大家交流，希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.
　　一、试题呈现
　　题目1：已知数列{an}中，a1=1，an 1=2an 2n.
　　（1）若bn=an2n-1，求证：bn是等差数列;
　　（2）数列{an}的前n项和Sn.
　　这是一道递推数列试题，第（1）问不难证明，第（2）问关键是求通项an.
　　简解 （1）an 1=2an 2nan 12n=an2n-1 1，∴bn是等差数列且公差为1，首项为1.
　　（2）由（1）知an2n-1=n，从而an=n2n-1，接下来用错位相减法求Sn.
　　解题反思 （ⅰ）本题通过构造等差数列，求通项an，体现了转化化归的数学思想.
　　（ⅱ）若本题题干中改变一个数字，又会怎么样呢？又该怎样求数列通项an呢？
　　变式：
　　题目2：已知数列{an}中，a1=1，an 1=an 2n，求通项an.
　　题目3：已知数列{an}中，a1=1，an 1=3an 2n，求通项an.
　　二、解法探究
　　关于题目2
　　解法1（累加法） an 1-an=2nan=（an-an-1） （an-an-1） … （a2-a1） a1
　　=2n-1 2n-2 … 2 1=1-2n1-2=2n-1.
　　解法2（迭代法） ∵an 1=an 2n，∴an=an-1 2n-1=an-2 2n-2 2n-1
　　=an-3 2n-3 2n-2 2n-1=…=1 2 … 2n-3 2n-2 2n-1=2n-1.
　　解法3（构造常数列） 由an 1=an 2nan 1-2n 1=an-2n，所以an-2n是常数列.
　　∴an-2n=a1-2，故an=2n-1.
　　关于题目3
　　解法1 由an 1=3an 2nan 1 2n 1=3（an 2n），所以{an 2n}是等比数列.
　　故an 2n=3n，即有an=3n-2n.
　　解法2 由an 1=3an 2n an 12n=32·an2n-1 1.令bn=an2n-1，则有bn 1=32bn 1
　　bn 1 2=32（bn 2）.所以bn 2是等比数列.∴bn 2=332n，即an2n-1=332n-1-2，从而an=3n-2n.
　　解法3 由an 1=3an 2n an 12n=32·an2n-1 1.
　　令bn=an2n-1，得bn 1=32bn 1，①.
　　n≥2时，bn=32bn-1 1，②.①-②得bn 1-bn=32（bn-bn-1），所以bn 1-bn是等比数列（首项b2-b1=32），则有bn 1-bn=（32）n.以下用累加法，可求得bn=232n-1，從而an=3n-2n.
　　解法4 由an 1=3an 2nan 13n=an3n-1 23n.令cn=an3n-1，得cn 1=cn 23n.c1=1转化为题目2类型（可用累加法、迭代法和构造常数列等解决）.
　　评注 以上解法蕴含着转化化归的数学思想，这种思想方法是高考考查重点，这里的转化化归有两个方向：一是向等差（比）数列转化;二是向简单的递推关系转化，如an= an-1 f （n）等.
　　解法5 （迭代法）
　　∵an 1=3an 2n，
　　∴an=3an-1 2n-1
　　=3（3an-2 2n-2） 2n-1
　　=32（3an-3 2n-3） 3·2n-2 2n-1=…
　　=3n-1 3n-2·2 3n-3·22 … 3·2n-2 2n-1
　　=3n-2n.
　　三、一点思考
　　笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法.根据递推关系式求数列的通项公式，是数列的一个重点，也是一个难点.通过以上变式探究，使我们学会对问题进行反思，掌握探究拓展的方法，以达到解一题，通一类，带一串的目的.培养学生举一反三、触类旁通的能力，这不仅锻炼了学生的数学思维，同时在探究中培养了数学学习的乐趣.